第二章：赋范空间

2.1基本概念

定义 3.1（赋范空间）： 设 $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C},X$ 为 $\mathbb{K}$ 上的线性空间, $\Vert \cdot \Vert$ 为 $X$ 上的实函数, 满足:
(1) $\Vert x\Vert \ge 0$; 且 $\Vert x\Vert =0⟺x=\theta$; ( $\theta$ 为 $X$ 的零元)
(2) $\Vert \alpha x\Vert =|\alpha |\Vert x\Vert ,\forall \alpha \in \mathbb{K},\forall x\in X;$ (绝对齐性)
(3) $\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert ,\forall x,y\in X$; (次可加性或三角 不等式)
则称 $\Vert \cdot \Vert$ 是 $X$ 上的一个范数, 称 $(X,\Vert \cdot \Vert )$ 为赋范空间。

注1：其中非负性可去。

注2：在赋范空间 $(X,\Vert \cdot \Vert )$ 中，定义
$$d(x,y)=\Vert x-y\Vert ,\forall x,y\in X$$
则 $(X,d)$ 是一个距离空间 (称 $d$ 为由范数 $\Vert \cdot \Vert$ 产生的距离 $)$。由此可在赋范空间中引入收敛性、完备性、开闭集、稠密性、可分性、紧性列紧性等等概念。

定义3.2（Banach空间）：当 $(X,\Vert \cdot \Vert )$ 完备时, 称 $X$ 为 Banach 空间, 或 $(B)$ 空间。

定理 3.3：在赋范空间 $(X,\Vert \cdot \Vert )$ 中,

• $\Vert x\Vert$ 在 $X$ 上 连续;
• 加法和数乘是连续的。

注：由次加性可得超减性，进而得到$ |x|$一致连续；加法和数乘的连续性根据定义由数分中的技巧可得。

定理 3.4：赋范空间 $(X,\Vert \cdot \Vert )$ 完备 ⟺∀{xn}n=1∞⊆\Longleftrightarrow \forall\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty} \subseteq⟺∀{xn​}n=1∞​⊆ $X$, 当 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\Vert x_n\Vert <\infty$ 时总有 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n$ 收敛。

赋范空间的完备性可理解为：由范数收敛可以得到原级数收敛；可看作数分中绝对收敛一定收敛的推广。

定义3.5（凸集）：设 $(X,\Vert \cdot \Vert )$ 为赋范空间, $x,y\in X$, 称 [x,y]={αx+[x, y]=\{\alpha x+[x,y]={αx+ $(1-\alpha )y:\alpha \in [0,1]\}$ 为连接 $x$ 和 $y$ 的线段; 对于 $X$ 中的子 集 $A$, 如果对任意 $x,y\in A$ 都有 $[x,y]\subseteq A$, 则称 $A$ 为凸 集。

例：赋范空间中的开球 $S\left(x_0,r\right)$ 和闭球 $B\left(x_0,r\right)$ 都是凸集；但距离空间中的开球 $S\left(x_0,r\right)$ 和闭球 $B\left(x_0,r\right)$ 不一定是凸集。

定义3.6（子空间）：设 $(X,\Vert \cdot \Vert )$ 为赋范空间, 如果 $X_0$ 为 $X$ 的一 个线性子空间, 则 $\left(X_0,\Vert \cdot \Vert \right)$ 也是一个赋范空间, 称之 为 $(X,\Vert \cdot \Vert )$ 的(赋范)子空间。

Banach空间的闭子空间也是Banach空间。

定义3.7（线性算子）：设 $X,Y$ 为赋范空间, 如果映射 $T:X\to$$Y$ 满足可加性: $T(x+y)=Tx+Ty,\forall x,y\in X$和齐性: $T(kx)=kTx,\forall k\in \mathbb{K},x\in X$
则称 $T$ 是线性的（等价于 $T(ax+by)=aTx+bTy,\forall a,b\in$ $\mathbb{K},x,y\in X$ ) 。

• 如果 $T$ 还满足: $\Vert Tx\Vert =\Vert x\Vert ,\forall x\in X$则称 $T$ 为线性等距(算子), 此时称 $X$ 可等距嵌入 $Y$;

• 如果 $T$ 是满的线性等距, 则称 $T$ 为等价映射, 此时称 $X$ 和 $Y$ 等价，记为 $X\cong Y$。