前景提要

软阈值函数

自然图像中非局部相似块形成的矩阵具有低秩性，可用于高性能的图像恢复任务。

图像非局部自相似性（NSS）的应用极大地提高了图像去噪性能。

NSS先验是指在自然图像中，对于给定的局部patch，可以在图像中找到许多与其相似的patches。

通过将非局部相似块向量叠加成一个矩阵，该矩阵应该是一个低秩矩阵，并且具有稀疏的奇异值。这一假设得到了Wang等人的验证。在[26]中，他们称之为非局部谱先验.。

低秩矩阵近似方法一般可分为两类：低秩矩阵分解（LRMF）方法和核范数最小化（NNM）方法。LRMF的目标是找到一个矩阵$X$，它在一定的数据保真度函数下尽可能接近$Y$，同时能够分解到两个低秩矩阵的乘积中，此方法是一个非凸优化问题。NNM的一个显著优点在于它是对具有一定数据保真度项的非凸LRMF问题是严格的凸松弛。
在之前的研究中已经证实大多数低秩矩阵可以通过求解NNM问题来完全恢复，且基于NNM的低秩矩阵逼近问题具有F范数保真度。即解决：
式中，$λ$为正常数，其最优解为：

$Y=U{\Sigma}V^T$是$Y$的奇异值分解，$S_{\lambda}（{\Sigma}）$带参数$λ$的对角矩阵$∑$的软阈值函数,有：

上述奇异值软阈值方法已被广泛应用于解决许多基于NNM的问题。
虽然NNM在低秩矩阵逼近中得到了广泛的应用，但仍存在一些问题。为了追求凸性，标准核范数对每个奇异值进行同等处理，从而使（3）中的软阈值算子以相同的量λ收缩每个奇异值。这使得我们忽略了较大的奇异值应该减少压缩以保留主要数据成分。

因此，为了提高核范数的灵活性，我们提出了加权核范数，并研究了其最小化问题。矩阵X的加权核范数定义为：

不同权重$w$条件下的求解方法

通过使用F范数来度量观测数据矩阵$Y$和潜在数据矩阵$X$之间的差异,并引入权重，将eq1)转换为eq(5)，
然而，由于（5）中的目标函数一般不是凸的，因此WNNM问题比NNM更难优化。在分析WNNM问题之前，我们首先给出定理1：
(论文原文有证明过程)

权重按非升序排列$w_1≥··≥w_n≥0$

基于定理1，我们得到了（5）中w1≥··≥wn≥0的WNNM问题的全局最优解。我们有下面的定理2:
(论文原文有证明过程)

权重按任意序排列

在权重不是按非升序而是按任意顺序排列的情况下，（5）中的WNNM问题是非凸的，因此我们不能有它的全局最小值。我们提出了一种迭代算法来求解它。
在定理1中，我们证明了（5）的解可以通过解（6）得到。设$B=P∧Q^T$为$B$的奇异值分解，迭代求解以下优化问题:

步骤1： 给定非负对角矩阵$∧$，我们求解:

可证$P和Q$的最优解是矩阵$∧$奇异值分解的列基和行基。由于$∧$已经是对角矩阵，$P$和$Q$是置换矩阵，使得对角矩阵$P∧Q^T$具有非升序对角元素。
步骤2： 给定正交矩阵$P和Q$，我们求解:

通过定理1可求得，

上述两个步骤之间的迭代可以概括为：

通过定理1，最终解为：

权重按非降序排列$0≤w_1≤··≤w_n$

如果权重满足$0≤w_1≤··≤w_n$，上节中描述的迭代算法将有一个不动点

WNNM在图像去噪中的应用

对于在图像$y$中的局部板块$y_j$，我们可以通过块匹配等方法在图像上（实际上，在足够大的局部窗口中）搜索其非局部相似块。
通过将这些非局部相似的块叠加成矩阵，用$Y_j$表示，有$Y_j=X_j+N_j$,$X_j和N_j$分别是原始图像和噪声矩阵。直观地，$X_j$应该是一个低秩矩阵，低秩矩阵的近似方法可以用来估计$X_j和Y_j$。通过收集所有去噪板块，整个图像都可以估计出来。
事实上，NNM的方法已经被用在视频去噪上。使用方差来标准化F-范数数据保真相，我们有下面的能量函数:

很明显,现在的关键问题是确定权重向量$w$。对于自然图像，我们有一般的先验知识，即$X_j$的较大奇异值比较小的奇异值更重要，因为它们代表$X_j$主要成分的能量。在去噪应用中，奇异值越大，其收缩量越小。因此，一个自然的想法是，赋予$σ_i（X_j）$的权重，即$X_j$的第$i$个奇异值，应与$σ_i（X_j）$成反比。

$C>0$是一个常数，$n$为$Y_j$中相似斑块数，$ε=10^{−16}$避免分母为零。
我们假设噪声能量均匀分布在以$U和V$的每个子空间上，那么初始$σ_i（X_j）$可以估计为:

$σ_i(Y_j)$是 $Y_j$的第$i$个奇异值。请注意，由于$σ_i（X_j）$总是按非升序排序，因此所获得的权重$w_i=1，…，n$保证为非降序,属于上节所述第三类问题。

通过将上述步骤应用于每个patch并将所有patches聚合在一起，可以重建图像$x$。在实践中，我们可以再运行几轮这样的程序来增强去噪输出。算法1总结了整个去噪算法: