解最优化问题

本文版权属于重庆大学计算机学院刘骥，禁止转载

最优化问题的分类

按照目标函数的可导性，可以将最优化问题分为两类：
1. 目标函数可导，例如目标函数为$f(x)=x^2+x+1$
2. 目标函数不可导，例如目标函数为$f(X)=\sum_{p\in X}e^p$

对于不可导的目标函数，其解法比较特殊。采用模拟退火算法、粒子群算法、遗传算法、蚁群算法、图割（Graph Cut）算法等方法，可以求解这类问题，但通常无法得到精确的解（或者说全局最优解）。并且有些问题，仅能用特定的解法，求出特定的解。由于该类问题的复杂性，本文对不可导目标函数问题不进行讨论。如果你在实际中遇到了这类问题，可以采用如下方法解决：
查学术论文，github上找代码；如果找不到解决方案，恭喜你，这是一个获得数学大奖的机会

本文余下部分，针对可导的目标函数进行讨论，这类问题存在大量通用的算法。人类历史发展到2017年，你甚至不需要了解具体算法的原理，也能够很happy的解决这类问题。

直接开始求解

下面我们用一个简单的最优化问题为例：

$$\begin{align} \mathop{\arg\min}_{x,y}f(x,y)=x^2+y^2+1 \end{align}$$
显然$x=0，y=0$时，$f(x,y)$有最小值1。问题在于，计算机如何求解这个问题呢？

downhill simplex

Python语言的scipy.optimize包的fmin函数实现了downhill simplex方法，也称为Nelder–Mead方法（downhill、simplex和downhill simplex是不同的概念，有兴趣可以参考维基百科）。这里不去讲解downhill simplex的原理，有需要原理的读者，请移步到https://en.wikipedia.org/wiki/Nelder–Mead_method。
fmin函数的说明如下：

我估计你看不懂，所以我不准备解释。我们直接看代码吧。

# encoding=utf-8
import scipy.optimize as opt
#定义目标函数f
def f(X):x=X[0]y=X[1]return x**2+y**2+1;
x=10
y=10
X=[x,y]
X=opt.fmin(f,X) #f是目标函数，X是初始猜测的解
x=X[0]
y=X[1]
print x,y 

程序执行结果如下：

最终$x$和$y$的值不是0，而是一个接近0的值。这是由于数值计算毕竟是缺乏精度的。fmin函数是一个迭代算法。在执行过程中，它还同时输出了结束迭代时的最小值，迭代的次数，以及函数计算的次数。

Conjugate Gradient

downhill simplex比较简单，实现没有难度。但它的问题在于比较慢，下面我们试试 Conjugate Gradient法。使用scipy.optimize包的fmin_cg方法。这个方法需要求出目标函数的偏导数（梯度）：

$$\begin{align} \frac{\partial f}{\partial x}=2x \\ \frac{\partial f}{\partial y}=2y \end{align}$$

# encoding=utf-8
import scipy.optimize as opt
import numpy as np
#定义目标函数f
def f(X):x=X[0]y=X[1]return x**2+y**2+1;
#定义目标函数f对应的梯度函数
def gradf(X):x=X[0]y=X[1]gx=2*xgy=2*yreturn np.asarray((gx,gy)) #梯度以向量形式返回
x=10
y=10
X=[x,y]
X=opt.fmin_cg(f,X,fprime=gradf) #f是目标函数，X是初始猜测的解，增加梯度
x=X[0]
y=X[1]
print x,y 

运行结果如下：

可以看出该方法比downhill simplex运行得更快。当然这是显然的，因为有了梯度信息。

你居然不会求偏导数！

OK！OK！有办法可以解决！今年是2017年，如果你还不会求偏导数，那么交给计算机吧！

X=opt.fmin_cg(f,X)

OK！计算结果如下：

慢了一些，函数的演化次数增加了15次，why？因为算法用数值法来计算梯度！具体来说（你可以忽略下面的内容，把问题交给人工智能）：

def gradf(X):x=X[0]y=X[1]gx=(f([x+0.0000001,y])-f([x,y]))/0.0000001gy=(f([x,y+0.0000001])-f([x,y]))/0.0000001return np.asarray((gx,gy))

也就是：

$$\begin{align} f'(x)=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \end{align}$$

Newton-CG

试试Newton-CG，也就是fmin_ncg函数，该函数需要2阶偏导数构成的Hessian矩阵：

$$\begin{align} \begin{bmatrix} \frac{\partial f^2}{\partial x^2} &\frac{\partial f^2}{\partial x \partial y}\\ \frac{\partial f^2}{\partial y \partial x} &\frac{\partial f^2}{\partial y^2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2&0\\ 0&2 \end{bmatrix} \end{align}$$
代码如下：

# encoding=utf-8
import scipy.optimize as opt
import numpy as np
#定义目标函数f
def f(X):x=X[0]y=X[1]return x**2+y**2+1;
#定义目标函数f对应的梯度函数
def gradf(X):x=X[0]y=X[1]gx=2*xgy=2*yreturn np.asarray((gx,gy)) #梯度以向量形式返回
def hess(X):return np.array([[2,0],[0,2]]) #hessian矩阵
x=10
y=10
X=[x,y]
X=opt.fmin_ncg(f,X,fprime=gradf,fhess=hess) #f是目标函数，X是初始猜测的解，增加梯度
x=X[0]
y=X[1]
print x,y 

