机器学习系列17-无监督学习之PCA推导(Ⅰ)
Unsupervised Learning: PCA(Ⅰ)
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辛苦整理码字不易,免费分享给大家,也希望大家能帮忙点一点链接,给我更多的更新动力叭!
本文将主要介绍PCA算法的数学推导过程
上一篇文章提到,PCA算法认为降维就是一个简单的linear function,它的input x和output z之间是linear transform,即,PCA要做的,就是根据把W给找出来(未知)
PCA for 1-D
为了简化问题,这里我们假设z是1维的vector,也就是把x投影到一维空间,此时w是一个row vector
,其中表示的第一个row vector,假设的长度为1,即,此时就是在方向上的投影
那我们到底要找什么样的呢?
假设我们现在已有的宝可梦样本点分布如下,横坐标代表宝可梦的攻击力,纵坐标代表防御力,我们的任务是把这个二维分布投影到一维空间上
我们希望选这样一个,它使得经过投影之后得到的分布越大越好,也就是说,经过这个投影后,不同样本点之间的区别,应该仍然是可以被看得出来的,即:
-
我们希望找一个projection的方向,它可以让projection后的variance越大越好
-
我们不希望projection使这些data point通通挤在一起,导致点与点之间的奇异度消失
-
其中,variance的计算公式:,是的平均值
下图给出了所有样本点在两个不同的方向上投影之后的variance比较情况
PCA for n-D
当然我们不可能只投影到一维空间,我们还可以投影到更高维的空间
对来说:
- ,表示在方向上的投影
- ,表示在方向上的投影
- …
串起来就得到,而分别是的第1,2,…个row,需要注意的是,这里的必须相互正交,此时是正交矩阵(orthogonal matrix),如果不加以约束,则找到的实际上是相同的值
Lagrange multiplier
求解PCA,实际上已经有现成的函数可以调用,此外你也可以把PCA描述成neural network,然后用gradient descent的方法来求解,这里主要介绍用拉格朗日乘数法(Lagrange multiplier)求解PCA的数学推导过程
注:和均为列向量,下文中类似表示的是矢量内积,而表示的是矩阵相乘
calculate
目标:maximize $(w1)TSw^1 (w1)Tw^1=1$
-
首先计算出:
KaTeX parse error: No such environment: split at position 10: \begin{̲s̲p̲l̲i̲t̲}̲&z_1=w^1\cdo…
-
然后计算maximize的对象:
其中
KaTeX parse error: No such environment: split at position 10: \begin{̲s̲p̲l̲i̲t̲}̲Var(z_1)&=\f…
-
当然这里想要求的最大值,还要加上的约束条件,否则可以取无穷大
-
令,它是:
- 对称的(symmetric)
- 半正定的(positive-semidefine)
- 所有特征值(eigenvalues)非负的(non-negative)
-
使用拉格朗日乘数法,利用目标和约束条件构造函数:
-
对这个vector里的每一个element做偏微分:
-
整理上述推导式,可以得到:
其中,是S的特征向量(eigenvector)
-
注意到满足的特征向量有很多,我们要找的是可以maximize 的那一个,于是利用上一个式子:
-
此时maximize 就变成了maximize ,也就是当的特征值最大时对应的那个特征向量就是我们要找的目标
-
结论:是这个matrix中的特征向量,对应最大的特征值
calculate
在推导时,相较于,多了一个限制条件:必须与正交(orthogonal)
目标:maximize ,条件:
结论:也是这个matrix中的特征向量,对应第二大的特征值
-
同样是用拉格朗日乘数法求解,先写一个关于的function,包含要maximize的对象,以及两个约束条件
-
对的每个element做偏微分:
-
整理后得到:
-
上式两侧同乘,得到:
-
其中,
而由于是vector×matrix×vector=scalar,因此在外面套一个transpose不会改变其值,因此该部分可以转化为:
注:S是symmetric的,因此
KaTeX parse error: No such environment: split at position 10: \begin{̲s̲p̲l̲i̲t̲}̲(w^1)^TSw^2&…
我们已经知道满足,代入上式:
KaTeX parse error: No such environment: split at position 10: \begin{̲s̲p̲l̲i̲t̲}̲(w^1)^TSw^2&… -
因此有,,,又根据
可以推得
-
此时就转变成了,即
-
由于是symmetric的,因此在不与冲突的情况下,这里选取第二大的特征值时,可以使最大
-
结论:也是这个matrix中的特征向量,对应第二大的特征值
PCA-decorrelation
神奇之处在于,即z的covariance是一个diagonal matrix,推导过程如下图所示
PCA可以让不同dimension之间的covariance变为0,即不同new feature之间是没有correlation的,这样做的好处是,减少feature之间的联系从而减少model所需的参数量
如果你把原来的input data通过PCA之后再给其他model使用,那这些model就可以使用简单的形式,而无需考虑不同dimension之间类似这些交叉项,此时model得到简化,参数量大大降低,相同的data量可以得到更好的训练结果,从而可以避免overfitting的发生
本文主要介绍的是PCA的数学推导,如果你理解起来有点困难,那下一篇文章将会从另一个角度解释PCA算法的原理~
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只能是等着,别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚,只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一:管理员运行cmd:net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57