前言

  奇异值分解(Singular Value Decomposition，以下简称SVD)是在机器学习领域广泛应用的算法，它不光可以用于降维算法中的特征分解，还可以用于推荐系统，以及自然语言处理等领域。是很多机器学习算法的基石。本文就对SVD的原理做一个总结，并讨论在在PCA降维算法中是如何运用运用SVD的。

回顾特征值和特征向量

  特征值和特征向量的定义如下：
$$Ax=\lambda x$$
其中$A$是一个$n\times n$的实对称矩阵，$x$是一个$n$维向量，则我们说$\lambda$是矩阵$A$的一个特征值，而$x$是矩阵$A$的特征值$\lambda$所对应的特征向量。
  求出特征值和特征向量有什么好处呢？ 就是我们可以将矩阵$A$特征分解。如果我们求出了矩阵$A$的$n$个特征值$\lambda 1\le \lambda 2\le ...\le \lambda n$，以及这$n$个特征值所对应的特征向量$w_1,w_2,...w_n$，如果这$n$个特征向量线性无关，那么矩阵A就可以用下式的特征分解表示：
$$A=W\Sigma W^{-1}$$
其中$W$是这$n$个特征向量所张成的$n\times n$维矩阵，而$\Sigma$为这$n$个特征值为主对角线的$n\times n$维矩阵。
  一般我们会把$W$的这$n$个特征向量标准化，即满足$||w_i|{|}^2=1$, 或者说$w^{T_i}{w}_i=1$，此时$W$的$n$个特征向量为标准正交基，满足$W^{T}W=I$，即$W^T=W^{-1}$, 也就是说$W$为酉矩阵。这样我们的特征分解表达式可以写成：
$$A=W\Sigma W^T$$
  注意到要进行特征分解，矩阵A必须为方阵。那么如果A不是方阵，即行和列不相同时，我们还可以对矩阵进行分解吗？答案是可以，此时我们的SVD登场了。

SVD的定义

  SVD也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵A是一个m×n的矩阵，那么我们定义矩阵A的SVD为：
$$A=U\Sigma V^T$$
其中$U$是一个$m\times m$的矩阵，$\Sigma$是一个$m\times n$的矩阵，除了主对角线上的元素以外全为0，主对角线上的每个元素都称为奇异值，$V$是一个$n\times n$的矩阵。$U$和$V$都是酉矩阵，即满足$U^{T}U=I$，$V^{T}V=I$。
  如何求出SVD分解后的$U,\Sigma ,V$这三个矩阵呢？
  如果我们将$A$的转置和$A$做矩阵乘法，那么会得到$n\times n$的一个方阵$A^{T}A$。既然$A^{T}A$是方阵，那么我们就可以进行特征分解，特征分解得到的$n$个张量张成的$n\times n$矩阵就是$V$；同理，如果我们将$A$和$A$的转置做矩阵乘法可以得到$U$，
  我们注意到：
$$A=U\Sigma V^T\Rightarrow AV=U\Sigma V^{T}V\Rightarrow AV=U\Sigma \Rightarrow A{v}_i={\sigma }_i{u}_i$$
这样我们可以求出我们的每个奇异值，进而求出奇异值矩阵$\Sigma$。
$$A=U\Sigma V^T\Rightarrow A^T=V{\Sigma }^T{U}^T\Rightarrow A^{T}A=V{\Sigma }^2{V}^T$$
我们可以看出我们的特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方，也就是说特征值和奇异值满足如下关系：
$${\sigma }_i=\sqrt{{\lambda }_i}$$

SVD的一些性质

  对于奇异值,它跟我们特征分解中的特征值类似，在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列，而且奇异值的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上的比例。也就是说，我们也可以用最大的k个的奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵。也就是说：
$$A_{m\times n}=U_{m\times m}{\Sigma }_{m\times n}{V}_{n\times n}^T\approx U_{m\times k}{\Sigma }_{k\times k}{V}_{k\times n}^T$$
由于这个重要的性质，SVD可以用于PCA降维，来做数据压缩和去噪。也可以用于推荐算法，将用户和喜好对应的矩阵做特征分解，进而得到隐含的用户需求来做推荐。同时也可以用于NLP中的算法，比如潜在语义索引(LSI)。

SVD用于PCA

  PCA降维，需要找到样本协方差矩阵$X^{T}X$的最大的$d$个特征向量，然后用这最大的$d$个特征向量张成的矩阵来做低维投影降维。可以看出，在这个过程中需要先求出协方差矩阵$X^{T}X$，当样本数多样本特征数也多的时候，这个计算量是很大的。
  注意到我们的SVD也可以得到协方差矩阵$X^{T}X$最大的$d$个特征向量张成的矩阵，但是SVD有个好处，有一些SVD的实现算法可以不求先求出协方差矩阵$X^{T}X$，也能求出我们的右奇异矩阵$V$。也就是说，我们的PCA算法可以不用做特征分解，而是做SVD来完成。这个方法在样本量很大的时候很有效。实际上，scikit-learn的PCA算法的背后真正的实现就是用的SVD，而不是我们我们认为的暴力特征分解。
  另一方面，注意到PCA仅仅使用了我们SVD的右奇异矩阵，没有使用左奇异矩阵，那么左奇异矩阵有什么用呢？
  假设我们的样本是$m\times n$的矩阵$X$，如果我们通过SVD找到了矩阵$X{X}^T$最大的$d$个特征向量张成的$m\times d$维矩阵$U$，则我们如果进行如下处理：
$$X_{d\times n}^{{}^{\prime }}=U_{d\times m}^T{X}_{m\times n}$$
  可以得到一个$d\times n$的矩阵$X^{{}^{\prime }}$，这个矩阵和我们原来的$m\times n$维样本矩阵$X$相比，行数从$m$减到了$d$，可见对行数进行了压缩。也就是说，左奇异矩阵可以用于行数的压缩。相对的，右奇异矩阵可以用于列数即特征维度的压缩，也就是我们的PCA降维。

结束语

本人大三学生一枚，学识尚浅，不喜勿喷，希望今日能抛砖引玉，请各位大佬一定不吝赐教！！！
参考自：https://www.cnblogs.com/pinard/p/6251584.html