标题 让模态浮出水面的S2 刘易斯逻辑之八

这个S2，大概可以让我们对模态逻辑有点感觉了。刘易斯的S1，虽然把“可能”作为它的初始符号，但直到接近S1尾声的时候才付诸讨论。当他把那个一致性公设放进他的S1的时候，S1就不能称作S1，而应该称作他命名的S2了。因为S1包括不了这个一致性公理所推出的所有定理，它有它自己的领地。
我们现在所面对的，当然还是严格蕴涵系统。但这个时候的刘易斯系统，除了有连接词来反映的真值函项，还有用模态词来反映的模态函项。从S2开始，蕴涵概念让位于模态概念，我们关注的重心，将是由一致性引申而来的可能，再由可能引申而来的必然。
严格蕴涵不那么古典，但由一致性引申出来的这一对模态概念，却是自古代的亚里士多德，斯多葛学派以来，一直被逻辑学家、哲学家所关注的哲学范畴。刚看到一篇从微信发来的小文，有个自以为立场中立的政治学者，好像有点蔑视哲学，他只关心现实政治。但一个对于哲学还有逻辑取嘲笑态度的人，怎么能够称得上是人文学者？至少我感到疑惑。
人都有七情六欲，有人不喜欢哲学，有人不喜欢政客。我属于那种有点偏爱哲学，也有点偏好逻辑，但非常不喜欢政客和人文骗客的那档子人群中的一个。还是把精力放在你偏好和喜欢的东西上去吧，S1刚刚告一段落，且让我们来看看C.I.刘易斯的S2，它的领地里究竟有些什么东西？

标题一、何谓C.I.刘易斯的S2?

C.I.刘易斯在他《符号逻辑》一书的第六章，建立了互有联系但也互有区别的两个系统，S1和S2。简单地说，依据公理集合B1-B7构建的系统是S1，而在S1的基础上，再增加一个公理，也就是一致性公理B8:◇(p∧q)==>◇p，于是整个系统的公理由7个变为8个，其它保留。在这个基础上形成的严格蕴涵逻辑系统，那就是S2。
看起来好像是只有一个公理的差异，但这个看来微小的差异，却真正意味着一门现代新逻辑的确是产生出来了。刘易斯在其1918年出版的《符号逻辑概览》一书中，模态逻辑以严格蕴涵系统的面貌出现，模态隐含在严格蕴涵的定义之中。经过十多年的进化，全世界不少逻辑学者的参与，到20世纪的30年代，模态作为一个专门的研究对象，就从对于蕴涵的讨论中独立出来。我们所面对的初始符号，不再如同S1那样，仅仅以严格蕴涵的形式出现，而是以模态函项的形式展现出来。在C.I.刘易斯那里，表现在他《符号逻辑》第六章第五节所开始的一致性公设引入。这个公设引入形成的S2，包含所有S1的内容。所以，我们讨论这个S1中的东西，实际上也是在讨论S2。
因为一致性符号，可能符号作为独立符号从严格蕴涵中剥离出来，S2中立刻就出现纯粹的模态命题。这些模态命题的出现，把我们关于模态的思考，联系到了古代，也联系到了现代。模态不仅有了自己的语法学，也开始了模态的语义学研究。

标题二、一致性符号和可能符号之下的经典模态命题

我们在前讨论过这个一致性和可能性，逻辑学家的功力，不仅发现这两个观念的相关相似，逻辑学家还发现，从可能性我们还可以推知必然性的许多东西。这种功力，还不是无根无底的遐想，而是人类智者几千年来都在思索的不朽且永恒的观念。
我们先列出C.I.刘易斯的S2用一致性可能性导出的几个主要定理定义，然后对这些定理做一点简评。
18.14 ∼◇∼p = ∼（∼p〇∼p） = ∼p==>p
18.42 ∼◇∼p ==>p
18.4 p ==>◇p
18.43 ∼◇∼p >◇p
18.7 p>p = ∼◇∼(p→q)
18.81 ∼◇∼(p∨∼p)

C.I.刘易斯用可能导出必然，但他并没有给“必然”独立的符号，而是用∼◇∼来表示必然，我还是按照今天通用的必然符号，一个小方块□表示这种必然，以上六个之中的5个命题，就成为：
18.14 □p = ∼（∼p〇∼p） = ∼p==>p
18.42 □p ==>p
18.43 □p >◇p
18.7 p>p = □(p→q)
18.81 □(p∨∼p)

