线性代数：仿射变换图形矫正
之前学习的变换过程基本都是变换一个“规范”的图形，这次我们就反过来，把一个“不规范”的图形变换“规范”。
首先作为码农们，我们应该都会阅读大量书籍的，但是为了方便我自己下载过大量pdf文档，因为那样我不需要随身带一本厚重厚重的书，只用带个ipad就ok了，不过我下载的很多pdf的扫描页面歪七歪八的，比如像下面这样：
看完这种扫描页面的pdf简直就是治疗了我的颈椎病（ps：本图并不是针对矩阵论这本书，只是打个夸张的比方而已）。其实我们现实中书本都是四四方方的，我们当然也希望下载的pdf页面都规整了，下图是实体书籍：
如果要我们把上面扭曲的页面变成下面的四四方方的页面要怎么办？其实仔细一想，这就是一个仿射变换的过程，前面我们谈过仿射变换的特点，那就是“平直性”，也就是说图形变换后，图形边是直线还是直线，是平行线的还是平行线。我们的处理方法可以思考一下，无非就是让仿射矩阵T将扭曲的页面的每个网格顶点和四四方方的页面的网格顶点相对应。
既然了解到这是个仿射变换的过程，那么我们就建立仿射变换矩阵T变换一下就ok了。这样我们就来考虑怎么计算出这个变换的矩阵T呢？前面我们推导矩阵一般都是使用已知的“映射坐标点”带入矩阵*向量构建的线性方程组中，既然如此就先建立仿射变换矩阵T，然后建立好若干“映射坐标点”。
我们可以把页面的四个角的坐标点当作“映射坐标点”，然后标识出坐标信息用来计算，如下图：
上面两幅图我创建了对应正正方方图形比例的rectangle拓扑网格承载两幅图片（不清楚怎么创建拓扑mesh的小伙伴可以看前面的博客，这里我就不贴重复mesh代码），形象的展示了下两张纹理图的“映射坐标点”，因为我们的目的是为了将扭曲图顶点变换为正方图顶点，所以我们可以参考下幅图中两图的仿射坐标系原点重合的情况，不考虑矩阵平移维度。这样问题就变成了推导3x3的无“平移维度”的仿射变换矩阵T，所以只需要三个“映射坐标点”就可以了，so我们开始矩阵的推导，如下图：
我来解释下解法，首先我们建立矩阵T，然后建立三个映射坐标点，于是我们建立好了矩阵*向量的线性方程组。接下来我们组合出a1b1c1的三元一次方程组（同样也能建立a2b2c2和a3b3c3的三元一次方程组），通过消元法，先消去a1，得到b1c1的二元一次方程组，接着分别消元得到b1c1的值就行了。因为是三元一次方程组，所以算出来的代数式还是很复杂的。
接下来我们就消元b1和c1来求出a1，如下图：
这样的话我们就把矩阵的第一行[a1 b1 c1]求出来了，因为我们全部使用的代数式，所以只需要替换m n u v x y的代数就能得到[a2 b2 c2]和[a3 b3 c3]了，如下图：
其实最开始组建的一个三元一次方程组和上图的三元一次方程组区别就在于n v y分量不同而已，我们只需要替换掉n v y分量就行了，下图的[a3 b3 c3]一样的，如下图：
这时候我们的矩阵T就建立完毕了，当然实际使用中我们要扩充“平移维度{0 0 0 1}”得出一个无平移的4x4矩阵T'用来进行齐次坐标的变换，那么我们接下来继续写程序。
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Shader "Unlit/CorrectUnlitShader"
{Properties{_MainTex("Texture", 2D) = "white" {}_PNGCut("PNGCut",Range(0,1)) = 0.5_M("M",vector) = (0,0,0,1)_U("U",vector) = (0,0,0,1)_X("X",vector) = (0,0,0,1)_N("N",vector) = (0,0,0,1)_V("V",vector) = (0,0,0,1)_Y("Y",vector) = (0,0,0,1)}SubShader{Tags { "RenderType"="Opaque" }LOD 100Cull Off
Pass{CGPROGRAM#pragma vertex vert#pragma fragment frag#include "UnityCG.cginc"struct appdata{float4 vertex : POSITION;float2 uv : TEXCOORD0;};struct v2f{float2 uv : TEXCOORD0;float4 vertex : SV_POSITION;};sampler2D _MainTex;float4 _MainTex_ST;float _PNGCut; //png图片alpha剔除阀值vector _M; //映射起点1vector _U; //映射起点2vector _X; //映射起点3vector _N; //映射终点1vector _V; //映射终点2vector _Y; //映射终点3;vector _Scale; //不规范网格缩放矫正参数//获取矩阵的一行，因为代数式n v y分量的替换性float4 getMatrixRow(float n, float v, float y, vector m, vector u, vector x){float4 row = float4(0, 0, 0, 1);row.x = ((n*u.y - v*m.y)*(u.z*x.y - u.y*x.z) - (v*x.y - y*u.y)*(m.z*u.y - m.y*u.z)) / ((m.x*u.y - m.y*u.x)*(u.z*x.y - u.y*x.z) - (u.x*x.y - u.y*x.x)*(m.z*u.y - m.y*u.z));row.y = ((n*u.x - v*m.x)*(x.x*u.z - x.z*u.x) - (v*x.x - y*u.x)*(m.z*u.x - m.x*u.z)) / ((m.y*u.x - m.x*u.y)*(x.x*u.z - x.z*u.x) - (x.x*u.y - x.y*u.x)*(m.z*u.x - m.x*u.z));row.z = ((n*u.x - v*m.x)*(x.x*u.y - x.y*u.x) - (v*x.x - y*u.x)*(m.y*u.x - m.x*u.y)) / ((m.z*u.x - m.x*u.z)*(x.x*u.y - x.y*u.x) - (x.x*u.z - x.z*u.x)*(m.y*u.x - m.x*u.y));row.w = 0;return row;}v2f vert (appdata v){v2f o;//构建矫正的变换矩阵，扩充的平移维度float4x4 _Mat_correct = float4x4(getMatrixRow(_N.x, _V.x, _Y.x, _M, _U, _X),getMatrixRow(_N.y, _V.y, _Y.y, _M, _U, _X),getMatrixRow(_N.z, _V.z, _Y.z, _M, _U, _X),0, 0, 0, 1);float4 vx = mul(_Mat_correct, v.vertex);o.vertex = UnityObjectToClipPos(vx);o.uv = TRANSFORM_TEX(v.uv, _MainTex);return o;}fixed4 frag (v2f i) : SV_Target{fixed4 col = tex2D(_MainTex, i.uv);clip(col.a - _PNGCut);return col;}ENDCG}
}
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2022/11/19 21:17:16 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机...
