离散数学基础–逻辑与证明

1.命题逻辑

1.1 基本概念

命题：是一个陈述句，可以用来判定真假。（可以判断真假的陈述句）

命题案例:

1.华盛顿是美国的首都

2.1+1=2

但是 x >= 3不是命题。x +1 = 4也不是命题。因为他们不能用来判断真假。

我们可以用字母来表示命题变量，就是表示命题的变量，就像不是命题那两个 x >= n来表示命题变量

如果命题为真，就使用T表示，命题为假，就用F来表示。，不能使用简单命题来表示的命题叫做原子命题。

涉及命题的原子领域叫做命题演算或者命题逻辑。

用逻辑运算符表示的命题叫做复合命题。 eg: !p 表示非p，就是p的否定

真值表：可以清晰表示命题真假的表。

P	!p
T	F
F	T

使用否定符号的非!的连接词，命题真值取反。由于电脑上面打印不出来符号，就用！来代替。

逻辑和 & （我们无法在键盘上面输入那个符号，只能这么处理）逻辑合取

特点：连接两个命题变量，只有当啊两个命题变量为真时命题才是真，其他情况一律是假的

我们以 p & q为例子：

p	q	p & q
T	T	T
F	T	F
T	F	F
F	F	F

逻辑或 | （键盘上面无法这么做，只能这样）逻辑析取

特点：只有当两个命题是假命题的时候取值为假，其他情况一律是真值。

我们以 p | q 为例子：

p	q	p | q
T	T	T
F	T	T
T	F	T
F	F	F

值得注意的是，我们自然语言中的或有两种情况，一种是可兼或，一种是不可兼或。

可兼或，顾名思义就是两者可以一起发生，或者可以只发生其中一个，也可以不发生。

不可兼或，就是二者不能同时发生。但是可以同时不发生。举个例子：从南京南站到北京南站的G155高铁出发时间是17：40 或者 18：10，也就是说，高铁可以在这两个时间节点处随机在一个节点出发，或者不在，但是不可能两者都在。

就是逻辑或表示析取才可以这么干。

或除了表示析取以外还可以表示异或。表示异或时只有一个是真值才是真，其余都是假。

表达方法：p XOR q(计算机表达)

就像不可兼或一样

p	q	p XOR q
T	T	F
T	F	T
F	T	T
F	F	F

p XOR q == (!p & q) | (!q & p)

条件语句：通俗的说就是如果p就q，真值情况是如果p真q假，真值为假，其余是真，记作：p -> q

条件语句可以叫做蕴含。

p	q	p -> q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

相当于 p -> q == !p | q

这个就相当于说到做到，就像你和别人许诺一样，如果许下了诺言，是真的才是真的，否则人家觉得你不诚信，但是你没有许下诺言，不管结果是真是假没人在意。

逆命题，逆否命题，反命题：

以命题p->q为例：逆命题： q->p，逆否命题： !q -> !p，反命题：相当于否命题，即：!p -> !q

逆否命题的真值情况与原命题等价，原命题与逆命题或者否命题不一定等价，然而逆命题与否命题真值情况等价。

等价命题：无论是什么命题，只要复合命题真值情况一模一样，我们就叫做等价命题。

等价命题我们这么写（在计算机上面）：p <=> q （当且仅当）

真值情况：只有当p与q取相同的真值情况才是真，其他情况都是假：

p	q	p <=> q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

证明思路：p <=> q == (p -> q) & (q -> p) == (!p | q) & (!q | p)

1.2 真值表

我们在前面介绍了五个逻辑关系：析取、合取、蕴含、等价、异或。对于相应的复合命题，我们需要取真值，怎么取？

我们来看一个例子：

求（p | !q) -> (p & q)

p	q	!q	p | !q	p & q	原式
T	T	F	T	T	T
T	F	T	T	F	F
F	T	F	F	F	T
F	F	T	T	F	F

总结：求取时先把否命题求真假，再每一个式子求真假，最后再求总和。

逻辑运算符的优先级：

优先级最高的是！非，其次是& 合取，再次是| 析取，往下是 -> 蕴含，最后的 <=> 等价。

1.3 应用

我们在理论的基础上面需要进行实践，现在我们实践一下：

eg：你可以访问南邮校园网，仅当你是南邮计算机专业学生或者不是新生：

访问南邮校园网是命题p,是南邮计算机专业q,新生r

所以应该是：p -> (q | !r)