别小看了这几个模态命题，我们用∼◇∼来表示必然，这就暗含了模态逻辑历史上两个经典的模态定义。这两个定义最早出现在亚里士多德的《工具论》命题篇之中：

因为命题“某事物可能存在“蕴涵着双重可能性，而当前面的两个命题之一为真实时，这双重可能性便消失了。因为如果某事物可能存在，它也可能不存在，但如果它必然存在或必然不存在，这两个选择件之一便被排除。因此，剩下的是：命题”某事物并非必然不存在“应该从命题”某事物可能存在推得出来。因为这对于必然存在的事物也是真实的。（参见亚里士多德《工具论》，李匡武译，1984年，第79页）
这就是今天的基本模态逻辑，一定有的两个互为定义的公式：
□p = ∼◇∼p
◇p = ∼□∼p
你从自然语言的语义感觉上，也能体验到这两个定义模式的直观。当我们说一个东西是必然的时候，例如俗语告诉我们，必然是，狗改不了吃屎。这个必然语句不就等于是说：不可能不是，狗改不了吃屎。似乎只有语义强度的差异，没有含义上的差异。
我们再来看三个互为关联的基本模态命题：
18.42 □p ==>p
18.4 p ==>◇p
18.43 □p ==>◇p

因为有定理：
14.1 (p==>q) ==>(p→q)
所以，从18.42，18.4与18.43分别可得到：
1）□p→p （模态T系统的（T）公理）
2）p→◇p （模态T系统的导出公理）
3）□p→◇p（模态D系统的（D）公理）

这三个模态命题，就是著名的康德范畴表中，三个模态范畴间的逻辑关系。必然蕴涵着实然，实然蕴涵着可能，必然也蕴涵着可能。
在模态逻辑的建构中，这三个命题后来分别成为模态T系统的（T）公理、导出公理，以及模态D系统的（D）公理。
还剩下一个严格蕴涵的必然定义，这个定义的出现，使得C.I.刘易斯的严格蕴涵系统，没有在蕴涵讨论的方向上前行。严格蕴涵仿佛模态逻辑发展路程上的一个二传手，通过它把有关蕴涵的讨论传给了模态范畴。这使得后世学者更多地追寻各种模态范畴，来建构形形色色的模态系统。而且，严格蕴涵可以用在实质蕴涵之前，冠以必然模态词的方式来加以定义，这也使得实质蕴涵来替代严格蕴涵成为可能。
18.7 p==>p = □(p→q)

这种可能性，很快就转化为实然性，C.I.刘易斯之后的模态逻辑发展，果然就是在这样定义的基础上，由S2和S3代表的非正规模态系统转向了以k系统为基础的正规模态逻辑。这个转向，大概在S3中会有关注。这个K系统，实际上就是以实质蕴涵作为初始观念，刘易斯的严格蕴涵完全被□(p→q)这个公式所替代。
一个严格蕴涵公式，可以表述为给实质蕴涵以必然界定，该如何理解这个实质蕴涵的必然性呢？这也准备在S3的讨论中做些思考。

标题三、S2中的存在定理，延续和淡忘

C.I.刘易斯在附录中谈到S2时，他补充说：当存在公设（公理）B9加进到S2时，这个S2就含有所有在节6中出现的存在定理。是一些什么样的存在定理呢？我们先给出存在公设B9:
B9 ∃(p，q)∼（p==>q）∧∼（p==>∼q）

为什么要给出这个存在公设？刘易斯是这样解释的。
我们在S1和S2中给出的8个公设，没有一个公设能够范畴性地区分开实质蕴涵和严格蕴涵。当依据实质蕴涵关系，即所谓p→q这样的逻辑关系推出一些定理的时候，这些定理并不能证明严格蕴涵关系p==>q的成立。我们有这样一类实质蕴涵的定理，却没有一个能够断定或者蕴涵以下一类定理的假定。那就是这样一类定理，它们确立严格蕴涵命题的真，同时又确立了实质蕴涵命题的假。但这样一类定理，不可能全部具有这样的鉴别力。于是，我们所要求的公设，就需要引入近代逻辑学者汉密尔顿、德摩根、布尔还有施罗德等人反复讨论过的经典量词：全称量词和存在量词。因为我们处理的对象还只是局部，自然引入的就是存在量词∃。量词之后可以是一个变元，也可以是多个变元，如公设B8所示，那是带有两个变元的存在量词。（参见C.I.刘易斯《符号逻辑》第178页）
我们对于量词的理解，从亚里士多德开始，似乎从来都是界定词项外延的数量，通常称之为类对象，而非命题对象。C.I.刘易斯的想法有点奇异，而且新颖，颇类似于弗雷格在思考命题的内涵和外延的时候，把命题的外延看作是真值那样。历史总会留下很多让人感叹的记忆，弗雷格命题外延的真值指定，现在被学界普遍接受。但刘易斯的这个命题前置以量词的创举，则因为严格蕴涵系统的进一步发展朝向了正规模态逻辑，而逐渐被人淡忘。
也许这个想法在碰到什么新契机的时候，还会被人记起。
不过，我们对于S2的理解还要继续，那就是提升到C.I.刘易斯的S3。
S3告诉我们一些什么呢？且待下篇分解。