题面

BZOJ
洛谷

题解

很明显直接套用$min-max$容斥。
设$E(max\{S\})$表示$S$中最晚出现元素出现时间的期望，$min$同理。
那么$E(max\{S\})=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|}E(min\{T\})$
考虑怎么求$E(min\{T\})$，很容易发现只需要或上了任何一位就行了。
也就是

$$E(min\{T\})=\frac{1}{\sum_{G\cap T\neq \phi }p[G]}$$
只需要任意一个和$T$存在交的集合$G$就会产生至少一个位。
现在的问题转换成了怎么求任何一个和$T$有交的东西。
正难则反，求所有和$T$无交集的集合，设$x=T\oplus(2^n-1)$，也就是$T$的补集。
显然所有的与$T$无交集的集合都是$x$的子集，那么只需要预处理子集和就好了，$FWT$实现。
时间复杂度$O(2^n n)$，代码短的不行。

#include<cstdio>
int n,cnt[1<<20],N;
double P[1<<20],ans;
int main()
{scanf("%d",&n);N=1<<n;for(int i=0;i<N;++i)scanf("%lf",&P[i]),cnt[i]=cnt[i>>1]+(i&1);for(int i=1;i<N;i<<=1)for(int p=i<<1,j=0;j<N;j+=p)for(int k=0;k<i;++k)P[i+j+k]+=P[j+k];for(int i=1;i<N;++i)if(1-P[(N-1)^i]>1e-8)ans+=((cnt[i]&1)?1:-1)/(1-P[(N-1)^i]);if(ans<1e-10)puts("INF");else printf("%.10lf\n",ans);return 0;
}