§2.7  函数的微分

一、由一个例子引入微分概念

【引例】一块正方形金属薄片受温度变化影响，其边长由变到，试给出：

1、此薄片的面积的改变值。

2、用计算机摸拟边长改变量与面积改变量的对应关系

正方形的面积计算公式 ，是边长。

当由变化到时，正方形面积的增量为

这就是薄片面积的改变量。它由两部分构成：

(1)、的线性部分

(2)、的高阶无穷小部分 (当时)

直观上， 可以这样解释增量：

相当小时，主要取决于第一部分，第二部分对它的影响相对较小，可以忽略不计即：

微分定义

设函数在某区间上有定义，及在此区间内，若函数增量

可表示成形式                           (1)

其中是不依赖于的常数，而是比更高阶的无穷小。

则称函数在点是可微的，而叫做函数在点相应于自变量增量的微分，记作。亦即：。

二、函数可微的充要条件

【定理】函数在点可微的充要条件是函数在处可导。

当函数在处可微时，其微分为 。

【证明】必要性

因为在处可微，则(1)式成立

即：

充分性

若函数在点可导，则有

      其中   

这里，数是与无关的常数，而是时的高阶无穷小，故函数在处可微，且微分为 。

三、常用的结论与概念

1、若，当充分小时，有近似公式 。

证明 ：

即：      故：   ( 当  时 )

2、函数微分

函数在任意点的微分，称之为函数的微分，记作或。

即：

3、微商

对于函数，

按照微分的记法有     

按照微分的定义有     

这表明     。

因此，可表示成另一种形式  

两边同除可得                        

亦即：函数微分与自变量微分之商等于函数的导数，因此导数也叫做微商。

过去，我们认为符号是一个整体记号。现在，可以认为它是函数微分与自变量微分之商。

微商的概念与符号是德国数学家莱布尼兹创立的，而导数的概念与符号是由英国数学家牛顿创立的。他们各自沿着不同的途径分别独立地创立了微积分学说，且各自都有独到之处。

牛顿从运动学的观点出发，它给微积分的应用提供了广泛的材料；莱布尼兹从几何学的观点出发，而他所创立的符号系统却十分先进，既表达了概念，又便于运算。象数学软件mathematica的符号演绎系统就采用了莱布尼兹的符号。

当然，牛顿、莱布尼兹二人所创立的微积分决不是我们今天的面貌，它极不严密。被戏称为神秘的微积分学。但它的实际应用成就却令人们欢欣鼓舞。例如，天文学上最伟大的成就之一：海王星的发现，就是数学家利用微积分计算出它的存在性与运动轨迹之后而被天文学家发现的。

马克思也曾对微积分的理论作了研究，并设法使之严谨，这从马克思留下的数学手稿中可以看出这一点。但是，由于没有完整严格的极限理论，使人们对微积分学说一直争论不休。直到数学家哥西与魏尔斯特拉斯的极限理论的诞生，才给微积分学奠定了坚实的理论基础，使它得以蓬蓬勃勃的发展起来。

四、微分的几何意义

 称之为莱布尼兹微分三角形
表示自变量的增量
表示函数增量
表示函数的微分
的意义暂时还不知晓（它代表弧的微分）

五、基本初等函数的微分公式与微分的运算法则

由于函数的微分与导数是等价的，因此，函数的求导法则与求导公式，可以照搬到函数的微分。

这里，我们主要介绍复合函数的微分法则 —— 一阶微分的形式不变。

设，，则复合函数的导数为

它的微分为       

而            

故            

当为另一个变量的函数，也就是中间变量时，成立，而当为自变量时，此式显然成立。

这一性质被称之为一阶微分的形式不变性。它使求函数微分的过程单一，易于计算机来处理。这也正是莱布尼兹符号体系的优越性。

【例1】 ， 求 

 解：

【例2】，求

解：

 

§2.8  微分在近似计算中的应用

一、几个近似计算公式

设函数在处的导数，且充分小时，有

这里：，

故有如下近似公式

                                              (1)

                                 (2)

                                 (3)

(1)、(2)、(3)式在近似计算中的作用：

若，容易计算时，那未

(1)式可用于近似计算函数在处的增量。

(2)式可用于近似计算函数在附近的函数值。

(3)式表明： 只要充分接近，函数可用线性函数

来替代。

用(2)、(3)式来作近似计算，关键是选择点，的选取标准有两条：

1、、易于计算。

2、 或  尽可能地小。

【例1】有一批半径为1厘米的球， 为了提高球面光洁度，要镀上一层铜，厚度定为0.01厘米，试估计每只球需用多少克铜(铜的比重是)?

解：镀铜前的球半径为=1 (厘米)

镀铜后球的半径的增量为 =0.01 (厘米)

而球的体积公式是 ，， 这里是球的半径。

镀铜层的体积为 

每只球的需铜量约为 。

【例2】求 的近似值

解：将化为弧度

这里取函数为 ，，

由近似公式(2)计算函数  的近似值

注：值的计算可在MATLAB中键入表达式

sin(pi/6)+cos(pi/6)*(pi/360)

然后将结果粘贴到此。

二、几个工程中常用的近似公式

在(3)式中，取时，形式变为  (充分小)

利用此式， 可以得到几个工程中常用的近似计算公式。

   

这些公式的证明较容易，仅证第(5)式，其余的留给同学们自行验证。

取，，

【例3】计算  的近似值。

解： 

由近似公式(1)有：

三、微分用于误差估计

1、误差估计中的几个概念

设某个量的精确值为，它的近似值为，则称为的绝对误差。

而比值称为的相对误差。

一般说来，某个量的精确值往往是无法知道的，于是绝对误差和相对误差就无法求得。因此，在误差估计中， 常常是确定误差的范围。

若 ，则  称为测量的绝对误差限；

而比值  称为测量的相对误差限。

【例4】测得圆钢截面的直径，测量的绝对误差限为
。若利用公式计算圆钢的截面积，试估计面积
的误差限。

解：将测量时所产生的误差当作自变量的增量，

利用计算时的误差可看作函数的对应增量，

当充分小时，可以用近似代替，

即     

而的绝对误差限为毫米，即： 

从而： 

故的绝对误差限为

 

的相对误差限为

2、误差限的计算公式

仿上例，可给出利用测量值，按公式计算值时，其误差限的确定公式。

设测量的误差限为，即： ，当  时，

有        ，

的绝对误差限为：   

的相对误差限为：

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