数学建模之层次分析法及其应用
概述
层次分析法(Analytic Hierarchy Process,简称 AHP)是对一些较为复杂、较为模
糊的问题作出决策的简易方法,它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。常用于相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。
运用层次分析法建模,大体上可按下面四个步骤进行:
- 建立递阶层次结构模型;
- 构造出各层次中的所有判断矩阵;
- 层次单排序及一致性检验;
- 层次总排序及一致性检验
下面将用实例分别阐述这些步骤。
递阶层次结构的建立与特点
我们拿到一个问题,常将其分为若干层次结构,上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。
这些层次可以分为三类:.
- 最高层:这一层次中只有一个元素,一般它是分析问题的预定目标或理想结果,因此也称为目标层。
- 中间层:这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节,它可以由若干个层次组成,包括所需考虑的准则、子准则,因此也称为准则层。
- 最底层:这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等,因此也称为措施层或方案层。
如我们想去旅游,现在要选择旅游地点,就可以先这样划分一下:
递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关,一般地层次数不受限制。每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过 9 个。这是因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。
构造判断矩阵
构造判断矩阵的方法是一致矩阵法,即:将上述两组权重进行综合,确定各方案对目标的权重。所有元素之间采用相对尺度两两对比,确定权重。
标度 | 含 义 |
---|---|
1 | 表示两个因素相比,具有相同重要性 |
3 | 表示两个因素相比,前者比后者稍重要 |
5 | 表示两个因素相比,前者比后者明显重要 |
7 | 表示两个因素相比,前者比后者强烈重要 |
9 | 表示两个因素相比,前者比后者极端重要 |
2,4,6,8 | 表示上述相邻判断的中间值 |
倒数 | 若因素i 与因素 j 的重要性之比为 ,那么因素 j 与因素i 重要性之比为 |
确定A1-A5的权重,如A1相对A4来说,A1比A4稍微重要,所以矩阵Z(1,4)=3.其对称位置就是1/3。
注:Z是成对比较、正互反矩阵。
层次单排序及一致性检验
所谓层次单排序是指根据判断矩阵计算对于上一层某因素而言本层次与之有联系的因素的重要性次序的权值。它是本层次所有因素相对上一层而言的重要性进行排序的基础。
满足 的正互反矩阵称为一致矩阵
定理 1:
正互反矩阵 A 的最大特征根 必为正实数,其对应特征向量的所有分量均为正实数。 A 的其余特征值的模均严格小于。
定理 2
若 A 为一致矩阵,则
- A 必为正互反矩阵。
- A 的转置矩阵 也是一致矩阵。
- A 的任意两行成比例,比例因子大于零,从而 rank(A) = 1(同样, A 的任意两列也成比例)。
- A 的最大特征值 = n ,其中n 为矩阵 A 的阶。A 的其余特征根均为零。
- 若 A 的最大特征值 对应的特征向量为 ,则
定理 3
n 阶正互反矩阵 A 为一致矩阵当且仅当其最大特征根 ,且当正互反矩阵 A 非一致时,必有 。
根据定理 3,我们可以由 是否等于n 来检验判断矩阵 A 是否为一致矩阵。
对判断矩阵的一致性检验的步骤如下:
- 计算一致性指标
- 查找相应的平均随机一致性指标 RI 。对n = 1 …9,Saaty 给出了 RI 的值,如表 2 所示。
计算一致性比例
当时,认为判断矩阵的一致性是可以接受的,否则应对判断矩阵作适当修正。
层次总排序及一致性检验
上面我们得到的是一组元素对其上一层中某元素的权重向量。我们最终要得到各元素,特别是最低层中各方案对于目标的排序权重,从而进行方案选择。总排序权重要自上而下地将单准则下的权重进行合成。
对层次总排序也需作一致性检验,检验仍象层次总排序那样由高层到低层逐层进行。这是因为虽然各层次均已经过层次单排序的一致性检验,各成对比较判断矩阵都已具有较为满意的一致性。但当综合考察时,各层次的非一致性仍有可能积累起来,引起最终分析结果较严重的非一致性。
设 B 层中与 Aj 相关的因素的成对比较判断矩阵在单排序中经一致性检验,求得单排序一致性指标为CI( j) ,( j = 1,L,m ),相应的平均随机一致性指标为 RI( j) (CI( j)、RI( j) 已在层次单排序时求得),则 B 层总排序随机一致性比例为
