多项式基础1 FFT NTT FWT
本着不在NOIP前碰多项式的原则,我现在开始学FFT。
多项式的表示
系数表示:,则是的系数表示。
点值表示:一个长为的数组,其中元素为,是元素互不相同的数组。
可以使用DFT和IDFT在复杂度内将系数表示与点值表示互相转换。
次单位根
次单位根是其次幂为的一些复数,共有个,分别为。记,则次单位根可分别表示为。
在复平面上,次单位根是单位圆上均匀分布的个点,其中第个在,接下来的依次按逆时针绕一圈。容易想到单位根有以下性质:
DFT
用于将系数表示转化为点值表示。
先将的阶向上扩充为(多余部分的)。设此时的阶为,考虑将次单位根作为数组,即。
设,。显然。
于是。
同理可以得到。
看到没?和中带入的值是一样的,因此我们可以分治递归解决问题。复杂度为。
IDFT
用于将点值表示转化为系数表示。该过程等价于用替换做DFT,再将结果除以。复杂度为。
DFT和IDFT统称为FFT(Fa Fa Tower)。实际实现中,应用雷德(Rader)算法来优化常数,用迭代模拟递归的过程。即先枚举层,再枚举每个“计算块”。数组下标需要进行变换成如这样。
const double pi = 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899;
struct complex {double r, v;complex() {}complex(double rr, double vv) {r = rr; v = vv;}
};
inline complex operator + (complex a, complex b) {return complex(a.r+b.r, a.v+b.v);
}
inline complex operator - (complex a, complex b) {return complex(a.r-b.r, a.v-b.v);
}
inline complex operator - (complex x) {return complex(-x.r, -x.v);
}
inline complex operator * (complex a, complex b) {return complex(a.r*b.r-a.v*b.v, a.r*b.v+a.v*b.r);
}const int maxn = 1<<17;
void fft(complex a[], int n, bool typ) {for(int i = 1, j = n>>1; i < n; i++) {if(i < j) swap(a[i], a[j]);for(int k = n>>1; (j^=k) < k; k >>= 1);}for(int i = 1; i < n; i <<= 1) for(int j = 0; j < n; j += i<<1) {complex w = complex(1, 0), wn = complex(cos(pi/(double)i), (typ?1:-1)*sin(pi/(double)i));for(int k = 0; k < i; k++) {complex u = a[j+k], v = w * a[j+i+k];a[j+k] = u + v;a[j+i+k] = u - v;w = w * wn;}}if(!typ) for(int i = 0; i < n; i++) a[i].r /= n;
}
complex tmp[maxn<<1];
void Mul(complex a[], int an, complex b[], int bn) {if(an <= 48 || bn <= 48) {for(int i = 0; i < an+bn-1; i++) tmp[i] = complex(0, 0);for(int i = 0; i < an; i++) for(int j = 0; j < bn; j++) tmp[i+j] = tmp[i+j] + a[i] * b[j];for(int i = 0; i < an+bn-1; i++) a[i] = tmp[i];return;}int n = 1;while(n < an+bn-1) n <<= 1;fft(a, n, 1); fft(b, n, 1);for(int i = 0; i < n; i++) a[i] = a[i] * b[i];fft(a, n, 0);
}
卷积
即多项式乘法。多项式与的卷积为,设的阶为,的阶为,则的阶为。设、的系数数组分别为、,则的系数数组满足。也可理解为和对有的贡献。
可以看到朴素的卷积算法复杂度为。但若先将与转化为点值表示后再相乘,则乘法的复杂度直接降为。因此卷积的复杂度等于FFT的复杂度,即。
NTT
用于解决模意义下的系数表示与点值表示相转化。设模数为。
由于,因此。将原来的单位根换为原根即可。
const int maxn = 1<<17;
int w[2][1<<19];
void nttinit() {for(int i = 0; i <= 18; i++) {w[1][1<<i] = w[0][1<<i] = 1;int wn = qpow(gmd, md-1>>i+1), invwn = inv(wn);for(int j = (1<<i)+1; j < 1<<i+1; j++) {w[1][j] = mul(w[1][j-1], wn);w[0][j] = mul(w[0][j-1], invwn);}}
}
void ntt(int a[], int n, bool typ) {for(int i = 1, j = n>>1; i < n; i++) {if(i < j) swap(a[i], a[j]);for(int k = n>>1; (j^=k) < k; k >>= 1);}for(int i = 1; i < n; i <<= 1) for(int j = 0; j < n; j += i<<1) for(int k = 0; k < i; k++) {int u = a[j+k], v = mul(w[typ][i+k], a[j+i+k]);a[j+k] = add(u, v);a[j+i+k] = sub(u, v);}if(!typ) {int invn = inv(n);for(int i = 0; i < n; i++) f[i] = mul(f[i], invn);}
}
int tmp[maxn<<1];
void Mul(int a[], int an, int b[], int bn) {if(an <= 48 || bn <= 48) {memset(tmp, 0, (an+bn-1)*sizeof(int));for(int i = 0; i < an; i++) for(int j = 0; j < bn; j++) Add(tmp[i+j], mul(a[i], b[j]));memcpy(a, tmp, (an+bn-1)*sizeof(int));return;}int n = 1;while(n < an+bn-1) n <<= 1;ntt(a, n, 1); ntt(b, n, 1);for(int i = 0; i < n; i++) a[i] = mul(a[i], b[i]);ntt(a, n, 0);