p仅当q表达了若p则q的意思，但是q不为真时p不为真

eg：你身高不满1.5米不能坐过山车，除非你年满16岁。

坐过山车：p，身高不足1.5米：q，年满16岁r

（p | !q) -> !r

1.4 相关推理

我们可以采用真值表法进行，也可以通过推理来证明即可。

2.命题等价

你也许会遇到一些命题，他无论怎么取值都是真的，我们把一个真值永远是真的命题叫做永真式，也叫做重言式。

一个命题取值恒为假的式子叫做永假式，也叫做矛盾式。

如果p <=> q是永真式，则p和q是逻辑等价的，相当于真值情况都一样。

逻辑等价证明和上面一模一样，我们看看一些等价关系：

等价式	名称
P & T == P P | F == P	恒等律
P | T == T P & F == F	支配律
P | P == P P & P ==P	幂等律
!(!P) == P	双重否定表肯定
p | q == q | p p & q == q & p	交换律
(p | q) | r == p | (q | r) (p & q) & r == p & (q & r)	结合律
(p&q)|r == (p|r)&(q|r) (p|q)&r == (p&r)|(q&r)	分配律
!(p|q) == !p & !q !(p&q) == !p | !q	德摩根律
P | (P & Q) == P P & (P | Q) == P	吸收律
P | !P == T P & !P == F	否定律

德摩根律可以涉及多个命题元素的。

3.对偶与范式

定义：在仅含有连接词非，v，^ ,的命题公式A中，将v换成 ^，同时将T和F互相替代，所得公式A*，称为对偶式。当然A式A的对偶式A*的对偶式。

意思是把 & 换成 | ，把 | 换成 & 。

重新定义：将联结词∨换成∧,将∧换成∨,若有特殊变元f和t亦相互取代,所得公式a*称为a的对偶.

显然a也是a*的对偶式.

例题1 写出下列表达式的对偶式.
(a) （p∨q）∧r
(b) （p∧q）∨t
© ┓(p∨q) ∧（p∨┓(q∧┓s)）

解 这些表达式的对偶式是:
(a) （p∧q）∨r
(b) （p∨q）∧f
©┓(p∧q)∨（p∧┓(q∨┓s)）

范式：范式有主析取范式与主合取范式：

合取范式：一个式子里面仅仅包含 a1 & a2 & a3 & a4 & a5 & … & an.

举个例子：(p | q | r) & (!p | q | r)是一个合取范式，但是里面的小项是析取式。

析取范式： 一个式子里面包含 a1 | a2 | a3 | … | an.

举个例子：(p & q & r) | (!p & q & !r)是一个析取范式，但是里面的小项是合取式。

求取方法：把连接词化成 & | !

使用德摩根律化否定符号。

采用分配律和结合律求合取范式与析取范式。

我们来看一个案例：

求 (p & (q -> r)) -> s的合取范式：

解：原式= !(p & (!q | r)) | s == (!p | (q & !r)) | s == !p | (q & ! r) |s == (!p | s) | (q & !r)

== (!p | s | q) & (!p | s | !r)

求!(p | q) <=> (p & q)的析取范式：

解：原式= (!(p | q) -> (p & q)) & ((p & q) -> !(p | q)) == (!(p | q) & (p & q)) | ((p | q) & !(p & q))

== (!p & !q & p & q) | ((p | q) & !(p & q)) == (!p & !q & p & q) | (p & !p) | (p & !q) | (!p & q) | (q & !q)

小项：两个命题变元我们发现有4个小项：p & q, p & !q, !p & q, !p & !q.

三个命题变元有8个小项：p & q & r, p & q & !r, p & !q & !r, p & !q & r, !p & q & r, !p & q & !r, !p & !q & r,

!p & !q & !r.

总结：n个变元有2^n个小项。

小项的性质：每一个小项当其真值指派与编码相同时取值为T，其他情况一律是假的F。eg：m000 = !p & !q & !r

只有当p，q，r取值为0时小项才是真值。

任意两个不同小项合取式永假。

全体小项析取式永真。

主析取范式：所有命题变元里面，一个真值为T的指派所对应小项的析取，叫做主析取范式。

或者我们可以使用等价公式来求取。

大项：n个变元的析取式。每个变元与它的否定不能同时存在，但是两者当中其中一个必须出现一次。

大项的性质：二进制编码0为真，1为假，必须取反，m00 = p | q。当真值指派与编码一致时取值为F，其他情况取值是真。

任意两个大项析取式为永真

所有大项合取式为永假。

主合去范式：真值表里面取值为F指派对应大项的合取，叫做主合取范式。

综合案例：

eg：求(p & q) | (!p & r)的主析取范式与主合取范式：

p	q	r	p & q	!p & r	原式
T	T	T	T	F	T
T	T	F	T	F	T
T	F	T	F	F	F
T	F	F	F	F	F
F	T	T	F	T	T
F	T	F	F	F	F
F	F	T	F	T	T
F	F	F	F	F	F

所以主析取范式是：(p & q & r) | (p & q & !r) | (!p & q & r) | (!p & !q & r)