层次分析法的应用
在应用层次分析法研究问题时,遇到的主要困难有两个:
- 如何根据实际情况抽象出较为贴切的层次结构;
- 如何将某些定性的量作比较接近实际定量化处理。
层次分析法对人们的思维过程进行了加工整理,提出了一套系统分析问题的方法,为科学管理和决策提供了较有说服力的依据。但层次分析法也有其局限性,主要表现在:
3. 它在很大程度上依赖于人们的经验,主观因素的影响很大,它至多只能排除思维过程中的严重非一致性,却无法排除决策者个人可能存在的严重片面性。
4. 比较、判断过程较为粗糙,不能用于精度要求较高的决策问题。AHP 至多只能算是一种半定量(或定性与定量结合)的方法。
回顾总结
例题
挑选合适的工作。经双方恳谈,已有三个单位表示愿意录用某毕业生。该生根据已有信息建立了一个层次结构模型,如图所示
标准层的判断矩阵也已给出
方案层的判断矩阵给出
函数文件:
function [CR,quan]=AHPfun(A)
n=size(A,1);
[V,D] = eig(A); %V 是特征向量,D是由特征值构成的对角矩阵(除了对角线元素外,其余位置元素全为0)
Max_eig = max(D(:)); %那么怎么找到最大特征值所在的位置了?需要用到find函数,它可以用来返回向址或者矩阵中不为0的元素的位置索引。
%那么问题来了,我们要得到最大特征值的位置,就需婴将包含所有特征值的这个对角矩阵D中,不等于最大特征值的位置全变为
%这时候可以用到矩阵与常数的大小判断运算
D = Max_eig;
[r,c]=find(D == Max_eig,1);
%找到D中第“个与最大特征值相等的元素的位置,记录它的行和列。
%第二步:对求出的特征向量进行归-“化即可得到我们的权重
quan=V(:,c)./sum(V(:,c));
%我们先根据上面找到的最大特征值的列数c找到对应的特征向量,然后再进行标准化。
% 计算一致性比例CR
CI = (Max_eig - n)/(n-1);
RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59]; %注意哦,这里的RI最多支持n = 15
CR=CI/RI(n);
end
主文件:
clc;clear
a0=[1 1 1 4 1 1/21 1 2 4 1 1/21 1/2 1 5 3 1/21/4 1/4 1/5 1 1/3 1/31 1 1/3 3 1 12 2 2 3 3 1 ];
a1=[1 1/4 1/2;4 1 3;2 1/3 1 ];
a2=[1 1/4 1/5;4 1 1/2;5 2 1 ];
a3=[1 3 1/3;1/3 1 1/7;3 7 1 ];
a4=[1 1/3 5;3 1 7;1/5 1/7 1];
a5=[1 1 7;1 1 7;1/7 1/7 1 ];
a6=[1 7 9;1/7 1 1;1/9 1 1];
F=cat(3,a1,a2,a3,a4,a5,a6);
[a,b,c]=size(F);
all=ones(3,c);
cr=[];
[CR,quan]=AHPfun(a0);
cr0=CR;
quan0=quan;
disp('准则层权值为:');disp(quan0');
disp('准则层一致性比例为:');disp(cr0);
for i =1:cA=F(:,:,i);[CR,quan]=AHPfun(A);cr=[cr,CR];all(:,i)=quan; end
allquan=ones(3,1);
for j=1:3allquan(j,1)=sum(all(j,:).*quan0');
end
disp('方案层单排序权值:');disp(all);
disp('方案层一致性比例为:');disp(cr);
disp('总排序权值:');disp(allquan);
输出:
准则层权值为:0.1507 0.1792 0.1886 0.0472 0.1464 0.2879准则层一致性比例为:0.0981方案层单排序权值:0.1365 0.0974 0.2426 0.2790 0.4667 0.79860.6250 0.3331 0.0879 0.6491 0.4667 0.10490.2385 0.5695 0.6694 0.0719 0.0667 0.0965方案层一致性比例为:0.0176 0.0236 0.0068 0.0624 -0.0000 0.0068总排序权值:0.39520.29960.3052
答案
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2024/4/27 20:28:35 - 配置失败还原请勿关闭计算机,电脑开机屏幕上面显示,配置失败还原更改 请勿关闭计算机 开不了机 这个问题怎么办...
