这是Strang教授的第七讲，这节课是一个转折，它从定义转向算法，这节课主要内容是求解矩阵的零空间，通过一个例子讲解了通过消元法求解Ax=0，并在贯通例子的过程中介绍了几个新的概念：特解、主变量、自由变量、主列、自由列、阶梯矩阵U和简化的行阶梯形式，另外讲解了矩阵秩的概念。

特解

        第6讲（列空间和零空间-线性代数课时6（MIT Linear Algebra , Gilbert Strang））介绍零空间时，虽然没给出求解矩阵A零空间的过程，但我们直接给出了例子中矩阵A的特解：

        ，

       并指出是过原点的一条直线，上面表达式给出的向量（1,1,-1）就是特解，特解是从解直线上取的一点，由原点指向它的向量，直线上任意取一点除了原点都能当做特解。

        有了特解的概念，那么A的零空间可以这样描述（书中原话）：

        The nullspace consists of all combinations of the special solutions.

通过消元法求解Ax=0

        举例说明求解Ax=0的消元算法，首先，要说明消元过程不会改变方程组的解，所以不会改变，通过消元法求解Ax=0求解N(A)得到的结果是正确的，e.x:

        上面消元得到的结果和前面讲的方阵消元得到的结果有点不同，它是一个阶梯形式的矩阵，叫做行阶梯矩阵（Echelon Matrices）。上面消元之后得到的主元1和2在第一列和第三列，包含主元的列叫做主列，消元之后不包含主元的列叫做自由列，例子中是列2和列4。对于Ax=b的解的4个分量，A主列对应的分量叫做主变量，A自由列对应的分量叫做自由变量。   

        消元之后的方程Ux=0，通过回代求解x，发现2个方程4个未知数，方程和未知数的个数不对应，这里怎么回代呢？这里回代的关键在于：自由变量可以随意取值，然后自由变量取的值带入方程回代求得主变量，从而求得特解，那么有多少个特解呢？答案是和自由变量的个数相同，回代：

        1.取自由变量回代求得Ux=0的一个特解：

        2.取自由变量回代求得Ux=0的另外一个特解：

        求得特解之后，怎样给出x的整个解空间（也即），取所有特解的线性组合：

简化的行阶梯矩阵R

       简化的行阶梯矩阵R很有用处，用它可以直接给出Ax=0的所有特解。R是在U的基础上再通过向上消元将主元上方的元素也消掉，使得主元上下均为0，接着上面的例子：

        这就是R，要说明的是Ax=0，Ux=0，Rx=0解是相同的。我们假设A的主列都在自由列的前面，那么R将会有如下的一般形式：

        ，假设R有r个主元，那么R有r个主列，r个主行，n-r个自由列，m-r行0，通过R可以给出由Ax=0的特解作为列向量的矩阵N，N叫做零空间矩阵（Nullspace matrix）的表达式：

        ，,是一个的矩阵，N的列向量空间就是A的零空间 .

        验证下上面的表达式是正确的，只需要验证成立：

        。

        我们也可以正向推导一下，看看表达式的来由，假设:

             , 那么，

        使得上面的表达式要成立的条件是,所以,因为自由变量可以任意取值，那么取,则，此时：

        .上面的表达式就推导出来了。

矩阵的秩

        矩阵的秩是一个十分重要的概念，它给出了矩阵A的真实大小。定义：

        The rank of A is the number of pivots.This number is r.

        矩阵的秩定义为矩阵A主元的个数，比如说矩阵的秩为1表情矩阵只有一个主元。

        矩阵的秩r表明矩阵mxn的矩阵A只有r个线性无关的列向量和r个向量无关行向量。根据矩阵秩的定义，若矩阵A的秩为r，那么在解Ax=0的时候，有n-r个自由变量可以选取，特解的个数是n-r.

       本节课的内容对应《INTRODUCTION TO LINEAR ALGEBRA》3.2章节的后半部分和3.3章节。

下节课：求解Ax=b：可解性和解的结构-线性代数课时8（MIT Linear Algebra , Gilbert Strang）