“All-optical machine learning using diffractive deep neural networks”，这篇Science上的文章发表于2018年6月{Lin X, Rivenson Y, Yardimci N T, et al. All-Optical Machine Learning Using Diffractive Deep Neural Networks[J]. Science, 2018.}。写个博客当作读书笔记~（版权声明：本文为博主原创文章，转载请注明出处！）

这篇文章提出全光衍射深度神经网络（Diffractive Deep Neural Network, $D^2\,NN$）。$D^2\,NN$的训练由计算机实现，完成训练后的网络由3D打印的被动衍射层构成，可以光速完成各种复函数运算。目前$D^2\,NN$已实现手写数字识别、简单物体分类、成像镜的功能，并且D2NN在全光图像分析、特征检测、目标分类及新型相机设计等领域都将具有很多的应用。

一. $D^2\,NN$原理

如图所示，$D^2\,NN$由一系列透射或反射衍射层组成，层上每点相当于神经网络中的神经元，通过衍射作用与下一层各点连接。

按照Rayleigh-Sommerfeld diffraction equation（Principles of Optics, P548），$D^2\,NN$每个节点可视为二次光源，遵守以下光学模式（Optical mode）:

l为第l层网络，i为第i个节点，节点坐标为($x_ {i}$,$y_ {i}$,$z_ {i}$)，

该节点产生的二次波的振幅和相对相位，由该节点的入射波和节点的透射系数t决定（二者均为复函数）。那么，第l层网络的第i个节点，其输出为：


将$m^l_ {i}$定义为该节点的入射波，|A|为二次波的相对振幅，Δθ为透射系数造成的附加相位延迟。二次波在层与层之间衍射传播，并在下一层网络上形成一个入射复数波。节点的透射系数t由振幅和相位两部分组成，若振幅为常数，则该网络为phase-only D2NN。

二.$D^2\,NN$正向传播模型

$D^2\,NN$网络结构如图所示。可将第l层网络的第i个节点输出重写为下式，其中p为下一层网络中某个节点。

$D^2\,NN$的照明光源为第0层的$h^0_ {k}$，是一个复数值，携带相位和振幅信息。照明光源经衍射后得到$n^0_ {k,p}$，即为$D^2\,NN$第一层的输入波。

假设该$D^2\,NN$共有M层（除输入输出面外），那么在输出面上的探测器可以接收到光场强度为：

三.$D^2\,NN$网络训练方法

使用误差反向传播算法及随机梯度下降优化方法对网络进行训练。损失函数为输出面光强$s^{M+1}_ {i}$和目标$g^{M+1}_ {i}$之间的MSE：

K为输出面测量点的数量。网络的训练即优化以下问题：

第l层网络i节点的$∅^l_ {i}$相对于误差的梯度可计算为下式:

四.$D^2\,NN$与普通神经网络的区别

如上图所示：
1. $D^2\,NN$中神经元的输入为复数值，权重（weights）由自由空间的衍射决定，与层与层之间的物理距离有关，乘法偏置（multiplicative bias）由每个神经元的透射/反射系数决定。
2. $D^2\,NN$每个神经元调制输入波的相位及振幅，输出一个二次波，它与sigmoid、ReLU或其他普通神经网络中使用的非线性神经元不同。（也可以在$D^2\,NN$中增加光学非线性）
3. 上一层网络中各神经元的输出，通过波的传播及相干（或部分相干）干涉耦合，这为网络提供了一种独特的互联性。虽然神经元产生的二次波会向各角度产生衍射，但是波的强度会随传播距离发生衰减，这样，下一层网络每个神经元只能接收有限半径内的波，这称为$D^2\,NN$的接收域（receptive field）。$D^2\,NN$的互联性由网络层间距、入射光束光强、探测SNR、照明光源的相干长度和半径有关。

五.$D^2\,NN$实验搭建方法

网络训练完成后，通过Poisson surface reconstruction（Screened poisson surface reconstruction）生成网络各衍射层的3D模型，然后经3D打印机打印，如下图所示。

具体过程：
1. 将各节点的相位转化为相对高度（Δz=λø/2πΔn)，式中Δn为3D打印材料（VeroBlackPlus RGD875）和空气的折射率之差。λ=0.75mm，即0.4THz。在此频率下，该3D打印材料的折射率和消光系数k分别为1.7227和0.0311，对应衰减系数α=520.7177$m^{-1}$。
2. 为每层加上一个均匀的，厚度为0.5mm的基层。
3. 通过Meshlab软件，计算曲面法线并执行Poisson reconstruction，完成3D建模。
4. 用3D打印机打印模型（Objet30 Pro 3D, Stratasys Ltd, Eden Prairie, Minnesota USA）。

