定义

强化学习（Reinforcement Learning，RL）是智能体（Agent）为了最大化长期回报（Return）的期望，通过观察系统环境，不断试错（Trial-and-Error）进行学习的过程。
从强化学习的定义可以看出，强化学习具有两个最主要的特征：

1. 通过不断试错来学习；
2. 追求长期回报的最大化。

强化学习的框架一般包含5个构成要素，包括：

1. 环境（Environment）；
2. 智能体（Agent）；
3. 观察（Observation）；
4. 行动（Action）；
5. 奖励（Reward）。

强化学习的基本框架如下图 (a) 所示，智能体对系统环境进行观察后产生行动，从系统环境中获得相应的奖励，智能体观察系统对自己上一次行动的奖励信号后，重新调整自己的下一次的行动策略。下图 (b) 展示了主人训练狗的过程就是强化学习过程的一个简单例子。主人想训练狗听从自己的指令，如果狗听从指令，产生了正确的行动，则主人会喂狗粮；如果狗未听从指令，产生了错误的行动，则狗得不到狗粮。在这个强化学习的例子中，主人充当着系统环境的角色，狗是智能体。狗（智能体）通过对主人（系统环境）的指令观察，产生相应的行动，狗粮就是主人对狗行动的奖励。
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完全观测与不完全观测

上述框架是站在上帝视角描述问题，而强化学习的概念默认是站在智能体的角度看问题。

在$t$时刻，系统环境的实际状态记为$S_t^e$，智能体观测到的系统状态记为$S_t^a$ 。智能体对系统状态的观测可以分为两种情况：

1. 完全观测（Full Observability）；
2. 不完全观测（Partial Observability）。

完全观测 $O_t$ 指的是智能体观测到的状态 $S_t^a$ 就是系统真实的全局状态$S_t^e$，即完全观测 $O_t=S_t^a=S_t^e$。
不完全观测${\tilde{O}}_t$ 指的是智能体只能观测到系统的局部状态，即不完全观测 $\tilde{O}=S_t^a\ne S_t^e$ 。

在接下来的内容中，除非特别说明，智能体对系统环境的观察都属于完全观测。
在完全观测的情况下，将智能体观察到的状态 $S_t^a$ 和系统真实的全局状态 $S_t^e$ 统一简称为状态（State）。

在 $t$ 时刻，智能体观测到系统环境的状态 $S_t$ ，并产生相应的行动 $A_t$，系统会在一下个时刻 $t+1$ 给出奖励 $R_{t+1}$ ，并进入新状态 $S_{t+1}$ 。针对行动 $A_t$ ，系统给出的奖励记为 $R_{t+1}$ 。在强化学习过程中，智能体与系统环境产生的交互形成了相应的历史记录。历史记录是由一系列的状态、行动和奖励组成的序列： {S1,A1,R2,⋯,St−1,At−1,Rt,⋯}\{S_1,A_1,R_2,\cdots,S_{t-1},A_{t-1},R_t,\cdots\}{S1​,A1​,R2​,⋯,St−1​,At−1​,Rt​,⋯} 。

针对行动 $A_t$ ，系统发出的奖励是 $R_{t+1}$ ，而不是 $R_t$ ，这只是一种针对时间序列的约定，目前大部分强化学习资料都采用这种约定。如果采用以下约定，针对行动 $A_t$ ，系统给出的奖励是 $R_t$ ，也是可以的，只需要在上下文环境中保持一致就行。为了与现有资料保持一致，在本书中约定，在 $t$ 时刻，智能体观察到系统状态 $S_t$ ，智能体根据自身的策略采取相应的行动$A_t$ ，系统针对该行动给出奖励 $R_{t+1}$ ，与此同时，系统进入到下一个状态 $S_{t+1}$ 。

基本概念

折现因子

在强化学习过程中，智能体的目标不是最大化即时奖励，而是最大化长期回报。也就是说，智能体目光长远地更关心行动产生的长期回报。
针对 $t$ 时刻的状态 $S_t$ 和行动 $A_t$ ，系统产生的奖励是 $R_{t+1}$ 。长期回报是未来奖励在当前时刻的累计值，那么由 $t$ 时刻的状态和行动产生的长期回报是 $G_t=R_{t+1}+R_{t+2}+R_{t+3}+\cdots$ 吗？

答案是不一定。为什么呢？
因为这里涉及一个经济学的概念：折现（Discounting）。

我们先来看一个例子。
假设小明现在有 $x$ 元，小明存一年期定期，存 $1$ 年后的钱为 $10$ 万元，那么有以下公式成立： $x(1+3\%)=100000$ ，解得 $x=97087$ 。 当前小明只需要去银行存 9.7087 万元，一年后就能有 10 万元的购车款。也就是说一年后的 10 万元和现在的 9.7087 万元是等价的。在这个例子里，把 1 年后的钱换算到现在，需要乘以折现因子 $\gamma =0.97087$ 。

强化学习过程将未来的奖励计入目前的回报时，需要将未来的奖励乘以折现因子（Discount Factor），记为 $\gamma$ 。
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强化学习过程将未来的奖励计入目前的回报时，需要将未来的奖励乘以折现因子。 $t$ 时刻的奖励是 $R_{t+1}$ ， $t+1$ 时刻的奖励 $R_{t+2}$ 折现到 $t$ 时刻为$\gamma R_{t+2}$ ， $t+2$ 时刻的奖励 $R_{t+3}$ 折现到 $t$ 时刻为 ${\gamma }^2{R}_{t+3}$ ，以此类推， $t+k$ 时刻的奖励 $R_{t+k+1}$ 折现到 $t$ 时刻为 ${\gamma }^k{R}_{t+k+1}$ 。

长期回报

在理解了折现因子后，给出长期回报（Return）的定义：
G_t \doteq R_{t+1}+\gamma R_{t+2}+\gamma^2 R_{t+3}+\cdots = \sum_{k=0}^{\infty }\gamma^k R_{t+k+1}
其中 \gamma\in [0,1] ，当 \gamma=0 时，长期回报 G_t=R_{t+1} ；当 \gamma=1 时，长期回报 G_t=R_{t+1}+R_{t+2}+R_{t+3}+\cdots 。也就是说， \gamma 的取值越小，智能体越看中即时奖励； \gamma 的取值越大，智能体越看中长期回报。

值函数

值函数是针对状态或行动的评价函数，具体可分为两种：

1. 状态值函数（State Value Function），是针对状态的评价指标；
2. 行动值函数（Action Value
   Function），是针对行动的评价指标。

由于行动是在给定状态下才产生的，一般也将行动值函数更明确地表达为状态-行动值函数（State-Action Value Function）。为了明确起见，接下来的内容将统一使用“状态-行动值函数”。

状态值函数$v_{\pi }(s)$ 是给定策略 $\pi$ ，评价状态 $s$ 的指标。具体地，状态值函数 $v_{\pi }(s)$ 定义为：采用策略 $\pi$ ，从状态 $s$ 开始获得期望回报（Expected Return），即：
$v_{\pi }(s)\doteq E_{\pi }[G_t|S_t=s]$

状态-行动值函数 $q_{\pi }(s,a)$ 是给定策略 $\pi$ ，在状态 $s$ 下评价动作 $a$ 的指标。具体地，状态-行动值函数 $q_{\pi }(s,a)$ 定义为：采用策略 $\pi$ ，在状态 $s$ 下采用动作 $a$ 获得的期望回报，即
$q_{\pi }(s,a)\doteq E_{\pi }[G_t|S_t=s,A_t=a]$

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