Manacher算法详细解析 (马拉车算法)
应用场景:
如求最长回文子串的题目,或者结合其他算法求解算法题目时可以用到。
求最长回文子串题目:给你一个字符串s,询问s最长回文子串的长度是多少?(如abaa的最长回文子串是aba,长度为3。)
结合其他算法的题目:有一道结合扩展kmp的算法题目如下Problem M. Mediocre String Problem(马拉车+拓展KMP)https://blog.csdn.net/weixin_44134344/article/details/110005103?spm=1001.2014.3001.5502
算法解析:
在讲解Manacher之前,先考虑如何用暴力算法求解最长回文子串题目。
暴力算法思路:其实暴力算法思路很简单,我们只需要利用for循环将字符串从头到尾每个字符进行遍历。遍历时,将每个字符设为回文子串中心点,并朝左右方向同时扩展,扩展到左右字符不相同时,即得出以该字符为回文子串中心时的最大回文子串长度。最后将以每个字符为中心的最大回文子串长度求个最大值,就是最后的结果了。(P.s.: 扩展时要执行俩种扩展,一种是假设回文子串为奇数的扩展, 一种是假设回文子串为偶数的扩展,如cbabc 和 cbaabc, cbabc 中以下标2的a为中心时,比较第2位和第2位、第1位和第3位、第0位和第4位,并以此类推。cbaabc中以下表2的a为中心时,比较第2位和第3位、第1位和第4位、第0位和第5位,并以此类推。)
例:给字符串 babcbabcbaccba
每个字符为回文子串中心时的最大回文子串长度序列为:1 3 1 7 1 9 1 5 1 1 1 1 1 1
最后求最大值,得出的最长回文子串的长度便是9(abcbabcba)。
暴力算法缺点:时间复杂度O(n*n)过高
Manacher算法思路:在上述暴力算法中,我们可以得到每个字符为回文子串中心时的最大回文子串长度,简称为臂长。那Manacher算法的核心思路就是利用之前求得的臂长来减少时间复杂度。
算法预处理:算法首先需要预处理字符串,如将aba 变成#a#b#a#, 将abba变成#a#b#b#a#, 这是利用2*x+1的结果始终为奇数的特性,将原字符串都变为奇数长度,因为这样我们就不用像暴力算法中的扩展一样需要特别考虑长度为偶数的回文子串了,例如#a#b#a# 当b为回文子串中心点时,长度为配对的个数3(# = #, a = a, # = #),而#a#b#b#a# 当下标4的#为回文子串中心点时,长度为配对的个数4(b = b, # = #, a = a, # = #), 这样的话无论是奇数长度的回文串aba还是偶数长度的abba都可以统一考虑顺利求解了。
核心思路:设Len[i] 为扩展后的的字符串中的字符i为回文子串中心时的最长回文子串长度的半径,而这个半径也恰恰等于字符串扩展前的最长回文子串长度,例如#a#b#a#, Len[b] = 3,3即是扩展后的字符串的最长回文子串长度的半径(#=#,a=a, #=#),也是扩展前的最长回文子串长度(aba)。那么对于求出最长回文子串的这道题目其实就是求出每个字符的Len[i]并从其中挑出最大值。上面说过,Manacher算法的核心思路就是利用之前求得的臂长( 即之前求出的Len值) 来减少时间复杂度,也就是说通过前面求出的Len值来加速求出当前下标i的 Len[i],快速求出所有的Len 值就是该算法的目的。
我们拿经典样例举个例子:babcbabcbaccba
假设我们已经求出了前面若干个Len值,即Len[0...i-1], 当要求第11位的 a 的Len[i] 时,我们如何快速求出?
首先我们需要一直维护一个最右臂长 r, 再维护拥有最右臂长的中心点下标值mid,r = mid + Len[mid], 形象点说就是,维护前面字符中手臂伸的最靠右的,(l, r) 代表着以mid为回文子串中心的回文子串的范围。
目前已知(l,r)是回文串,也是已知达到最右覆盖的。我们可以快速的求出Len[i]的值,而快速求它需要考虑俩种可能性。
一种是当 i < r 时,当i 处于(l,r)回文串的半径内时,我们就可以利用回文串的特性先寻找 i 的对称点 i' , 对称的i'也等于2*mid-i ,因为我们已经知道对称点i'的Len值(臂长),我们可以得出一个结论Len[i] = min(r - i, Len[2*mid-i]), 这里会有一个疑问,即为什么我们不直接令Len[i] = Len[2*mid-i],而要和r - i 取个最小值呢?,那是因为能够确保的半径值不超过r-i,你不能确保i'镜像的臂长都在(l,r)内。而如果i'镜像的臂长都在(l,r)内,那i点的臂长至少也是镜像i'臂长的长度,超出r的部分,进行暴力比较即while (new_str[i+Len[i]] == new_str[i-Len[i]]) Len[i]++;来更新i点的臂长即可。
另一种就是当 i >= r 时,Len[i]直接设置为默认值1,因为这时的 i 无法利用镜像i' 来获取臂长的至少值,i的右边均是未知值,都需要暴力比较,即while (new_str[i+Len[i]] == new_str[i-Len[i]]) Len[i]++;。
这样就可以快速算出当前i的Len值,每算完一个Len[i]后,我们都需要维护最右臂长 r 和 下标mid 值,即 if((i+Len[i]) > r) {r = i + Len[i]; mid = i} , 因为维护的这个区间是一个回文串,后续可以使用对称点的特性来迅速求出Len[i]值。
时间复杂度解析:
暴力算法中我们需要对 i 一直拓展到拓展不了为止。而manacher算法可以帮助我们直接跳过拓展 i 到 i + min(r-i, Len[2*mid-i])这部分,从 i + min(r-i, Len[2*mid-i])+1开始拓展。
所以时间复杂度为O(n), n为拓展后的字符串长度。由于对于每个位置,扩展要么从当前的最右侧臂长 r 开始,要么只会进行一步,而 r 最多向前走 O(n)步,因此算法的复杂度为 O(n)。
int longestPalindrome(string s) {string new_str = "";new_str += "@";for (int i = 0;i < str.length(); i++) {new_str += "#";new_str += str[i];}new_str += "#";new_str += "$";cout << new_str << endl;//new_str 存储 扩充后的字符串,如 @#a#b#a#$int len = new_str.length();int r = 0, mid = 0, ans = 0;//r 表示目前最右回文子串半径,mid则是该字串的中心下标,ans存储最长回文子串长度。for (int i = 1;i < len-1; i++) {if (i < r) {Len[i] = min(r - i, Len[2*mid-i]);}else Len[i] = 1;while (new_str[i+Len[i]] == new_str[i-Len[i]]) {Len[i]++;}if ((i+Len[i]) > r) {r = i + Len[i];mid = i;}ans = max(ans, (Len[i] - 1));}return ans;
}
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2022/11/19 21:17:12 - 准备windows请勿关闭计算机要多久,windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机怎么办...
有不少windows10系统用户反映说碰到这样一个情况,就是电脑提示正在准备windows请勿关闭计算机,碰到这样的问题该怎么解决呢,现在小编就给大家分享一下windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机的具体第一种方法:1、2、依次…...
2022/11/19 21:17:11 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...
今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后,每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面,提示请勿关闭计算机”,每次停留好几分钟才能正常关机,导致什么情况引起的呢?出现配置Windows Update…...
2022/11/19 21:17:10 - 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...
只能是等着,别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚,只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一:管理员运行cmd:net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57