法法塔大法好ww

窝太菜了TAT，写着玩，表喷ww

FFT：

求

$$C_i = \sum A_jB_{i-j}$$

多项式两种表示方法：点值表示法、系数表示法
如果用点值表示法的话，那么乘法就是$O(n)$的

FFT就是把系数表示变为点值表示，相乘后再变回系数表示，并且可以做到$O(n\log n)$

单位复根: $w^{[n]}$，即$(w^{[n]})^n = 1$
窝们将 $(w^{[n]})^k$ 记为 $w^{[n]}_k$

这里取的点就是$w^{[n]}_0,w^{[n]}_1,\cdots,w^{[n]}_{n-1}$

FFT : $y_k = \sum_{i = 0}^{n-1} a_i({w_k^{[n]}})^i$
FFT$^{-1}$ : $a_k = \frac 1n\sum_{i = 0}^{n-1} y_i({w_{-k}^{[n]}})^i$
所以做IFFT的时候就只要用${w_{-k}^{[n]}}$来替换${w_{k}^{[n]}}$就好了QAQ

考虑如何求得 ${y_i}$
令
$y^{[0]}(x) = a_0 + a_2x + \cdots + a_{n-2}x^{\frac {n-2}2}$
$y^{[1]}(x) = a_1 + a_3x + \cdots + a_{n-1}x^{\frac {n-2}2}$
则
$y = y^{[0]}(x^2) + xy^{[1]}(x^2)$
可以得到
$y_k = y_k^{[0]} + {w_{k}^{[n]}}y_k^{[1]}$
$y_{k+\frac n2} = y_k^{[0]} - {w_{k}^{[n]}}y_k^{[1]}$

然后就可以分治搞了嘤QAQ

将变换后的系数用二进制表示，发现就是0,1,2，…n-1的倒序，所以就可以变了啊QAQ

FWT：

求

$$C_i=\sum_{j \oplus k=i} A_jB_k$$
（$\oplus$ 代表一个位运算符）

同样考虑构造一种变换方式使得A、B能直接相乘

既然是位运算，那么每一位相互独立。。。

下一步当然是%pls辣ovo

异或

$$tf(A)=(tf(A_0)+tf(A_1)),tf(A_0)-tf(A_1)) \\ utf(A)=(utf(\frac{A_0+A_1}{2}),utf(\frac{A_0-A_1}{2}))$$

与

$$tf(A)=(tf(A_0)+tf(A_1),tf(A_1)) \\ utf(A)=(utf(A_0)-utf(A_1),utf(A_1))$$

或

$$tf(A)=(tf(A_0),tf(A_1)+tf(A_0)) \\ utf(A)=(utf(A_0),utf(A_1)-utf(A_0))$$

至于板子么。。当然是A+B啦！23333