[学习笔记]FWT(快速沃尔什变换)
写在前面
本蒟蒻很菜,所以这篇博客依然几乎不会有证明
还是先说这东西是干什么的
平时我们所见的卷积是这样的:
\[
h(k) = \sum_{i + j = k} f(i) \cdot g(j)
\]
但是偶尔还会遇到条件中的加号变成其它符号的情况,\(FWT\)就是这个符号是按位与,或,异或时快速求解\(h\)的
主要的三种情况
其实就是我们要构造一种变换\(tf\),使得\(tf(h) = tf(f) \cdot tf(g)\),其中点乘表示对应位相乘
或卷积(|)
即:
\[
h(k) = \sum_{i | j = k} f(i) \cdot g(j)
\]
我们可以构造变换\(FWT(A)\),使得\(FWT(A)_i = \sum_{j | i = i} A_j\)(我也不知道这个方法是怎么想出来的……)
但是验证它还是不难的,首先有这个:\(i | j | k = k \Rightarrow i | k = k, j | k = k\)
那么
\[
\begin{align}
FWT(h)_i = \sum_{j | i = i} h_j & = \sum_{j | i = i} \sum_{s | t = j} f(s) \cdot g(t) \\
& = \sum_{s | i = i} \sum_{t | i = i} f(s) \cdot g(t) \\
& = \sum_{s | i = i} f(s) \sum_{t | i = i} g(t) = FWT(f)_i \cdot FWT(g)_i
\end{align}
\]
然后问题变成了快速求\(FWT(A)\)
由于这个变换满足下面的等式:
\[
FWT(A) = (FWT(A_0), FWT(A_0) + FWT(A_1))
\]
其中\(A_0\)表示序列前半段,\(A1\)表示序列后半段,加号表示对应位置相加。简单理解一下就是根据定义,\(FWT(A)_i\)是\(i\)的所有子集\(j\)处\(A_j\)之和,而序列前半段的下标二进制最高位为\(0\),增加这一位并不会产生新的子集,后半段下标二进制最高位为\(1\),增加这一位后前面高位为\(0\)的部分也会成为新的子集
所以显然就可以每次将序列分成前后两段分别计算,然后合并即可
然后怎么逆变换呢,根据上面的正变换,不难发现就是减掉所有它的子集处的值就是了,可以得出:
\[
IFWT(A) = (IFWT(A_0), IFWT(A_1) - IFWT(A_0))
\]
与卷积(&)
与和或在各个方面都联系紧密,那么就可以类比或卷积,不难得出:
\[
\begin{align}
FWT(A) & = (FWT(A_0) + FWT(A_1), FWT(A_1)) \\
IFWT(A) & = (IFWT(A_0) - IFWT(A_1), IFWT(A_1))
\end{align}
\]
异或卷积(^)
这个比较复杂,蒟蒻我并没能吃透,好像和奇偶性有关??
结论是:
\[
\begin{align}
FWT(A) & = (FWT(A_0) + FWT(A_1), FWT(A_0) - FWT(A_1)) \\
IFWT(A) & = (\frac{IFWT(A_0) + IFWT(A_1)}{2}, \frac{IFWT(A_0) - IFWT(A_1)}{2})
\end{align}
\]
另外一个很少见的运算——同或(\(\odot\))
直接上结论了:
\[
\begin{align}
FWT(A) & = (FWT(A_1) - FWT(A_0), FWT(A_1) + FWT(A_0)) \\
IFWT(A) & = (\frac{IFWT(A_1) - IFWT(A_0)}{2}, \frac{IFWT(A_1) + IFWT(A_0)}{2})
\end{align}
\]
代码
模板题戳这里
因为没见到同或的题,也没有看见过同或的模板,下面的代码只有前三种运算QwQ
还有就是取模意义下除以\(2\)转换为乘上逆元QwQ
void inc(LL &x, LL y) { x += y; if (x >= mod) x -= mod; }
void dec(LL &x, LL y) { x -= y; if (x < 0) x += mod; }
/*type == 0 => ortype == 1 => andtype == 2 => xor
*/
void FWT(LL *arr, int n, int type) {for (int len = 2, half = 1; len <= (1 << n); len <<= 1, half <<= 1)for (int i = 0; i < (1 << n); i += len)for (int j = 0; j < half; ++j)if (type == 0) inc(arr[i + half + j], arr[i + j]);else if (type == 1) inc(arr[i + j], arr[i + half + j]);else {LL a0 = arr[i + j], a1 = arr[i + half + j];inc(arr[i + j], a1); dec(arr[i + half + j] = a0, a1);}
}
void IFWT(LL *arr, int n, int type) {for (int len = 2, half = 1; len <= (1 << n); len <<= 1, half <<= 1)for (int i = 0; i < (1 << n); i += len)for (int j = 0; j < half; ++j)if (type == 0) dec(arr[i + half + j], arr[i + j]);else if (type == 1) dec(arr[i + j], arr[i + half + j]);else {LL a0 = arr[i + j], a1 = arr[i + half + j];arr[i + j] = (a0 + a1) * inv % mod;arr[i + half + j] = (a0 - a1) * inv % mod;if (arr[i + half + j] < 0) arr[i + half + j] += mod;}
}
转载于:https://www.cnblogs.com/Rhein-E/p/10502969.html
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2022/11/19 21:17:13 - 准备配置windows 请勿关闭计算机 蓝屏,Win7开机总是出现提示“配置Windows请勿关机”...
Win7系统开机启动时总是出现“配置Windows请勿关机”的提示,没过几秒后电脑自动重启,每次开机都这样无法进入系统,此时碰到这种现象的用户就可以使用以下5种方法解决问题。方法一:开机按下F8,在出现的Windows高级启动选…...
2022/11/19 21:17:12 - 准备windows请勿关闭计算机要多久,windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机怎么办...
有不少windows10系统用户反映说碰到这样一个情况,就是电脑提示正在准备windows请勿关闭计算机,碰到这样的问题该怎么解决呢,现在小编就给大家分享一下windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机的具体第一种方法:1、2、依次…...
2022/11/19 21:17:11 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...
今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后,每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面,提示请勿关闭计算机”,每次停留好几分钟才能正常关机,导致什么情况引起的呢?出现配置Windows Update…...
2022/11/19 21:17:10 - 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...
只能是等着,别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚,只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一:管理员运行cmd:net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57