经MNIST和Fashion-MNIST数据集训练所获得的各层相位板，如下图所示。由于打印的衍射层尺寸为8cm×8cm，在训练时需将各图进行0填充以匹配网络的入射孔径。而在实验时，在入射平面使用铝箔来实现零透射率。

由$D^2\,NN$构建的分类器和成像器在参数设置上有所不同，如下表所示：

项目	分类器	成像器
Sigmoid function	0-π	0-2π
神经元大小	400 μm	300 μm
层数	5	5
层距	3cm	4mm
相邻层神经元连接数	8billion	~1/10*8billion
层尺寸	8cm×8cm	9cm×9cm
训练数据集	MNIST	ImageNet
训练epoch	10	50
训练batch	size	8
训练时长	8h	10h

Sigmoid function 是用来限制神经元的相位大小。神经元越小，同一层中神经元的个数越多，相邻层神经元之间的连接也越多，可以实现越复杂的任务；而神经元的尺寸与3D打印技术有关。最大衍射半角由照明光源波长与空间频率决定：


对于成像器，其图像所含特征尺寸大，对应的衍射角小；此外其层距相对较小（4mm），因而其神经元连接数也较分类器少。

实验装置如上图所示。一个大小为16dBm、频率为11.11GHz正弦信号作为RF输入信号，经AMC放大26倍，成为频率为0.4THz的连续电磁波，电调制频率为1KHz。照明光束为高斯型，光束通过物体并进入神经网络，最后被输出面上的单信号探测器检测。

实验所用的数据集为经3D打印的MNIST数据集。其中，MNIST手写数字集，经上采样、二值化后打印。这里，只需要使用振幅通道即可，即把打印的数字镀上铝箔，这样光透过率为0。而MNIST时尚物件数据集，由于其所含物体更为复杂，因而需要将其在相位通道编码，灰度值对应0-2π的相位，振幅相同。

六.$D^2\,NN$实现分类器和成像器

分类器：实现对MNIST数据集中数字或时尚物件的分类。数字分类器如下图所示。待检测数字被编码为输入信号的振幅大小，有数字的区域振幅为0。信号经$D^2\,NN$后，映射到10个探测器区域，分别对应10个数字。分类器输入数字及输出结果如下图所示。使用5层衍射层，网络的正确率为91.75%；如在5层网络的基础上，保持这5层结构不变，再增加两层，正确率提高到93.39%。此外，从实验结果来看，使用complex-valued调制（同时使用相位和振幅）比phase-only调制能实现更高的正确率。另外，增加网络深度（即增加网络层数），或增加层间距（即增加层与层之间连接神经元个数），也可以提高网络性能。

成像器：实现放大率为1的成像系统。该网络使用ImageNet数据库进行训练。如下图S6所示，$D^2\,NN$经训练后，可将信号在输出面的位置映射到与输入面相同的位置，这与信号在自由空间衍射的效果完全不同。实验结果如图S8所示。

七.$D^2\,NN$优点及未来可实现应用

这种全光实现的深度神经网络，由于其并行计算能力、低能耗特性，具有非常好的应用前景。$D^2\,NN$网络可以通过各种高产量、大面积的3D加工方式及大视场光学元件和检测系统实现。这允许我们低成本地实现千万、亿万的神经元数量，或是千亿的神经元连接。同时这项技术还可以迁移到其他应用如图像分析，特征检测和物体识别等等。作者列举了三个可能可以实现的应用：
1. 增强显微成像。利用$D^2\,NN$增强特定带宽的空间频率，提高获取图像的对比对；且只需将$D^2\,NN$放置在成像芯片顶端，可实现非常紧凑的芯片尺寸的显微镜。
2. 人脸识别。把$D^2\,NN$作为传感器设计的一部分，那么将不需要超百万像素的成像器。
3. 化学检测或药品成分检测。这是针对光谱THz部分的应用。

文中不明确的地方：
作者在补充材料的Comparison with standard deep neural networks中第三点提出网络神经元接收域的问题，训练结果也有体现，但是在网络训练优化中并未体现这一点。不清楚具体在网络训练时如何处理这个问题。