主合取范式：(!p | q |!r) & (!p | q | r) & (p | !q | r) & (p | q | r)

推理：我们可以采用蕴含和等价来进行推理证明。

4.谓词与量词

谓词：用于描述一个主体或者主题特性的词叫做谓词。例如：小明在南京邮电大学，在南京邮电大学就是谓词。

客体：构成谓词逻辑的东西，如上面的小明就是客体。

4.1 命题函数与量词

命题函数：由谓词与命题变元客体构成的表达式。

我们来举例子：我们使用H(x,y)表示x比y成绩好。x表示张三，y表示李四，H(x,y)就表示张三成绩比李四好，!H(x,y)就是张三成绩没有李四好。

如果函数变元构成命题公式，要讨论真假，还有根据具体情况具体分析。

量词：我们先看一些例子：

1.所有人都需要呼吸

2.每一个学生都要参加考试

3.任意整数要么是正数要么是负数

我们来看：1.我们记M是人，H是都要呼吸，所以命题公式就是（由于任意和存在打不出来，就使用E，A表示了）

​ (Ax)(M(x) -> H(x))

​ 2.我们记P是学生，Q都要考试，所以命题公式是：

​ (Ax)(P(x) -> Q(x))

​ 3.X是整数，Y是正数，Z是负数

​ (Ax)(X(x) -> (Y(x) | Z(x)))

其中符号A表示任意概念，相当于对所有的，每一个的，任意的。叫做全称量词。

再看一组例子：

1.存在一个正整数是质数

2.一些人可以考进清华大学

3.有的人已经开始看下学期的了

解：1.记M是质数，x是整数，所以记作：(EX)(M(x))

​ 2.记Q是x可以考进清华大学,R是x是人，记作：(Ex)(R(x) & Q(x))

​ 3.记S是x已经开始看下学期的了，记作：(Ex)(R(x) & S(x))

其中E表示存在概念，表示存在，至少有一个等。叫做存在量词。

至于命题的真假，我们还需要相关的论题来说明。

合式公式：原子谓词公式组成，由它们组成的公式也叫谓词公式。

约束变元采用全称量词或者存在量词约束合式公式的命题。

4.2 谓词演算的等价式与蕴含式

等价式：给定两个谓词公式，有两个共同的个体域，如果我们对其中任意一组进行赋值，所有命题真值相同，我们就称作这两个命题等价。记作A <==> B

有效的：给定任意谓词公式A，它的个体域为E，对A进行赋值，如果A的值是永真，那么A就是在E上是有效的。

不可满足：谓词公式A，在所有赋值情况下都是假的，那就是不可满足的。

可满足：谓词公式A，存在一个赋值情况是真的。

我们还可以把真值表情况推广到命题公式里面。

我们来看一些性质：

(1) !(Ax)(P(x)) <=> (Ex) !(P(x))

(2) !(Ex)(P(x)) <=> (Ax) !(P(x))

量词作用域扩张与收缩:

收缩：

(3)(Ax)(P(x) | Q) <=> ((AX)(P(X)) | Q)

(4)(AX)(P(X) & Q) <=> ((AX)(P(X)) & Q)

(5)(EX)(P(X) | Q) <=> ((EX)(P(X)) | Q)

(6)(EX)(P(X) & Q) <=> ((EX)(P(X)) & Q)

扩张：

(7)((AX)P(X) -> Q) <=> (EX)(P(X) -> Q)

(8)((EX)P(X) -> Q) <=> (AX)(P(X) -> Q)

(9)(P -> (AX)Q(X)) <=> (AX)(P -> Q(X))

(10)(P -> (EX)Q(X)) <=> (EX)(P -> Q(X))

我们甚至可以推出这样的公式：

(11)(AX)(P(X) & Q(X)) <=> (AX)(P(x)) & (AX)(Q(X))

(12)(EX)(P(X) | Q(X)) <=> (EX)(P(X)) | (EX)(Q(X))

但是逻辑符号变了就不成立了：

只能是蕴含了。

(13)(AX)(P(X)) | (AX)(Q(X)) => (AX)(P(X) | Q(X))

(14)(EX)(P(X) & Q(X)) => (EX)(P(X)) & (EX)(Q(X))

前束范式：把约束变元提到谓词公式前的命题公式

4.3 相关推理

全称指定规则：US原则：(AX)P(X) -> P©

全称推广规则：UG原则：P(X) -> (AX)P(X)

存在指定规则：ES原则：(EX)P(X) -> P©

存在推广规则：EG原则：P(X) -> (EX)P(X)