使用最大似然法来求解线性模型(4)-最大化似然函数背后的数学原理
在 使用最大似然法来求解线性模型(3)-求解似然函数 文章中,我们让 logL 对 w 求一阶偏导数,让偏导数等于0,解出 w,这个 w 就是使logL取最大值的w
那为什么令一阶偏导数等于0,求得的w就能够使 logL 取最大值呢?
在高等数学中,对于一元可导函数f(x)而言,一阶导数f′(x)=0的点称为拐点。而拐点不一定是极值点,一种判断拐点是否是极值点的方式是:判断拐点处的二阶导数是否大于0
若拐点处的二阶导数大于0,则f(x)在拐点处取极小值;若拐点处的二阶导数小于0,则f(x)在拐点处取极大值;若拐点处的二阶导数等于0,则拐点处不是极值。
上面的结论,可以用f(x)=x2 和 f(x)=x3 来验证。当然,结论的前提是f(x)是二阶可导的,如果二阶导数都不存在,上面的方法自然就不能用来判断极值点了。
而在机器学习中,我们考虑的样本的特征有很多,不止一个,因此我们所处理的函数一般是多元的(多个自变量)。
比如 logL 是关于 w 的函数,而 w=[w1,w2] 是一个向量,logL 关于w求偏导数时,其实质就是对 w 个的每一个分量wi 求偏导数。
上面的就是:logL 关于w的偏导数,又称为梯度。从公式中可看出:logL是一个实数,它是一个标量--我们的目标也是寻找最大的logL,而梯度是一个向量。
是不是想到了梯度方法?没错,梯度下降方法就是用到了梯度的一个性质:
- 梯度性质:梯度方向就是函数f 在w处 增加最快的方向,因此要搜索函数f 的最大值,往梯度方向搜索应该是一个很好的搜索方向。
这里不讨论梯度的一些理论,而是在梯度的基础上,再对wT求导,就得到了一个矩阵,如下所示:
这个矩阵就是黑塞矩阵,而 logL 在 w 点 是否取极值就由这个黑塞矩阵的性质来决定。
- 极小值定理:多元实值函数f(w)在定义域上二阶连续可微,w*是定义域上的一个内点,如果w*满足如下两个条件:
- 则w*是函数f(w)的一个严格局部极小点。其中F(w)是黑塞矩阵。关于这个定理的证明可参考:《最优化导论 第四版》Edwin K.P.Chong著 孙志强译
由前面的公式:,再对wT求导,得出:
因此,对于函数logL而言,它的黑塞矩阵是:F(w)=(-1/σ2)XT*X
要想使得在w处logL取极大值,则黑塞矩阵:F(w)=(-1/σ2)XT*X < 0 。也即:XT*X > 0,也就是判断矩阵XT*X是正定矩阵。
而在使用最大似然法来求解线性模型(3)-求解似然函数:中,矩阵X如下:
得到XT*X是一个对称矩阵。判断对称矩阵是正定矩阵的定理有:
- 对称阵A为正定的充分必要条件是:A的特征值全为正
- 对称阵A为正定的充分必要条件是:A的各阶顺序主子式都为正
- 对于任意的一个非零向量z=[z1,z2]T,有 zT*A*z > 0。也即对称矩阵A的 二次型 大于0
当一个矩阵是对称矩阵时,根据上面的定理判断它的正定性,是很方便的。这也是为什么将一般矩阵转换成对称矩阵来处理的原因。
这里采用第二种方式,来证明 XT*X 正定矩阵,由于它是2*2矩阵,故一共只有两个顺序主子序。
XT*X 的一阶顺序主子式为N,N>0 显然成立。
XT*X 的二阶顺序主子式为:
这里从概率论中随机变量的方差角度出发来证明
将上式除以N的平方,得到:
再根据方差DX的定义,DX=E(X-EX)2是大于0的。故下面等式成立。
从而证明了二阶主子式也大于0。故对称矩阵XT*X是正定矩阵。
因此,对于一阶偏导数等于0的点w*而言,它的黑塞矩阵总是正定的。因而满足“极值定理”成立的条件。故w*是一个极大值点。
参考文献:
- 《a first course of machine learning》
- 《最优化导论》第四版 Edwin K.P.Chong著
原文:http://www.cnblogs.com/hapjin/p/6633471.html
转载于:https://www.cnblogs.com/hapjin/p/6633471.html
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只能是等着,别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚,只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一:管理员运行cmd:net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57