矩阵概念和线性代数学科的引进和发展是源于研究线性方程组系数而产生
的行列式的发展。莱布尼兹，微积分学的两个奠基者之一，在1693 年使用了行
列式，克莱姆于1750 年提出了用行列式求解线性方程组的公式（即今天著名的
克莱姆法则）。相对比地，行列式的隐含使用最早出现在18 世纪晚期拉格郎日关
于双线性型的著作里。拉格郎日希望刻画多变量函数的极大值与极小值。他的方
法今天以拉格郎日乘数法闻名。为此，他首先要求第一个偏导数为0，再需要关
于第二个偏导数的矩阵成立一个条件。这个条件今天称之为正定或负定，尽管拉
格郎日没有明显地使用矩阵。

 

    在 1800 年左右，高斯发现了高斯消去法，他用此方法解决了天体计算和后
来大地测量（关于测量或确定地球形状或定位地球表面一个点的应用数学分支，
称之为大地测量学）计算中的最小平方问题。尽管高斯的名字相伴随从线性方程
组逐次逍去变量的这项技术，但从发现的早在几个世纪前的中文手稿中解释了如
何用“高斯的”消去法解带有三个未知量的三个方程构成的线性方程组。多年来，
高斯消去法被认为是大地测量学，而非数学，发展的一部分。首次印刷出来的高
斯—约当消去法是在W． 约当写的关于大地测量学的手册里。许多人错误地认
为著名数学家C．约当是“高斯—约当”消去法中的约当。

 

    为了矩阵代数的丰富发展，人们既需要适当的概念，还需要适当的矩阵乘法。
这两种需要在同一时间和同一地点交汇了。在1814 年于英格兰，J.J.西勒维斯特
首先引进了术语“Matrix”，作为一列数的名称，这是胚胎的拉丁词。矩阵代数
于1855 年由亚瑟• 凯莱的工作得到了发展。凯莱研究了线性变换的合成，导致
定义了矩阵乘法，使得合成变换ST 的系数矩阵是S 的矩阵与T 的矩阵的乘积。
他继续研究这些合成包括矩阵逆的代数。著名的凯莱—哈密尔顿定理断言，一个
方阵是它的特征多项式的根。这个定理于1858 年在凯莱的“关于矩阵理论备忘
录”的著作里给出。代表矩阵的单个字母A 的使用对于矩阵代数的发展是关键
的。早期的公式det(AB)=det(A)det(B)提供了矩阵代数与行列式的联系。凯莱写
下了“有许多事情说明关于矩阵的理论，似乎对我而言，比行列式理论重要”。

 

    数学家们也试图发展向量代数，但没有任意维数的两个向量积的自然定义。
涉及到非交换向量积（亦即V ×W 不一定等于W ×V ）的第一个向量代数由赫尔
曼• 格拉斯曼在他的书“维数理论”（1844）提出来的。格拉斯曼的书也引进了
一个列矩阵与一个行矩阵的乘积，导致了今天所谓的单纯的或秩1 的矩阵。在
19 世纪晚期，美国数学物理学家W.吉布斯发表了关于向量分析的著名论文。在
那篇论文里，吉布斯把一般的矩阵，他称之为并向量（dyadics），表示为单纯矩
阵（吉布斯称为并向量（dyads））的和。后来物理学家P.A.M.迪拉克引进了术语
“行-列”（bra-ket）来表示我们现在称之为行向量乘以列向量的纯量积，术语“列
-行（ket-bra）”表示一列向量乘以行向量的积，从而导致如同上面的我们现在称
做的单纯矩阵。我们现在把列矩阵和向量视为同一的习惯是由物理学家们在20
世纪引进的。

 

    矩阵一直与线性变换紧密结合着。直到 1900 年，它们仅仅是线性变换理论
的有限维的情形。向量空间的现代定义是由皮亚诺于1888 年引进的。不久，其
元素是函数的抽象向量空间跟着出现了。

  

    第二次世界大战后随着数字计算机的发展,矩阵,特别是矩阵的数值分析方
面有新的进展。约翰• 冯诺伊曼和赫尔曼• 戈德斯坦于1947 年在分析舍入误差中

引进了条件数。阿兰• 图灵和冯诺伊曼在程序存储计算机方面是二十世纪的巨
人。图灵于1948 年引进了矩阵的LU 分解，L 是对角线上为1 的下三角矩阵，U
是梯形矩阵。在解一系列线性方程组时普遍采用LU 分解，每个方程组有同一系
数矩阵。QR 分解的好处是在10 年后认识到的。Q 是其列为正交向量的矩阵而R
是上三角矩阵，其对角线元素是正的。QR 分解用于各种计算如解方程，找特征
值的计算机算法中。

 

    参考文献
S.Athloen and R.McLaughlin, Gauss-Jordan reduction: A brief history,American
Mathematical Monthly 94(1987)130-142.
A.Tucker, The growing importance of linear algebra in undergraduate mathematics,
The college Mathematics Journal,24(1993)3-9.

 

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