四元数（Quaternion）相关的介绍材料非常多，这里针对其中几个实用问题进行阐述。

四元数初步

相关介绍可参考此文或此文（英文）。

相对于复数的二维空间表示，四元数可理解为一种四维空间表示。四元数是由一个实数和三个元素$i,j,k$组成：$$q=w+x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}$$ 三个元素之间有如下关系： $${\mathbf{i}}^2={\mathbf{j}}^2={\mathbf{k}}^2=\mathbf{i}\mathbf{j}\mathbf{k}=-1$$

四元数还可以定义为：$$q=v+\mathbf{u}$$ 即标量部分+矢量部分。后续内容中将采用上述两种表示。

四元数运算

四元数虚部的乘法不具有交换律，例如： $$ij=k,ji=-k;jk=i,kj=-i;ki=j,ik=-j$$ 四元数的共轭定义为： $$q^{\ast }=w-ai-bj-ck$$ 四元数的模定义为： $$|q|=\sqrt{q\cdot q^{\ast }}=\sqrt{w^2+a^2+b^2+c^2}$$ 注意 $(qp{)}^{\ast }=p^{\ast }{q}^{\ast }$，四元数的乘逆为： $$q^{-1}=\frac{q^{\ast }}{|q{|}^2}$$

与复数一样，四元数求和将不同元素加起来即可，满足交换律和结合律。

令：$$q=w+\vec{u},p=t+\vec{v}$$两个四元数之间的非可交换乘积通常被称为格拉斯曼积，其完整形式为：$$pq=wt-\vec{v}\cdot \vec{u}+w\vec{v}+t\vec{u}+\vec{v}\times \vec{u}$$ 或 $$\begin{array}{r}pq=(wt-ax-by-cz)\\ +(at+wx+bz-cy)i\\ +(bt+wy+cx-az)j\\ +(ct+zw+ay-xb)k\end{array}$$ 由于四元数乘法的不可交换性，$pq$并不等于$qp$：$$qp=wt-\vec{u}\cdot \vec{v}+w\vec{v}+t\vec{u}-\vec{v}\times \vec{u}$$

四元数点积：$p\cdot q$
点积也叫欧几里得内积，四元数点积等同于一个四维向量的点积。点积是可交换积，返回一个标量：$$p\cdot q=wt+\vec{u}\cdot \vec{v}=wt+ax+by+cz$$

四元数叉积：$p\times q$
四元数叉积和向量叉积等价，返回一个向量：$$\begin{array}{rl}p\times q& =\frac{pq-qp}{2}\\ & =\vec{u}\times \vec{v}\\ & =(bz-cy)i+(cx-az)j+(ay-xb)k\end{array}$$ 四元数叉积满足结合律、不满足交换律。叉积的模等于模的乘积，这样保证了单位四元数的叉积依然是单位四元数。

四元数逆：$p^{-1}$
四元数的转置通过 $p^{-1}p=1$ 被定义。其构建方式与复倒数相同：$$p^{-1}=\frac{p^{\ast }}{p\cdot p}$$ 一个四元数与自身的点积是一个标量。单位四元数的转置于共轭相同。

四元数的符号：$\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(p)$
复数的符号定义为单位圆上一个方向与原复数相同的复数。四元数的符号产生于单位四元数：$$\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(p)=\frac{p}{|p|}$$

四元数的辐角：$\arg (p)$
辐角函数可找出一个四元数偏离单位标量的角度。此函数输出一个标量角度：$$\arg (p)=\arccos \left(\frac{w}{|p|}\right)$$

单位四元数的平均值：
此文

F.L. Markley, Y. Cheng, J.L. Crassidis, Y. Oshman, Averaging quaternions, J. Guid. Control Dyn. 30 (4) (2007) 1193–1197.

中介绍，单位四元数可以被看作是单位长度的方向向量，对$4\times 4$矩阵：
$$C=\sum _{n=1}^N{q}_n\cdot q_n^T$$ 采用主成分分析，找到其最大特征值对应的正则化的特征向量作为其平均值。

四元数与刚体旋转

单位四元数，即绝对值为1的四元数（$\Vert q{\Vert }^2=v^2+{\mathbf{u}}^2=1$），若实部为 $\cos (\theta )$，它的共轭作用是一个角度为 $2\theta$ 的转动，旋转轴为虚部的方向。相比于欧拉角，四元数表达式无奇点；相比于SO3矩阵，四元数也更为简洁。两个单位四元数的乘积也是单位四元数,所有四元数的集合组成一个三维球 ${\mathcal{S}}^3$ 和在乘法下的一个群（李群）。注意四元数表示的旋转是一个2-1映射，因为 $q$ 与 $-q$ 表达的是同一个旋转。

四元数与轴角对

绕旋转轴 $n$ 旋转 $\theta$ 角（右手法则），表示为四元数：
$$q=\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)+\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\left(n_{x}i+n_{y}j+n_{z}k\right)$$ 换一种说法：给定轴角对 $(\omega ,\theta )$ 来表示一个绕 $\omega$ 转 $\theta$ 的旋转，那么对应的单位四元数被定义为：
$$q=\left(\cos \frac{\theta }{2},\sin \frac{\theta }{2}\omega \right)$$
这个网站可以很直观的展示四元数轴角对。注意，$q$ 与 $-q$ 代表的是相同的旋转（Quaternions have a double cover of the rotation manifold）。

四元数旋转

扩展一个欧氏空间中的点到四元数空间，只需要将其定义为 $p=(0,x,y,z)$ 即可。执行下述乘法可以使点 $p$ 绕 $n$ 旋转：$$p^{\prime }=qp{q}^{-1}$$ 这个运算被称为哈密尔顿积（Hamilton product）。注意这和使用复数进行2D旋转是不同的。
多次旋转的情况： $$p^{\prime }=q_2(q_{1}p{q}_1^{-1})q_2^{-1}=(q_2{q}_1)p(q_1^{-1}{q}_2^{-1})=(q_2{q}_1)p(q_2{q}_1{)}^{-1}$$ 注意旋转是从右向左发生的。

四元数与角速度

定义了距离之后，下一步可以定义导数。采用轴角表示，定义角速度 $\omega (t)$，那么四元数的导数 $\dot{q}$ 表示为：$$\dot{q}=\frac{1}{2}\omega q$$ 此处角速度 $\omega$ 可以被看成是一个拥有0标量的四元数。上一节中指数映射可用于求解上述微分方程，或进行积分：
给定当前时刻方向 $q(t)$ 和当前时刻角速度 $\omega (t)$，那么，在时间段 $\Delta t$ 内（假设角速度不变）：$$q(t+\Delta t)=\exp \left(\frac{\Delta t}{2}\omega \right)q(t)$$

单位四元数插值

如前所述，单位四元数定义在一个单位球面 ${\mathcal{S}}^3$ 上，两个单位四元数 $q_1$ 和 $q_2$ 之间的插值是通过球面上的一个路径最短的圆弧运动实现的。两者这件的变动（displacement）为 $q_1{q}_2^{\ast }$ 。

SLERP

球面线性插值（Spherical Linear Interpolation）运算非常有用，因为它可以实现两个四元数间的平滑插值，避免欧拉角插值的角度限制问题、万向锁问题（导致抖动、路径错误，根本问题是插值过程中角速度不恒定）。

理论上，计算四元数插值的步骤如下：

1. 计算两个四元数的差，利用逆矩阵推导。
2. 计算差的一部分，即四元数求幂。
3. 在起始的值上加上差的一部分，使用四元数乘法来组合角位移。

其主要思想是施密特正交。然而实践中，有一种更有效的方法。所有单位四元数都存在于一个4D球面上，结果如下：(假设旋转的角度是$\varphi$)
$$\mathrm{S}\mathrm{L}\mathrm{E}\mathrm{R}\mathrm{P}(q_0,q_1,t)=\frac{\sin ((1-t)\frac{\varphi }{2})}{\sin \frac{\varphi }{2}}{q}_0+\frac{\sin (t\frac{\varphi }{2})}{\sin \frac{\varphi }{2}}{q}_1$$
两个四元数之间的角度通过内积计算：$$\varphi =2\arccos (n_1\cdot n_2)$$
SLERP的推导过程如下图所示：

有几点需要注意：

• 四元数 $q$ 和 $-q$ 代表的是相同的方向，但是插值时可能导致不同的结果。解决方法是选择两个数的符号使得它们内积结果非负。
• 如果两个四元数非常接近，那么正弦值非常小，这时除法计算可能会出现问题，解决方法是当正弦非常小时使用线性插值。

由于四元数旋转是乘法形式，上述公式亦可写成：$$q(t)=q_0(q_0^{-1}{q}_1{)}^t$$
这个表达式可以看作是从起始点逐步”加“与终点的差值的 $t$ 倍，$0<t<1$。四元数的差与矩阵类似，可以理解为选旋转$A^{-1}$再旋转$B$便得到$A$和$B$的差值。四元数的差表示为 $q_0^{-1}{q}_1$。根据上一节的公式：
$$\begin{array}{rl}{q}^1& =\exp (\ln q)=q\\ q^0& =\exp (0\ln q)=\exp (0\cdot \tilde{n})=[\cos (0),\sin (0)\cdot \hat{n}]=[1,0]\end{array}$$ 最后我们令：$q_0=[1,0,0,0]$ 以及 $q_1=[\cos \theta ,\sin \theta \cdot n]$，重新代入SLERP插值公式：

可见两种表现形式可以相互转化。

旋转距离

通过距离度量：$$d(q_1,q_2)=|q_1-q_2|$$ 四元数可同胚于 ${\mathbb{R}}^4$的度量空间。衡量两个单位四元数的距离有其它方式，如上一节在探讨SLERP时的视角。

此文中使用内积定义两个四元数的夹角作为距离：$$\begin{array}{rl}\theta & =\arccos \left(2(q_1\cdot q_2{)}^2-1\right)\\ d(q_1,q_2)& =1-(q_1\cdot q_2{)}^2=\frac{1-\cos \theta }{2}\end{array}$$ 该度量对于相同方向始终输出 $0$ ，对于相差 $\pi$ 输出 $1$。该定义也被称为测地线（geodesic）距离。注意，这个角度 $\theta$ 衡量的是这两个四元数 $q_1$、$q_2$ 差别有多大，并非这两个旋转的角度差。

此文中也提到一种类似方法：令 $r=q_1^{-1}{q}_2$ ，此时 $q_1$ 与 $q_2$ 的距离等同于 $r$ 与 $1+[0,0,0{]}^T$ 的距离，如果 $r$ 实部 $r_w$ 小于零，那么取 $r=-r$。那么对于单位四元数，此时 $d(q_1,q_2)=\varphi =2\arccos (r_w)$。与之类似的，在此书中：

Morais, João Pedro, Svetlin Georgiev, and Wolfgang Sprößig. Real quaternionic calculus handbook. Springer Basel, 2014.

作者提到一种利用四元数的对数表示两个四元数之间差异的方法。如前所示，四元数的对数可以写成：$$\log (q)=\log (v+u)=\{\begin{array}{rl}& \arccos (v)\frac{u}{\Vert u\Vert },u\ne 0\\ & [0,0,0{]}^T,\text{ otherwise}\end{array}$$ 注意四元数的对数定义在3维欧式空间内（旋转的轴角表示）。那么，$$d(q_1,q_2)=\{\begin{array}{rl}& 2\pi ,q_2{q}_1^{\ast }=-1+[0,0,0{]}^T\\ & 2\Vert \log (q_2{q}_1^{\ast })\Vert ,\text{ otherwise}\end{array}$$ 注意上述所有积运算均为乘积运算。如果我们把定义域限制到 S3/{−1+[0,0,0]T}S^{3}/\{-1+[0,0,0]^{T}\}S3/{−1+[0,0,0]T} 内，那么对数运算是内射（injective）映射。其逆映射，即指数（幂）映射（${\mathbb{R}}^3\to S^3$）如前所述可定义为：$$\exp (r)=\{\begin{array}{rl}& \cos (\Vert r\Vert )+\sin (\Vert r\Vert )\frac{r}{\Vert r\Vert },r\ne 0\\ & 0,\text{ otherwise}\end{array}$$
同样的，如果我们限制两个域为 $\Vert r\Vert <\pi$ 且 S3/{−1+[0,0,0]T}S^{3}/\{-1+[0,0,0]^{T}\}S3/{−1+[0,0,0]T}，那么指数与对数映射变成 one-to-one，连续可微映射，且互为逆映射。

其它参考

探讨四元数变换与距离的相关帖子：

• Angular Distance Between Quaternions
• Quaternion Exponential Map - Lie group vs. Riemannian Manifold
• 关于李群
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  • Comparing two rotation matrices
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  • 四元数应用——转矩阵、Slerp插值与万向节
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