BUAA士谔书院T大班2021年10月30日程设串讲--递归与递推
2021年10月30日程设串讲
递推与递归——by Toby
首先,让我们来讲一个故事吧!
在一个晴朗的早晨,纱世里呆在她的房间里,而你站在她的房间外面。(想到了什么?!)(雾)
有意思的是,纱世里突然发现她的房间里还有一扇门,于是她怀着好奇,推门而入。
更加令人惊奇的是,她进入的新房间和原来的房间一模一样,而且也有那样神奇的门,于是她又推门而入。
可是,眼前的房间还是一模一样。纱世里感到十分迷惑,但她依然打算再走下去。
不过她很聪明,在这个房间里种下了一朵花,希望自己回来的时候花已然盛开。然后她进入了下一个房间。
随后,她又看到了许许多多同样的房间,并且她在途经的每一个房间中都种下了一颗种子。
直到……
此时此刻,纱世里不知道的是,她处在你所编写的程序之中,而你将决定她的命运。
请选择下面的几种代码决定故事的走向:
-
A.
int main() {for (int i = 0; i < total_rooms; i++){create_room();}return 0; }
-
B.
void recursion(int room_id) {if(room_id <= 0) return;create_room();recursion(room_id + 1); }int main() {recursion(1);return 0; }
-
C.
void recursion(int room_id) {if(room_id > total_room) return;create_room();recursion(room_id + 1); }int main() {recursion(1);return 0; }
一般递归的形式
上面这个故事的C选项已经呈现了递归的一种写法。不过显然的是,这种写法也可以用A中的循环代替。实际上,几乎所有的递归都可以用循环代替,不过,有时候写起来就会十分麻烦。
下面我们先来完整的实现一下上面的故事:
void SayoriRoom(int room_id)
{if(room_id == total_room){leaveRoom(room_id);}enterRoom(room_id);raiseFlower();SayoriRoom(room_id+1);pluckFlower();exitRoom(room_id);
}
如你所见,这是一个很基础递归模式:
即,在递归调用自己前做一些事,然后递归调用自己,回来后用做一些事,然后结束。
答疑
汉诺塔
很多人问这个问题啊。所以要重点说一说。
首先找递归边界! 任何递归,首先都要有递归边界。
- 递归边界,首先肯定是很简单的问题才作为递归边界,比如,只有111个圆盘的时候。
- 显然,只需要移动111次即可。
然后再想递归式! 如果递归式特别难想,不妨先想想只有222个圆盘,只有333个圆盘这样的情况。
- 只有222个圆盘时结论也比较好想,即把小圆盘先放在中间的柱子上,把大圆盘移动到目标柱,再把小圆盘移动到目标柱。因此是有333次操作。
- 至于333个圆盘,可以仿照222的做法,先把小圆盘和中圆盘都移到中间的柱子上(这根据2需要3步),再把大圆盘移动到目标柱,最后把小圆盘和中圆盘移动到目标柱。于是需要3+1+3=73+1+3=73+1+3=7步。
- 最后呢,我们发现。对于有nnn个圆盘的情况,可以先把前n−1n-1n−1个圆盘移动到中间的柱子上,再把最大的圆盘移动到目标柱,最后把前n−1n-1n−1个圆盘移动到目标柱。于是需要的移动次数f(n)=f(n−1)+1+f(n−1)=2f(n−1)+1f(n)=f(n-1)+1+f(n-1)=2f(n-1)+1f(n)=f(n−1)+1+f(n−1)=2f(n−1)+1。
于是此题解决:
套用刚刚故事中的递归的模板即可:
int Hanoi(int n) //如有必要,请使用long long作为返回值
{if(n <= 0) return 0; //如果我们没有圆盘……if(n == 1) return 1; //递归边界一定要有,切记切记!(不然你会喜提“晴天娃娃”)int ans;//这次进入下一个房间前我们不用种花,而是需要一个容器装花(声明一个存放答案的变量)。ans = 2 * Hanoi(n-1) + 1;//进入下一个房间(递归的调用自己),这次我们用的是递推公式。return ans;//记得把花带回去哦!(把计算结果传递回去)/*当然用心的同学可以看出,上面三行实际上可以直线一行:return 2 * Hanoi(n-1) + 1;实际上这一行代码就实现了好几个功能*/
}
E5-F 世界线
这题这出题人是真差劲,题意表达非常不明确,还好有样例解释
简单来说,这题就是根据op的值确定下次穿越到哪个世界线。
直接上代码吧:
int WorldLine(int depth, char world) //depth表示当前层数,world表示当前位置
{if(depth == N) //依题意,N为递归边界{if(world == 'a') return a;if(world == 'b') return b;if(world == 'c') return c;}int ans = 0; //声明并初始化储存容器//下面依次考虑我是否要进入某条世界线if(op[depth] & 4) ans += WorldLine(depth+1, 'a');if(op[depth] & 2) ans += WorldLine(depth+1, 'b');if(op[depth] & 1) ans += WorldLine(depth+1, 'c');return ans; //结算答案
}
// 这个代码其实有个小问题,不知道大家发现没有(和递归并没有关系的问题)
组合数问题
接下来我们来算一算组合数,首先大家要熟知下面这两个公式:
Cmn=Cm−1n+Cm−1n−1Cmn=Cmm−nC^n_m = C^n_{m-1} + C^{n-1}_{m-1} \\ C^n_m = C^{m-n}_m Cmn=Cm−1n+Cm−1n−1Cmn=Cmm−n
这个是高中数学内容吧
既然有了递推式,我们就可以写代码了呀!
int Combination(int m, int n) //m里面选n个
{if(n == 0 || n == m) return 1; //m里面选0个,m里面选n个,都得1if(n > m / 2) return Combination(m, m - n); //这一步是为了加快速度return Combination(m-1, n) + Combination(m-1, n-1);
}
一起来做题
其实说得多不如做得多,下面我们一起来做个题吧!
P1010幂次方
P1464记忆化
P1928解压缩
P1028简易DP
这是我选的一些道,难度比较正常,理论上你们很有可能会考此类题目。
(不过我估计考试题将比这个简单一些,所以你只要写出这些题,类似的递归问题就都能解决了)
如果还不满足的话,送你整整一个题单:
参考题单
最后的最后
最后就要祝大家明天AK快乐!
这堂课录像了呢!可能会发B站呢!据说一键三连的小伙伴明天会更容易AK哦!
故事的答案
1-A
纱世里走啊走啊,终于,她走到了最后一个房间,这个房间的房门通往外界,纱世里非常高兴,冲了出去,进入了另一个世界。遗憾的是,她再也不可能回来了,不可能看到她种下的花朵已然盛开,不可能看到站在房门口等着她的你。
回到题目
1-B
纱世里走啊走啊,走了很远很远,但是从未看到尽头,也找不到回来的路了。终于,站在门口的你,忍不住推门而入,顺着纱世里走过路,看见她种下的花朵已经盛开,心情很好。可是当你在漫长的旅途之后,等待你的,不是纱世里,而是晴天娃娃。
回到题目
1-C
纱世里走啊走啊,终于,她来到了最后一个房间。这个房间与前面的房间都有所不同,本该通往下一个房间的大门死死封闭,上面的告示写着应该如何原路返回。纱世里依照指示,回到了上一个房间,迎接她的是扑面而来的花香,她种下的花,盛开了。她摘下其中的一支,又返回了上一个房间。所有她曾经过的房间里的花朵都已经盛开,她从每个房间里选取了一朵最美最香的,捧在手中。最终,她回到了最初了房间,她将沿途收集到的花朵包装好,怀着愉快的心情走出房门,将这一大捧花束全都送给了你。
回到题目
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置信有很多用户都跟小编一样遇到过这样的问题,电脑时发现开机屏幕显现“正在配置Windows Update,请勿关机”(如下图所示),而且还需求等大约5分钟才干进入系统。这是怎样回事呢?一切都是正常操作的,为什么开时机呈现“正…...
2022/11/19 21:17:13 - 准备配置windows 请勿关闭计算机 蓝屏,Win7开机总是出现提示“配置Windows请勿关机”...
Win7系统开机启动时总是出现“配置Windows请勿关机”的提示,没过几秒后电脑自动重启,每次开机都这样无法进入系统,此时碰到这种现象的用户就可以使用以下5种方法解决问题。方法一:开机按下F8,在出现的Windows高级启动选…...
2022/11/19 21:17:12 - 准备windows请勿关闭计算机要多久,windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机怎么办...
有不少windows10系统用户反映说碰到这样一个情况,就是电脑提示正在准备windows请勿关闭计算机,碰到这样的问题该怎么解决呢,现在小编就给大家分享一下windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机的具体第一种方法:1、2、依次…...
2022/11/19 21:17:11 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...
今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后,每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面,提示请勿关闭计算机”,每次停留好几分钟才能正常关机,导致什么情况引起的呢?出现配置Windows Update…...
2022/11/19 21:17:10 - 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...
只能是等着,别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚,只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一:管理员运行cmd:net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57