动态规划知识整理(附例题和代码)
这几天刷力扣做到了动态规划相关的题目,整理下动态规划的知识。
能应用动态规划的问题一般有以下特点:
(1) 最优化原理:如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的,就称该问题具有最优子结构,即满足最优化原理。
(2) 无后效性:即某阶段状态一旦确定,就不受这个状态以后决策的影响。也就是说,某状态以后的过程不会影响以前的状态,只与当前状态有关。
(3)有重叠子问题:即子问题之间是不独立的,一个子问题在下一阶段决策中可能被多次使用到。(该性质并不是动态规划适用的必要条件,但是如果没有这条性质,动态规划算法同其他算法相比就不具备优势)
这么说太抽象了,下面结合几个例题说明。
1.斐波那契数列
写一个函数,输入 n ,求斐波那契(Fibonacci)数列的第 n 项(即 F(N))。斐波那契数列的定义如下:
F(0) = 0, F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.
斐波那契数列由 0 和 1 开始,之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。
答案需要取模 1e9+7(1000000007),如计算初始结果为:1000000008,请返回 1。
示例 1:
输入:n = 2
输出:1
示例 2:
输入:n = 5
输出:5
题目链接:https://leetcode-cn.com/problems/fei-bo-na-qi-shu-lie-lcof/
在本问题中,F(N) = F(N - 1) + F(N - 2),也就意味着计算当前状态与之前的状态有关,而当前状态也不会受之后的状态影响,如果使用递归解题,则需要大量的重复计算,例如F(N)和F(N-1)需要分别计算F(N-1)和F(N-2),浪费时间。
而采用动态规划解题,只需要用一维数组dp来将第i个斐波那契数存储到dp[i],这样计算第n个斐波那契数时只需要调用数组中的dp[i-1]和dp[i-2]。前两个数字dp[0]dp[1]对应初始化为F(0)和F(1)即可。
但是这样需要O(n)的额外空间,是否有进一步节省空间的方法呢?由于dp 第i项只与第i-1和第i-2项有关,因此只需要初始化三个整形变量tmp,a,b,利用辅助变量tmp使a,b两数字交替前进即可。
代码如下:
int fib(int n) {if (n <= 1) return n;//如果n少于等于1直接returF(N)int a = 0;int b = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) {int tmp = (a + b) % 1000000007;//题目中要求对1000000007取模a = b;b = tmp;}return b;}
2.青蛙跳台阶问题
一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。
答案需要取模 1e9+7(1000000007),如计算初始结果为:1000000008,请返回 1。
示例 1:
输入:n = 2
输出:2
示例 2:
输入:n = 7
输出:21
示例 3:
输入:n = 0
输出:1
题目链接:https://leetcode-cn.com/problems/qing-wa-tiao-tai-jie-wen-ti-lcof/
这也是一个经典的动态规划问题,由于青蛙每次可以跳一阶台阶或者两阶台阶,所以要跳上n阶台阶(n>=2)时,既可以从n-1阶台阶跳,也可以从n-2阶台阶跳。也就是说,跳上n阶台阶(n>=2)的方法总数是跳上n-1阶台阶的方法的数目加跳上n-2阶台阶方法的数目。用dp[n]来表示跳上n阶台阶的方法,即dp[n]=dp[n-1]+dp[n-2],(n>=2),dp[0]=dp[1]=1。这里的dp[0]=1是通过dp[2]-dp[1]求出来的。代码如下:
int numWays(int n) {if(n<2) return 1;int a=1;int b=1;for(int m=2;m<=n;m++){a=a+b;b=a-b;a=a>=1000000007?(a-1000000007):a;}return a;}
这里也是通过a,b变量来循环前进,并对结果取模1000000007。
3.把数字翻译成字符串
给定一个数字,我们按照如下规则把它翻译为字符串:0 翻译成 “a” ,1 翻译成 “b”,……,11 翻译成 “l”,……,25 翻译成 “z”。一个数字可能有多个翻译。请编程实现一个函数,用来计算一个数字有多少种不同的翻译方法。
示例 1:
输入: 12258
输出: 5
解释: 12258有5种不同的翻译,分别是"bccfi", “bwfi”, “bczi”, “mcfi"和"mzi”
题目链接:https://leetcode-cn.com/problems/ba-shu-zi-fan-yi-cheng-zi-fu-chuan-lcof/
由于部分两位数字即可以一个一个翻译,也可以整体翻译,所以可以将本体看为有条件的青蛙跳台阶问题。如果第n-1个数字和第n个数字组合起来能被翻译,用dp[n]代表前n个字母被翻译的方法数目,则dp[n]=dp[n-1]+dp[n-2];如果n-1和n不能被翻译,则dp[n]=dp[n-1]。
可以被翻译也就意味着是第n-1个数等于1或(第n-1个数等于2且第n个数小于等于5),这里第n-1个数等于0时,由于“09”,“08”等0开头的数不能被翻译,所以第n-1个数等于0也不能翻译。
所以条件如下:
dp[n]=dp[n-1]+dp[n-2];(n-1n可翻译)
dp[n]=dp[n-1]; (n-1n不可被翻译)
int translateNum(int num) {string s = to_string(num);int dp[s.size()+1];if(s.size()<2){return 1;}dp[0]=1;dp[1]=1;for(int n=2;n<=s.size();n++){if(s[n-2]=='1' || (s[n-2]=='2'&&s[n-1]<='5'))//s[0]是第一个数字{dp[n]=dp[n-1]+dp[n-2];}else dp[n]=dp[n-1];}return dp[s.size()];}
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Win7系统开机启动时总是出现“配置Windows请勿关机”的提示,没过几秒后电脑自动重启,每次开机都这样无法进入系统,此时碰到这种现象的用户就可以使用以下5种方法解决问题。方法一:开机按下F8,在出现的Windows高级启动选…...
2022/11/19 21:17:12 - 准备windows请勿关闭计算机要多久,windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机怎么办...
有不少windows10系统用户反映说碰到这样一个情况,就是电脑提示正在准备windows请勿关闭计算机,碰到这样的问题该怎么解决呢,现在小编就给大家分享一下windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机的具体第一种方法:1、2、依次…...
2022/11/19 21:17:11 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...
今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后,每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面,提示请勿关闭计算机”,每次停留好几分钟才能正常关机,导致什么情况引起的呢?出现配置Windows Update…...
2022/11/19 21:17:10 - 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...
只能是等着,别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚,只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一:管理员运行cmd:net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57