运行结果如下：

非常精确！当然如果不会计算hessian，如下操作：

X=opt.fmin_ncg(f,X,fprime=gradf) #注意梯度是必须的

结果如下：

总结

现在是2017年，基本的最优化问题已经经过了几百年的发展（不是几十年），因此有大量现成的函数库可以使用。直接调用这些库函数，你甚至不需要知道如何求导数、如何求Hessian矩阵，也可以很好的解决最优化问题（可导的）。如果不追求效率，如果精度可以接受，那么最最原始的downhill simplex方法已经能够适用于大多数场景（你需要小数点后几位的精度？）。

数学原理

大多数最优化的书籍，在讲解数学原理时，都抱着一定要让人看不懂，才能显得高深莫测的心态。其实求解可导目标函数的数学原理是极其简单的，那就是：穷举，更高效的穷举。

假设目标函数为$f(X)$，其中$X\in R^n$（注意这意味着$X$是一个向量，$f$是多元函数）。例如$X=(x,y,z)^T$，则$f(X)$表示的函数就是$f(x,y,z)$。我如此定义不是为了把你搞晕，而是为了环保！试想如果我想定义函数$f(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8,x_9,x_{10},x_{11},x_{12},x_{13},x_{14},x_{15},x_{16},x_{17},x_{18},x_{19},x_{20},x_{21},x_{22})$，难道不是写成$f(X)$，$X\in R^{22}$更环保吗？Yes，Yes，你从来没有见过3元以上的函数，那不是因为你一直都是在做考题吗？一道考试题，要是有22个变量，你要用多大的草稿纸？现实问题则不然，考虑女性择偶问题，男方必须有钱、长得帅、有安全感、父母双亡、有车、有房、有股票、有存款、初恋、非凤凰男等等。表示为函数就是：

$$f(钱,颜值,安全感,父母,车,房,股票,存款,情史,是否凤凰男)$$
学过代数吧？于是这个函数就变成了:
$$f(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8,x_9,x_{10})=f(X)$$
现在我们来讨论女性择偶函数f(X)的最优化！假定女性朋友给出的函数是这样的：
$$\begin{align} f(X)=X^TC_{10\times 10}X \end{align}$$
这是一个二次函数（请自行展开），C是系数矩阵（我们只是假设女性朋友给出了这样的二次函数，真实情况未必）。OK，其实这个函数长什么样子，不影响后面的讨论。我们所要讨论的是$f(X)$可导的情况。如何确定$f(X)$的极值呢？

最笨的方法就是穷举！！换言之，先试试$f(X_1)$，再看看$f(X_2)$，不停的尝试$f(X_i)$，直到成为单身贵族……对，我告诉你的解法就是成为单身贵族的解法，因为解空间几乎是无限大的，穷举法太笨！

聪明一点的方式是穷举n次，找其中的最优。先试试$f(X_1)$，再看看$f(X_2)$，不停的尝试直到$f(X_n)$，找出$f(X_1)到f(X_n)$中最优的$f(X_i)$。这个方法的缺陷在于，女性朋友不一定能够找到真正的灵魂伴侣。

再聪明一点的方法固定一些变量，搜索另外一些变量。必须长得帅，像鹿晗；必须有钱，和王思聪一样；必须是初恋。你看解空间一下就变小了。接下来的搜索就简单了很多。如果找不到解，那么就修改某些固定的变量。为什么长相必须像鹿晗？郭德纲也可以接受！这样我们就可以开始新的搜索啦！事实上，这就是绝大多数人，择偶的方式。

如果变量是连续的呢？数学家发现，在这种情况下，搜索策略其实是这样的：
1. 首先选择一个起始的解$X_0$。
2. 比较$f(X_0+\Delta)$，如果$f(X_0+\Delta)<f(X_0)$那么$X_0+\Delta$是更好的解
3. 另$X_1=X_0+\Delta$，跳到第1步重新执行。

上述方法的核心在于存在一个$X$的更新公式：

$$\begin{align} X_{n+1}=X_{n}+\Delta_{n} \end{align}$$

上述算法有三个终止条件：
1. 迭代次数达到限额（都已经120岁的单身贵族啦！）
2. $\Delta_{n}$趋近于0
3. $f(X_n)-f(X_{n+1})$趋近于0

下面举个例子，目标函数如下：

$$\begin{align} f(x,y)=x^2+y^2+1 \end{align}$$
假设初始值为$X_0=(1,1)^T$，令$\Delta_n=(-0.1,-0.1)^T$，于是：
$$X_0=(1,1)^T\\X_1=(0.9,0.9)^T\\......\\X_{10}=(0,0)^T\\X_{11}=(-0.1,-0.1)^T$$