win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”问题的解决方法在win7系统关机时如果有升级系统的或者其他需要会直接进入一个 等待界面，在等待界面中我们需要等待操作结束才能关机，虽然这比较麻烦，但是对系统进行配置和升级…...
2022/11/19 21:17:15 - 台式电脑显示配置100%请勿关闭计算机,“准备配置windows 请勿关闭计算机”的解决方法...
有不少用户在重装Win7系统或更新系统后会遇到“准备配置windows，请勿关闭计算机”的提示，要过很久才能进入系统，有的用户甚至几个小时也无法进入，下面就教大家这个问题的解决方法。第一种方法：我们首先在左下角的“开始…...
2022/11/19 21:17:14 - win7 正在配置 请勿关闭计算机,怎么办Win7开机显示正在配置Windows Update请勿关机...
置信有很多用户都跟小编一样遇到过这样的问题，电脑时发现开机屏幕显现“正在配置Windows Update，请勿关机”(如下图所示)，而且还需求等大约5分钟才干进入系统。这是怎样回事呢？一切都是正常操作的，为什么开时机呈现“正…...
2022/11/19 21:17:13 - 准备配置windows 请勿关闭计算机 蓝屏,Win7开机总是出现提示“配置Windows请勿关机”...
Win7系统开机启动时总是出现“配置Windows请勿关机”的提示，没过几秒后电脑自动重启，每次开机都这样无法进入系统，此时碰到这种现象的用户就可以使用以下5种方法解决问题。方法一：开机按下F8，在出现的Windows高级启动选…...
2022/11/19 21:17:12 - 准备windows请勿关闭计算机要多久,windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机怎么办...
有不少windows10系统用户反映说碰到这样一个情况，就是电脑提示正在准备windows请勿关闭计算机，碰到这样的问题该怎么解决呢，现在小编就给大家分享一下windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机的具体第一种方法：1、2、依次…...
2022/11/19 21:17:11 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...
今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后，每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面，提示请勿关闭计算机”，每次停留好几分钟才能正常关机，导致什么情况引起的呢？出现配置Windows Update…...
2022/11/19 21:17:10 - 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...
只能是等着，别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚，只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一：管理员运行cmd：net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办？
原标题：电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办？win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢？一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ，然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ，然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容，让我们赶快一起来看一下吧！关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间：2020-04-20 22:24:19 浏览次数：729次 区域： 南阳 > 卧龙 列举网提醒您：为保障您的权益，请不要提前支付任何费用！ 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于：钉钉，外勤365，红圈通，企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”，长时间没反应，无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了，具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面，长时间没反应，无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过，网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办？...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法，并在最后教给你1种保护系统安全的好方法，一起来看看！电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中，添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败，正在还原更改，请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候，开启电脑发现电脑显示：配置windows更新失败，正在还原更改，请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢？下面小编就带着大家一起看看吧！如果能够正常进入系统，建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机，电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机，电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容，让我们赶快一起来看一下吧！配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题，就是我们的win7系统在关机的时候，总是喜欢显示“准备配置windows，请勿关机”这样的一个页面，没有什么大碍，但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机，非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时，一般是您正对windows进行升级，但是这个要是长时间没有反应，我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了，来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败，还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况，当我们打开电脑之后，发现一直停留在一个界面：“配置Windows Update失败，还原更改请勿关闭计算机”，等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57