题目

题意概要
有一个 $n\times n$ 的棋盘，你需要在其中一些格子放置棋子，使得如下限制被满足：

• 给定的若干格子上没有棋子。
• 给定的若干格子上必须有棋子。
• 第 $i(1⩽i⩽n)$ 行上棋子的个数与第 $i$ 列上棋子的个数相等。
• 第 $i(1⩽i⩽n)$ 行上棋子的个数不超过整个棋盘上棋子个数的 $\frac{a}{b}$ 。

求最多能放多少个棋子。

数据范围与提示
$n⩽40$ 且 $0⩽a⩽b⩽10^3$ 。

思路

首先，你需要以高瞻远瞩的眼界、坚不可摧的自信、过人的胆魄指出：这是网络流的题目！——反正我是做不到。并没有什么线索能够指向网络流。如果有，那就是：其他的都不行。

确定了是网络流，具体怎么流呢？尝试逐个翻译上面的条件后，想必大家都会和我一样发现，后两个限制是比较困难的。而最后一个限制有一个特点：如果我们考虑枚举每行的棋子个数的最大值 $\lambda$，那么限制条件是总量 $⩾\frac{b}{a}\lambda$，而目标是最大化总量；这就是说，目标和限制是平行的，在满足目标的同时，我们就让限制也尽可能得到了满足。这是一个突破口。既然有突破口，那还是有迹可循的。

最困难的限制是第 $i$ 行棋子个数与第 $i$ 列棋子个数相等。首先，它不是一个常量判断式，故不能直接用容量进行限制；而两个值都与流值有关，流量怎么作差呢？

关键点就在这里：流量不能作差，但是可以相加为定值。只要让两个点同时流到某个中转点，然后流到 $T$，限制这条边的流量并且要求满流，那么两个流量相加必须是容量！从这个角度出发，我们要试试把其中一个数转化为相反数。

第 $i$ 列的棋子数量，等于什么减去什么呢？显然就是 $n$ 减去第 $i$ 列上没放棋子的格子数量。那么尝试建一下图，显然有点代表一行、有点代表一列，则二者同时连向一个辅助点，容量为 $+\infty$，辅助点连向 $T$，容量为 $n$ 。只要让代表行的点上的流量是该行上放了棋子的格子数量，而代表列的点的流量是没放棋子的格子数量，就行了。

由于容量被用于作为限制条件，显然答案不是最小割，只能是 最小费用 了。回到我们网络的基本架构上：如果一个位置上放棋子，那么获得 $1$ 的权值，并且给 $i$ 行产生 $1$ 的流量，给第 $j$ 列减小 $1$ 的流量。这样费用是负数，不太方便。不如反转一下状态：如果一个位置上不放棋子，那么产生 $1$ 的费用，并且给第 $i$ 行减小 $1$ 的流量，给第 $j$ 列增加 $1$ 的流量。（当然，理论上二者没啥区别。）初始让整个棋盘所有可以放棋子的位置都放上一枚棋子。

流量的一增一减，其实就是直接连边呗！所以我们把建图方式说得更清晰一点：

• 源点 $S$ 向代表一行的点 $r_i$ 连边，容量为第 $i$ 行上可以放棋子的格子数量，费用为 $0$ 。
• 如果 $(i,j)$ 是可以不放棋子（而非必须不放）的格子，则 $r_i$ 向代表一列的点 $c_j$ 连边，容量为 $1$，费用为 $1$ 。
• $r_i$ 和 $c_i$ 都向辅助点 $p_i$ 连边，容量为 $+\infty$，费用为 $0$ 。
• 辅助点 $p_i$ 向汇点 $T$ 连边，容量为第 $i$ 行上可以放棋子的格子数量，费用为 $0$ 。

好，这道题就解决了！——阿拉，险些把 $\frac{a}{b}$ 的限制给忘了！我们要枚举每一行棋子数量的最大值 $f$ 才行！枚举之后，我们就可以直接求出最优值，然后判断 $\frac{a}{b}$ 是否成立来更新答案。原因在上面已说过了。显然不会漏解。

现在来想想，什么是第 $i$ 行只能有至多 $f$ 个棋子呢？只要看看图中哪条边能代表第 $i$ 行的实际棋子个数，然后以 $f$ 作为容量限制即可。第 $i$ 行本来有多少个棋子，就有多少流量停留在 $r_i$ 上，而每通过费用为 $1$ 的边流出 $1$ 的流量，就会拿走一个棋子。剩下的流量就是实际棋子个数！剩下的流量在哪里？全都流向了辅助点 $p_i$，无一例外！所以

• $r_i$ 向辅助点 $p_i$ 连边，容量由 $+\infty$ 改为 $f$，费用仍然为 $0$ 。

然后大功告成。跑最小费用最大流即可。当然，其实该图中有一个冗余结构 $c_i\to p_i$，因为 $c_i$ 无其他出边，此边容量为 $+\infty$ 费用为 $0$，中间这条边并没有什么用。所以把 $p_i$ 和 $c_i$ 合并起来就行。

