Meaningless Sequence

[link](Problem - D - Codeforces)

题意

给你n和c，求${\sum }_{i=0}^n{a}_i$。

题解

首先对于任意一个$a_i$，假设$i$二进制表达中有$cnt$个1那么他的值就是$c^{cnt}$。因为数是连续到第$i$个的，所以$i$对应的而二进制表达中一定有$cnt-1$个$1$可以通过$\&$留下来，那么他的值就是$c\times 二进制有cnt-1个一的数的对应a_j的值$，递归看下去就得到了一开始的结论。

一个一个算出来肯定不行，考虑怎么一类一类的算出来。发现当某个数的二进制是满1的话${\sum }_{i=0}^x{a}_i==(1+c{)}^n$,n为x的二进制位数。因为相当于一共n位在n位取小于等于n个1的组合数再乘以对应的权重，$C_n^0\ast c^0+C_n^1\ast c^1+...+C_n^n\ast c^n=(1+c{)}^n$。这样就知道二进制全是1的数的和的什么了。

假设我们知道了$101$的和为$sum$,那么$1101$的和可以拆成两部分来看，一部分是$000-111的和$可以通过上面推导直接求出，另一部分是$1000-1101$，这部分相当于$000-101$每个数都在最前面多加了一个1，每多加一1就会对单个的数多乘一个c，因此这一部分的权重是$c\times sum$。我们知道了这一步的推导是正确的，所以从尾往头遍历每一个数，每遇到一位1就这样转移一下，最终就可以线性求出答案了。

Code

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <set>
#include <queue>
#include <vector>
#include <map>
#include <bitset>
#include <unordered_map>
#include <cmath> 
#include <stack>
#include <iomanip>
#include <deque> 
#include <sstream>
#define x first
#define y second
using namespace std;
typedef long double ld;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<double, double> PDD;
typedef unsigned long long ULL;
const int N = 1e5 + 10, M = 2 * N, INF = 0x3f3f3f3f, mod = 1e9 + 7;
const double eps = 1e-8, pi = acos(-1);
int dx[] = {-1, 0, 1, 0}, dy[] = {0, 1, 0, -1};
int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
void add(int a, int b, int v = 0) {e[idx] = b, w[idx] = v, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}
int n, m, k, c;
int a[N];
LL qmi(LL a, LL b, LL p) {LL res = 1;while (b) {if (b & 1) res = res * a % p;   a = a * a % p;b >>= 1;}return res;
}
int main() {ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);string str;cin >> str >> c;LL res = 1;for (int i = str.size() - 1, k = 0; i >= 0; i --, k ++ ) if (str[i] == '1') res = (res * c + qmi(c + 1, k, mod)) % mod;cout << res << endl;return 0;
}