}
采用vector的版本:
typedef vector<int> pol;void ntt(pol& f, int typ) {int n = f.size();for(int i = 1, j = n>>1; i < n; i++) {if(i < j) swap(f[i], f[j]);for(int k = n>>1; (j ^= k) < k; k >>= 1);}for(int i = 1; i < n; i <<= 1) for(int j = 0; j < n; j += i<<1) for(int k = 0; k < i; k++) {int u = f[j+k], v = mul(w[typ][i+k], f[j+i+k]);f[j+k] = add(u, v);f[j+i+k] = sub(u, v);}if(!typ) {int invn = inv(n);for(int i = 0; i < n; i++) f[i] = mul(f[i], invn);}
}
FWT
用于求位运算(集合)卷积。同样我们先对原来的两个数组进行处理,再相乘,再逆变换回去。
或FWT
考虑对数组的一种变换,满足。这个可以通过分治在时间内做到。
将数组的长度向上扩充到,设其为。假设当前我们在处理区间,并且已经计算完了与自己区间内部的影响,考虑合并。我们发现这个数及其二进制子集一定是这个数的二进制子集,因此对于所有将的答案累加到上即可。即,其中表示连接。不难推出其逆变换为。
与FWT
此时需要实现的变换是。
与或运算类似,容易推出,。
以上两变换又称FMT(快速莫比乌斯变换),又称高维前缀和。
异或FWT
这个比较奇怪,反正我想不到。此时需要实现的变换是。
变换是,(和差问题)。手推可验证正确。
*2018.11~12
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2024/4/30 9:43:22 - 械字号医用眼膜缓解用眼过度到底有无作用?
原标题:械字号医用眼膜缓解用眼过度到底有无作用?医用眼膜/械字号眼膜/医用冷敷眼贴 凝胶层为亲水高分子材料,含70%以上的水分。体表皮肤温度传导到本产品的凝胶层,热量被凝胶内水分子吸收,通过水分的蒸发带走大量的热量,可迅速地降低体表皮肤局部温度,减轻局部皮肤的灼…...
2024/4/30 9:42:49 - 配置失败还原请勿关闭计算机,电脑开机屏幕上面显示,配置失败还原更改 请勿关闭计算机 开不了机 这个问题怎么办...
解析如下:1、长按电脑电源键直至关机,然后再按一次电源健重启电脑,按F8健进入安全模式2、安全模式下进入Windows系统桌面后,按住“winR”打开运行窗口,输入“services.msc”打开服务设置3、在服务界面,选中…...
2022/11/19 21:17:18 - 错误使用 reshape要执行 RESHAPE,请勿更改元素数目。
%读入6幅图像(每一幅图像的大小是564*564) f1 imread(WashingtonDC_Band1_564.tif); subplot(3,2,1),imshow(f1); f2 imread(WashingtonDC_Band2_564.tif); subplot(3,2,2),imshow(f2); f3 imread(WashingtonDC_Band3_564.tif); subplot(3,2,3),imsho…...
2022/11/19 21:17:16 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机...
win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”问题的解决方法在win7系统关机时如果有升级系统的或者其他需要会直接进入一个 等待界面,在等待界面中我们需要等待操作结束才能关机,虽然这比较麻烦,但是对系统进行配置和升级…...
2022/11/19 21:17:15 - 台式电脑显示配置100%请勿关闭计算机,“准备配置windows 请勿关闭计算机”的解决方法...
有不少用户在重装Win7系统或更新系统后会遇到“准备配置windows,请勿关闭计算机”的提示,要过很久才能进入系统,有的用户甚至几个小时也无法进入,下面就教大家这个问题的解决方法。第一种方法:我们首先在左下角的“开始…...
2022/11/19 21:17:14 - win7 正在配置 请勿关闭计算机,怎么办Win7开机显示正在配置Windows Update请勿关机...
置信有很多用户都跟小编一样遇到过这样的问题,电脑时发现开机屏幕显现“正在配置Windows Update,请勿关机”(如下图所示),而且还需求等大约5分钟才干进入系统。这是怎样回事呢?一切都是正常操作的,为什么开时机呈现“正…...
2022/11/19 21:17:13 - 准备配置windows 请勿关闭计算机 蓝屏,Win7开机总是出现提示“配置Windows请勿关机”...
Win7系统开机启动时总是出现“配置Windows请勿关机”的提示,没过几秒后电脑自动重启,每次开机都这样无法进入系统,此时碰到这种现象的用户就可以使用以下5种方法解决问题。方法一:开机按下F8,在出现的Windows高级启动选…...
2022/11/19 21:17:12 - 准备windows请勿关闭计算机要多久,windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机怎么办...
有不少windows10系统用户反映说碰到这样一个情况,就是电脑提示正在准备windows请勿关闭计算机,碰到这样的问题该怎么解决呢,现在小编就给大家分享一下windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机的具体第一种方法:1、2、依次…...
2022/11/19 21:17:11 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...
今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后,每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面,提示请勿关闭计算机”,每次停留好几分钟才能正常关机,导致什么情况引起的呢?出现配置Windows Update…...
2022/11/19 21:17:10 - 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...
只能是等着,别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚,只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一:管理员运行cmd:net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57