最后，还有一个细节——也是不可忽视的要素——怎么跑最小费用流？注意到边权最大为 $1$ 最小为 $0$，加上势函数之后可以让其变为 $[0,2]$ 之内，于是用 $\text{k-bfs}$ 即可做到 $\mathcal{O}(3n+m)$ 。或者就用 $\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{f}\mathrm{a}$，也是接近线性的吧……？

反正我用迪彻斯特就调麻了，结果真的不是死循环的锅。

代码

#include <cstdio> // XJX yyds!!!
#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cassert>
using namespace std;
# define rep(i,a,b) for(int i=(a); i<=(b); ++i)
# define drep(i,a,b) for(int i=(a); i>=(b); --i)
inline int readint(){int a = 0, c = getchar(), f = 1;for(; !isdigit(c); c=getchar())if(c == '-') f = -f;for(; isdigit(c); c=getchar())a = (a<<3)+(a<<1)+(c^48);return a*f;
}
template < typename T >
inline void getMin(T &x,const T &y){if(y < x) x = y;
}const int MAXR = 43;
const int MAXN = MAXR<<1;
const int MAXM = MAXR*MAXR+3*MAXR;
struct Edge{int to, nxt, capa, val;Edge() = default;Edge(int _to,int _nxt,int _capa,int _val):to(_to),nxt(_nxt),capa(_capa),val(_val){ }
};
Edge e[MAXM<<1];
int head[MAXN], cntEdge;
void addEdge(int a,int b,int c,int d){e[cntEdge] = Edge(b,head[a],c,d);head[a] = cntEdge ++;e[cntEdge] = Edge(a,head[b],0,-d);head[b] = cntEdge ++;
}const int INFTY = 0x7fffffff;
const int QUEUE_LENGTH = MAXN*MAXN;
int que[3][QUEUE_LENGTH], dis[MAXN];
bool inque[MAXN]; int pre[MAXN], h[MAXN];
void spfa(int x,const int &n){fill(dis+1,dis+n+1,INFTY);int fro[3] = {0,0,0}, bac[3] = {1,0,0};dis[que[0][0] = x] = 0; // initfor(int i=0,lst=0; true; i=i+1-3*(i==2)){if(fro[i] == bac[i]){if(lst == i) break; // emptycontinue; /// do not modify @a lst}lst = i; // last updating timewhile(fro[i] != bac[i]){x = que[i][fro[i] ++];if(dis[x]%3 != i) continue;for(int j=head[x]; ~j; j=e[j].nxt)if(e[j].capa != 0){int w = h[x]+e[j].val-h[e[j].to];if(dis[e[j].to] > dis[x]+w){dis[e[j].to] = dis[x]+w;pre[e[j].to] = j; // record pathconst int p = (i+w)%3;que[p][bac[p] ++] = e[j].to;}}}}rep(i,1,n) if(dis[i] != INFTY)h[i] += dis[i]; // avoid overflow
}
void dickni(int source,int sink,const int &n,int &flow,int &cost){flow = cost = 0; memset(h+1,0,n<<2);while(spfa(source,n), dis[sink] != INFTY){int t = INFTY;for(int i=sink; i!=source; i=e[pre[i]^1].to)getMin(t,e[pre[i]].capa);flow += t, cost += t*h[sink];for(int i=sink; i!=source; i=e[pre[i]^1].to)e[pre[i]].capa -= t, e[pre[i]^1].capa += t;}
}char maze[MAXR][MAXR];
int row[MAXR], col[MAXR];
int main(){for(int n,cas=0; scanf("%d",&n)==1; ){int son = readint(), mom = readint();if(!n && !son && !mom) break;memset(row+1,0,n<<2), memset(col+1,0,n<<2);int sum = 0, used = 0, ans = -1;rep(i,1,n){scanf("%s",maze[i]+1);rep(j,1,n) if(maze[i][j] != '/'){++ sum, ++ row[i], ++ col[j];used += (maze[i][j] == 'C');}}const int source = n<<1|1, sink = source+1;rep(bound,0,n){memset(head+1,-1,sink<<2);rep(i,(cntEdge=0)+1,n){addEdge(source,i,row[i],0);addEdge(i+n,sink,col[i],0);addEdge(i,i+n,bound,0); // at mostrep(j,1,n) if(maze[i][j] == '.')addEdge(i,j+n,1,1); // remove it}int f, now; dickni(source,sink,sink,f,now);if(f == sum && bound*mom <= (sum-now)*son)ans = max(ans,sum-now);}printf("Case %d: ",++cas);if(!(~ans)) puts("impossible");else printf("%d\n",ans-used);}return 0;
}