§1.0  序  论

一、极限思想的起源以及它的大意

极限是高等数学中一个起着基础作用的重要概念，整个高等数学的体系都建立在这一概念基础之上。

【例1】中国古代有句古语：一尺之槌，日截其半，永世不竭。

设原槌之长为一个单位长，用  表示第 n 次截取之后所剩下的长度，则。

显然，当无限地增大时， 趋近于零。所谓“永世不竭”，意指它可以无限地接近于零，但总不会等于零。对  的这一变化趋势，我们一般采用记号来表示。

这便是极限雏型，它描述地是当  时，的变化过程。

由于极限是描述变量无限渐进某个量的变化过程，使得对这一概念的理解十分困难，容易走入一些奇怪的认识误区。

二、认识误区

【例2】讨论当时，函数趋近于多少？

因为，但。因此，在求极限时，可以约去非零因子，而得到       。

而对于，很容易觉察出它的结果为2，这似乎又让了，岂不是产生了矛盾?

 

【例3】( 芝诺悖论 )龟兔相距一个单位长，设乌龟的爬行速度为1，而兔子的奔跑速度是乌龟速度的2倍，则兔子永远也追不上乌龟。其理由是：当兔子追到乌龟的第一个出发点时，乌龟爬行了的距离；当兔子追到乌龟的第二个起点时，乌龟又爬行了距离，…，如此下去。

这一悖论十分地迷惑人，但如果是考虑龟兔赛跑的时间，不难发现这一悖论的错误。

最初龟兔之间的相距

第一段路程兔子所用时间为，龟兔之间还相距

第二段路程兔子所用时间为，龟兔之间还相距

………

第n段路程兔子所用的时间为，龟兔之间还相距

前n段路程兔子所用时间的总和为

显然，当时，，这表明兔子追不上乌龟是指在单位时间内追不上，并非永远追不上。

在这一悖论中，正是由于存在着“龟兔之间的距离  无限地趋近于零，但总达不到零”这一认识上的难点，使得它容易迷惑人。

三、极限思想在数学史上所取得的成就

在初等数学中，往往只研究变量的状态性质（静态的性质），而极限是研究变量变化过程中的一种变化趋势（动态的性质）。因此，极限思想帮助我们解决了许多初等数学无法解决的问题，获得了一些令人激动不已的结果，使数学进入了一个辉煌的时期。

下面我们仅举两例，展示极限的应用方法及应用成就。

【例4】( 刘徽割圆术 )求半径为 r 的圆面积A。

正多边形的面积公式为 ， 是正多边形的周长， 是边心距。

如下图所示，考虑圆的内接与外接正多边形的面积，n表示正多边形的边数。

显然有： ，而

 

直观上，当n无限地增大时，正多边形的面积无限地趋近于圆的面积。利用著名数学软件Matlab，编写了动画程序gs0101.m，运行该程序，可更直观地了解到这一点。

由著名的极限

我们可得到圆的面积公式

【例5】( 阿基米德穷竭法 ) 求由抛物线 轴及直线  所围成的图形的面积。

在 x 轴上从0到1的那一段区间上插入n+1个等分点

过这些点作平行于 y 轴的直线段，它们将图形划分成了n个“狭窄”的竖条，把这些“狭窄竖条”近似地看作“矩形竖条”，可求出它们面积的近似值

原图形面积可以用阶梯形的面积之和来近似地表示

显然，当 n 愈来愈大时（即：图形分划出的竖条越来越狭窄），这个近似值就越来越接近原图形面积的真实值。也就是说，原图形面积值为

§1.3  数列极限

一、数列极限

1、数列概念

若按某一法则，对任意自然数  有一个确定的数与之对应，那么，这列有序数

称之为数列，且第  项称之为该数列的一般项。

用函数的观点来看，数列可看作自变量为正整数的函数：

在几何上，数列是数轴上的一个动点。

2、数列极限的语言

【例1】讨论数列  的极限。

数列一般项为 ，观察易知

当 n 愈来愈大，的值愈来愈接近于0，的值愈来愈接近于1。因此，我们可以讲，数列的极限为 1 。

上面的讨论，很大程度上依赖于观察，诸如“愈来愈大”，“愈来愈接近”这类语言也显得含糊不清，因此，我们有必要弄精楚极限的准确数学含义。

在数学上，两个数与之间的接近程度可以用来度量，越小，与就越接近。与1 的接近程度为 。

所谓 “当 n 愈来愈大时，的值愈来愈接近于 1”，意指

当 n 取得足够大时， 可以小于任意给定的正数。

如:给定 ，只要 ，那么数列从第101项起后的一切项

均使不等式    成立。

如:给定 ，只要 ，那么数列从第1001项起后的一切项

均使不等式   成立。

一般地

对于任意给定的充分小正数，总可找到一个正整数，使得对于的一切时的，不等式

总成立。

这就是数列极限的精确数学含义！由此，我们给出数列极限的一般定义：

给定数列，若对于任意给定的正数（无论多么小），总存在一个正整数，当时，不等式

总成立，则称常数是数列的极限，或称收敛于。记作

或（当时）

如果数列无极限，则称数列发散。

在这一定义中，数值是核心，通常也称此定义为语言，用以下符号来加以简述。

,, 当  时，总有

成立，则称数列以为极限，记作。

对极限的精确语言我们给出几点注解:

(1)、正数是任意给定的，因为只有这样不等式才能表达与愈来愈接近的含义，但一经给定就不变了。

(2)、正整数 N 与有关的，一般地讲，越小就越大。但通常 N 的选取不唯一，只要找一个就行了。

(3)、数列极限具有非常明显的几何特征

,, 当  时，有

这表明：数列有无限多项 落入区间内，至多只有有限项(至多 N 项)在此区间之外。

这种现象可以用下图来进行直观解释：

数列有无穷多项凝聚在点的邻域内，点象一个吸力非常大的黑洞，在它的附近吸引了数列中的无穷多项。

(4)、语言只能用来判定数列是否以极限，而不能用它来求数列的极限。

3、用语言证明数列极限举例

【例2】试证明极限

解：，欲使

只需，因此可取，当时，有不等式

成立，故  。

【例3】设，试证明等比数列的极限为0。

解：，欲使

只需，即  ( 注意到： )

因此可取，当时，有不等式

成立，故  。

【例4】设，试证明它的极限为0。

二、收敛数列的两个性质

【定理一】(极限的唯一性) 数列 不能收敛于两个不同的极限。

这一定理所陈述的事实显然。据数列极限的几何意义，收敛的数列不可能有两个凝聚点。

【定理二】(收敛数列的有界性) 设数列收敛，则数列一定有界。

若数列收敛于，则它的各项  在数轴上的分布如下图所示

很明显， 数列是有界的。

定理二表明：收敛的数列一定是有界的，那么，有界的数列是否一定收敛呢?

请看一个著名的反例  

几何上，该数列取值只是-1、+1两点，显然，它们不可能有什么唯一的凝聚点，但它们却是有界的。这表明：有界数列不一定收敛。

§1.4  函数极限

函数极限有如下两种形式

1、自变量趋近于有限值(记作)时，对应的函数值的变化情况。

2、自变量的绝对值趋于无穷大( 记作)时，对应的函数值的变化情况。

一、自变量趋向于有限值时的函数极限

1、语言

数列极限可用函数观点来重新加以解释：

当自变量取正整数  且无限增大时，对应函数值无限地接近于常数。

据此， 我们不难给出一种新极限的描述性定义:

当自变量任意地趋近于有限值时，对应的函数值无限地趋近于确定常数， 那么就称  是函数在时的极限。

为获得这类新极限的精确定义，参照数列极限定义，作适当的移植工作。

在的过程中， 函数值无限趋近于， 意指：

可任意小， 即：（其中任意给定）。

而无限趋近于，是在条件下实现的，也就是说

需要充分地接近于，即：（其中是某个正数）。

函数极限的语言

若对于任意给定的正数 ，总存在一个正数 ，使得对于一切适合不等式 的，对应的函数值， 都适合不等式

那么常数称之为函数当时的极限，并记作

(1)、定义中表示。这是因为，但达不到，因此函数在点处的极限，与函数在该点处是否有定义无关。

(2)、是任意给定的正数，而依赖于，通常是的函数，但与无关。

(3)、函数极限语言可简述成下列形式

则。

（4）、 的几何意义

当属于，但  时，的图形上点的纵坐标 落入两直线  与  之间。

2、运用语言证明函数极限

【例1】设为常数，试证：

证明：，欲使

只要取等于任意正实数，如 ，当 时，有

故 。

【例2】试证：

证明：，欲使

只要取，当 时，有

故：

【例3】设，证明：。

证明：，欲使

因，只要即可，(因)

，可取；

另一方面，条件，因此，可取；

结合上述两点，应取，当时，有

只要取，当时，有

故：

3、两个定理

【定理一】(函数的保号性)如果，且(或)，则存在着点的某一去心邻域，当在该邻域内时，恒有(或)。

由函数极限的几何意义， 这一结论比较明显。

 

【定理二】(函数极限的保号性)如果在的某一去心邻域内(或)， 而且， 那未 (或 )。

证明:反证法

假设，而上述结论不成立，即。

据定理一，存在一个的去心邻域，在该邻域内，这与的假定相矛盾。所以 。

类似地可证明的情形。

4、左右极限

上述时函数的极限，是既从的左侧也从的右侧趋向于，因此，我们也称它为双侧极限。

有时，我们仅考虑从的左侧趋向于的情形(记作)，或仅从的右侧趋向于的情形(记作)，也就是所谓单侧极限。

很显然， 单侧极限只是双侧极限的一个特殊形式。

由函数双侧极限的语言，不难给出函数的左右极限定义。

 

类似地，可给出函数的右极限定义。

函数的左右极限有一个十分重要的性质：

当时极限存在的充要条件是左极限、右极限均存在且相等。

二、自变量趋向无穷大时函数的极限

如果在的过程中，对应的函数值无限接近于确定的数值，那末叫做函数当时的极限。

这类极限也可用精确语言来描述。

1、 语言

    

对这一定义我们特别给出几点注解，它对理解语言是非常有帮助的。

(1)、如果且无限增大，( 记作 )， 则只要将上述定义中的

     改为， 就得到的定义。

    同样， 而无限增大 (记作: )，则只要将上述定义中

改为 就得到 的定义。

(2)、的几何意义

作直线，则总存在正数，使得当时，函数的图形位于这两条直线之间。

2、举例

【例4】试证明: 

必须指出，该函数极限具有十分鲜明的几何特性:

直线 是曲线的图形的水平渐近线。一般地，我们有结论：

如果 ，则直线是曲线的一条水平渐近线。

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