解析如下:1、长按电脑电源键直至关机,然后再按一次电源健重启电脑,按F8健进入安全模式2、安全模式下进入Windows系统桌面后,按住“winR”打开运行窗口,输入“services.msc”打开服务设置3、在服务界面,选中…...
2022/11/19 21:17:18 - 错误使用 reshape要执行 RESHAPE,请勿更改元素数目。
%读入6幅图像(每一幅图像的大小是564*564) f1 imread(WashingtonDC_Band1_564.tif); subplot(3,2,1),imshow(f1); f2 imread(WashingtonDC_Band2_564.tif); subplot(3,2,2),imshow(f2); f3 imread(WashingtonDC_Band3_564.tif); subplot(3,2,3),imsho…...
2022/11/19 21:17:16 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机...
win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”问题的解决方法在win7系统关机时如果有升级系统的或者其他需要会直接进入一个 等待界面,在等待界面中我们需要等待操作结束才能关机,虽然这比较麻烦,但是对系统进行配置和升级…...
2022/11/19 21:17:15 - 台式电脑显示配置100%请勿关闭计算机,“准备配置windows 请勿关闭计算机”的解决方法...
有不少用户在重装Win7系统或更新系统后会遇到“准备配置windows,请勿关闭计算机”的提示,要过很久才能进入系统,有的用户甚至几个小时也无法进入,下面就教大家这个问题的解决方法。第一种方法:我们首先在左下角的“开始…...
2022/11/19 21:17:14 - win7 正在配置 请勿关闭计算机,怎么办Win7开机显示正在配置Windows Update请勿关机...
置信有很多用户都跟小编一样遇到过这样的问题,电脑时发现开机屏幕显现“正在配置Windows Update,请勿关机”(如下图所示),而且还需求等大约5分钟才干进入系统。这是怎样回事呢?一切都是正常操作的,为什么开时机呈现“正…...
2022/11/19 21:17:13 - 准备配置windows 请勿关闭计算机 蓝屏,Win7开机总是出现提示“配置Windows请勿关机”...
Win7系统开机启动时总是出现“配置Windows请勿关机”的提示,没过几秒后电脑自动重启,每次开机都这样无法进入系统,此时碰到这种现象的用户就可以使用以下5种方法解决问题。方法一:开机按下F8,在出现的Windows高级启动选…...
2022/11/19 21:17:12 - 准备windows请勿关闭计算机要多久,windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机怎么办...
有不少windows10系统用户反映说碰到这样一个情况,就是电脑提示正在准备windows请勿关闭计算机,碰到这样的问题该怎么解决呢,现在小编就给大家分享一下windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机的具体第一种方法:1、2、依次…...
2022/11/19 21:17:11 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...
今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后,每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面,提示请勿关闭计算机”,每次停留好几分钟才能正常关机,导致什么情况引起的呢?出现配置Windows Update…...
2022/11/19 21:17:10 - 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...
只能是等着,别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚,只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一:管理员运行cmd:net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57