线性代数导论 - #5 矩阵变换之置换与转置

 

在之前的基础课程中，我们以用于解线性方程组的Gauss消元法为主线，介绍了矩阵语言这一表示法如Ax=b，介绍了一些特殊的矩阵如单位矩阵I、初等矩阵E、上三角矩阵U、下三角矩阵L，学习了矩阵乘法这一矩阵的基本运算，学习了矩阵变换中的逆变换，并运用它们进行了矩阵的LU分解。在真正进入线性代数的大门之前，我们还需要配齐两种实现矩阵变换的工具，就是之前已经提及的置换与转置。

首先是置换。

置换操作，也即行交换，通过左乘置换矩阵P来实现，可以应对解Ax=b过程中主元位为0的情况。

在形式上，P一定是方阵。

在内容上，P为单位矩阵I进行置换后的结果。实际上，I就是一种最基本的置换矩阵（虽然没有实际作用）。

由于行交换的次数不定，交换的对象也不定，对于一个较大的矩阵A，显然有很多可能的置换矩阵。结论是，n阶置换矩阵的总数为n!。

本着一种对“性质优良的特殊矩阵”（Prof. Strang语）的热忱，我们来探究一下置换矩阵P的性质。

出于与I的亲缘关系，在实践中发现P有如下性质：

1.置换矩阵皆可逆；

2.置换矩阵的逆矩阵与转置矩阵相同：

置换矩阵可以通过左乘其转置矩阵变回I，即P^TP=I；

3.置换矩阵取逆/转置的结果还是同阶的置换矩阵，同阶的置换矩阵相乘的结果还是同阶的置换矩阵；

 

其次是转置。

转置操作，也即对m*n矩阵A进行行列互换，其结果是产生一个n*m转置矩阵A^T，有两种基本的实现方案：

1.元素交换：(A^T)_mn=(A)_nm;

2.行列交换：A^T中第k行为A中第k列。

处于与刚才相同的热忱，我们研究一种A^T=A的矩阵，即对称矩阵。

根据转置中的具体操作，显然A为方阵，且关于左上-右下对角线对称的元素相等。

换一个角度，我们也可以把转置当成检验方阵对称性的一种方法。

这种特殊的矩阵比较常见，比如任意矩阵R右乘其转置矩阵R^T得到A的就是对称矩阵。

要想证明A是对称矩阵，我们可以沿用刚才的思路，转置A，检验A^T=A是否成立。

A^T=(R^TR)^T=R^TR^TT=R^TR=A，其中对矩阵乘积进行转置的运算法则类似于对矩阵乘积求逆的运算法则（先逆序再分别求逆）。

 

在下一课#6中，我们将真正进入线性代数的大门，从向量空间开始。