matlab插值:拉格朗日插值
拉格朗日插值即对所要插值的函数进行拉格朗日多项式拟合
这是matlab插值系列的第二期,第一期:[数值分析拟合]Matlab三次样条插值拟合数据
(以后会有时间的时候再更新更多的插值方法)
这篇文章我推导过程参考过了一些其他文章,代码是自己写的,如有不对或者公式打错了欢迎批评指正
首先,对于所需要插值的自变量x和所需插值的数据点y:
一、我们先来了解它的插值原理:
对于在一组数值散点中的任意一点进行插值,找到一个满足相应条件的n次多项式,我们希望能用所有点的函数值去表示它,并且每一点的函数值都与原来的函数值相符合。
因此,设原数据的每一个点的函数值为,为了组成插值所得到的,前面配凑的系数是,那么则有:
记从0开始推导,则
那么由两个点的插值开始,所得的应当是线性插值
则有 那么显然有
对于中间的每一个点,都应当有
整理得到
那么从0开始,则其插值的系数为
, 有
这时,规律不够明显, 因此我们采用更多的点来进行相关的推导
当点的个数为n+1时,为了保证依然成立
首先,为了保证下方条件,分子为
(图片来自参考文章
拉格朗日(Lagrange)插值多项式的基函数构造法(详细推导))
此时,根据,可以有n+1个方程,那么由于有n+1个c(c0,c1,c2....cn),则可通过解方程唯一确定对应的c0,解出c0后,即可确定
,
通过以上的公式推导,下面使用MATLAB来实现上述的计算内容
先加上我在里面调用的len.m
%返回一维数组长度(行数或列数其中大的一个,必须是一位数组)
function [length]=len(A)s=size(A);if s(2)==1length=s(1); %取行endif s(1)==1length=s(2);endif s(1)~=1 && s(2)~=1disp('必须是单行向量或单列向量')returnendend
编写函数 Lagrange.m计算拉格朗日插值:
其中许多的注释我用英语写的看着别嫌麻烦哈,这段时间为了学英语我也在天天头皮发麻)
% *** Lagrange interpolation ***
function L = Lagrange(x,y,x_2)
% x --origional x vector
% y --origional y vector need to be interpolated
% x_2 --the vector x that you want to interpolate to
% author:FriedParrot --2022-2-4
if len(x) ~= len(y)error('The length of x and y should be correspond');
endxi = x_2; % generate the vector that need to be interpolated
% define the initial vectors
L = zeros(1,len(xi));for i = 1:1:len(xi) % This is the index of the xi(to be interpolated)l = ones(1,len(x)); % it is used every timefor k = 1:1:len(x)for j= 1:1:len(x)if j ~= k % similar to prod but the denominator shouldn't be zerol(k) = l(k) * ( xi(i)-x(j)) / (x(k)-x(j));% the index should be k --the first index of the iterationendend % cacultte the l_jL(i) = L(i) + l(k)*y(k); % just for every single loop of send
endif nargout == 0figure('name','Lagrange Interpolation');plot(xi,L);
endend
下面加上测试代码以及效果:
(代码使用外插值,即公式中的范围比数据的范围更广)
x = [1,2,4,6,8,9];
y = cos(x);
x_2 = 0:0.05:10;
Lagrange(x,y,x_2);
插值效果:
参考文章:
拉格朗日(Lagrange)插值多项式的基函数构造法(详细推导)
mathworld里关于Lagrange插值的简介(用翻墙软件可以进)
《专题一:插值法(1)拉格朗日插值法》
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2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57