Stop！不是$X_{10}$已经达到最优了吗？为什么程序还在跑？问题在于那个$\Delta_n$，如果它能够越接近最小值越小，程序不就可以停下来了吗？越接近你的灵魂伴侣，越需要放慢搜索的速度不是吗？
怎么解决这个问题呢？数学家出场了。我们知道$f(X_{n+1})=f(X_n+\Delta_n)$，根据泰勒公式展开就是：

$$\begin{align} f(X_{n+1})=f(X_n+\Delta_n)=f(X_n)+\frac{\partial f(X_n)}{\partial X}\Delta_n+\Delta_n^T\frac{\partial f^2(X_n)}{\partial X^2}\Delta_n /2+...... \end{align}$$
针对该公式求$\Delta_n$的导数，并令结果等于0，则：
$$\begin{align} \frac{\partial f(X_n)}{\partial X}+\frac{\partial f^2(X_n)}{\partial X^2}\Delta_n =0\\ \frac{\partial f^2(X_n)}{\partial X^2}\Delta_n=-\frac{\partial f(X_n)}{\partial X} \end{align}$$
现在我们可以解出$\Delta_n$！如果你对上述推导的原理感到好奇，不奇怪啊，你不是数学家对吧？总之，我们会算就可以啦。现在用新的公式来求解老问题。
$$f(x,y)=x^2+y^2+1\\ \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=2x\\ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=2y\\ \frac{\partial f^2(x,y)}{\partial x^2}=2\\ \frac{\partial f^2(x,y)}{\partial x\partial y}=0\\ \frac{\partial f^2(x,y)}{\partial y^2}=2\\ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y\partial x}=0\\ \begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2 \end{bmatrix}\Delta_n=- \begin{bmatrix} 2x_n&2y_n \end{bmatrix}\\ \Delta_n=- \begin{bmatrix} x_n&y_n \end{bmatrix}$$
计算过程如下：
$$X_0=(1,1)^T \quad \Delta_0=(-1,-1)^T\\ X_1=X_0+\Delta_0=(0,0)^T \quad \Delta_1=(0,0)^T\\ \because \Delta_1=(0,0)^T \\ \therefore X=X_1就是最优解$$

数学白痴表示求偏导数矩阵太难理解！！如何破！！数学家马上送上福利：

$$\begin{align} \lambda\Delta_n=-\frac{\partial f(X_n)}{\partial X} \end{align}$$
假设$\lambda=2$，我们看看目标函数$f(x,y)=x^2+y^2+1$的计算过程：

$$\Delta_n=- \begin{bmatrix} x_n&y_n \end{bmatrix}\\X_0=(1,1)^T \quad \Delta_0=(-1,-1)^T\\ X_1=X_0+\Delta_0=(0,0)^T \quad \Delta_1=(0,0)^T\\ \because \Delta_1=(0,0)^T \\ \therefore X=X_1就是最优解$$
运气不错！如果$\lambda=4$呢？推导如下：
$$\Delta_n=- \begin{bmatrix} 0.5x_n&0.5y_n \end{bmatrix}\\X_0=(1,1)^T \quad \Delta_0=(-0.5,-0.5)^T\\ X_1=X_0+\Delta_0=(0.5,0.5)^T \quad \Delta_1=(-0.25,-0.25)^T\\ X_2=X_1+\Delta_1=(0.25,0.25)^T \quad \Delta_2=(-0.0625,-0.0625)^T\\ ......\\ 若干步后收敛$$
如果$\lambda=1$，推导如下：
$$\Delta_n=- \begin{bmatrix} 2x_n&2y_n \end{bmatrix}\\X_0=(1,1)^T \quad \Delta_0=(-2,-2)^T\\ X_1=X_0+\Delta_0=(-1,-1)^T \quad \Delta_1=(2,2)^T\\ X_2=X_1+\Delta_1=(1,1)^T \quad \Delta_2=(-2,-2)^T\\ ......\\ 无法收敛$$
可见如果采用新的计算公式，$\lambda$的取值会影响算法的收敛速度，甚至无法收敛。但的确这种算法避免了计算Hessian，数学白痴非常高兴！那么它存在的问题可以解决吗？当然可以，方法就是动态调整$\lambda$的取值，从而加快收敛，避免震荡。
最后，再来考虑一下，如果数学白痴连梯度都不会算怎么办？Nelder–Mead Method！对有高等数学背景的人而言，理解Nelder–Mead Method反而很困难！这里就不再详谈了。

数学白痴的福利

我们都不喜欢数学，还好现在是2017年，大量的工作已经由擅长数学的科学家做完了。你所需要的就是找一个算法丰富的库！比如Python的scipy或者matlab。为了写作本文，我对最优化问题进行了很多简化，首先只考虑可导的目标函数，其次也没有考虑函数变量的条件约束（比如$X$必须是整数、$X$必须大于0）。但无论问题多么复杂，这些问题已经被充分研究，充分解决。99%的情况，你只需要scipy或者matlab，剩下0.9999%的情况需要github。最后，还剩下一丢丢的未知领域，等待着学者去研究。别抢他们的饭碗，茶叶蛋已经够贵的啦！