矩阵特征值分解与奇异值分解含义解析及应用
此文有一半转载自他出,主要在这进行个整理,具体内容文中都有相关的转载链接。
特征值与特征向量的几何意义
矩阵的乘法是什么,别只告诉我只是“前一个矩阵的行乘以后一个矩阵的列”,还会一点的可能还会说“前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数才能相乘”,然而,这里却会和你说——那都是表象。
矩阵乘法真正的含义是变换,我们学《线性代数》一开始就学行变换列变换,那才是线代的核心——别会了点猫腻就忘了本——对,矩阵乘法 就是线性变换,若以其中一个向量A为中心,则B的作用主要是使A发生如下变化:
伸缩
clf; A = [0, 1, 1, 0, 0;...1, 1, 0, 0, 1]; % 原空间 B = [3 0; 0 2]; % 线性变换矩阵plot(A(1,:),A(2,:), '-*');hold on grid on;axis([0 3 0 3]); gtext('变换前');Y = B * A;plot(Y(1,:),Y(2,:), '-r*'); grid on;axis([0 3 0 3]); gtext('变换后');
从上图可知,y方向进行了2倍的拉伸,x方向进行了3倍的拉伸,这就是B=[3 0; 0 2]的功劳,3和2就是伸缩比例。请注意,这时B除了对角线元素为各个维度的倍数外,非正对角线元素都为0,因为下面将要看到,对角线元素非0则将会发生切变及旋转的效果。
切变
clf; A = [0, 1, 1, 0, 0;...1, 1, 0, 0, 1]; % 原空间 B1 = [1 0; 1 1]; % 线性变换矩阵 B2 = [1 0; -1 1]; % 线性变换矩阵 B3 = [1 1; 0 1]; % 线性变换矩阵 B4 = [1 -1; 0 1]; % 线性变换矩阵Y1 = B1 * A; Y2 = B2 * A; Y3 = B3 * A; Y4 = B4 * A;subplot(2,2,1); plot(A(1,:),A(2,:), '-*'); hold on;plot(Y1(1,:),Y1(2,:), '-r*'); grid on;axis([-1 3 -1 3]); subplot(2,2,2); plot(A(1,:),A(2,:), '-*'); hold on;plot(Y2(1,:),Y2(2,:), '-r*'); grid on;axis([-1 3 -1 3]); subplot(2,2,3); plot(A(1,:),A(2,:), '-*'); hold on;plot(Y3(1,:),Y3(2,:), '-r*'); grid on;axis([-1 3 -1 3]); subplot(2,2,4); plot(A(1,:),A(2,:), '-*'); hold on;plot(Y4(1,:),Y4(2,:), '-r*'); grid on;axis([-1 3 -1 3]);
旋转
所有的变换其实都可以通过上面的伸缩和切变变换的到,如果合理地对变换矩阵B取值,能得到图形旋转的效果,如下,
clf; A = [0, 1, 1, 0, 0;...1, 1, 0, 0, 1]; % 原空间 theta = pi/6; B = [cos(theta) sin(theta); -sin(theta) cos(theta)]; Y = B * A; figure; plot(A(1,:),A(2,:), '-*'); hold on;plot(Y(1,:),Y(2,:), '-r*'); grid on;axis([-1 3 -1 3]);
好,关于矩阵乘就这些了。那么,我们接着就进入主题了,对特定的向量,经过一种方阵变换,经过该变换后,向量的方向不变(或只是反向),而只是进行伸缩变化(伸缩值可以是负值,相当于向量的方向反向)?这个时候我们不妨将书上对特征向量的定义对照一遍:
数学教材定义: 设A是n阶方阵,如果存在 λ 和n维非零向量X,使 ,则 λ 称为方阵A的一个特征值,X为方阵A对应于或属于特征值 λ 的一个特征向量。
上面特定的向量不就是特征向量吗? λ 不就是那个伸缩的倍数吗?因此,特征向量的代数上含义是:将矩阵乘法转换为数乘操作;特征向量的几何含义是:特征向量通过方阵A变换只进行伸缩,而保持特征向量的方向不变。特征值表示的是这个特征到底有多重要,类似于权重,而特征向量在几何上就是一个点,从原点到该点的方向表示向量的方向。
特征向量有一个重要的性质:同一特征值的任意多个特征向量的线性组合仍然是A属于同一特征值的特征向量。关于特征值,网上有一段关于“特征值是震动的谱”的解释:
戏说在朝代宋的时候,我国就与发现矩阵特征值理论的机会擦肩而过。话说没有出息的秦少游在往池塘里扔了一颗小石头后,刚得到一句“投石冲开水底天”的泡妞诗对之后,就猴急猴急地去洞房了,全然没有想到水波中隐含着矩阵的特征值及特征向量的科学大道理。大概地说,水面附近的任一点水珠在原处上下振动(实际上在做近似圆周运动),并没有随着波浪向外圈移动,同时这些上下振动的水珠的幅度在渐渐变小,直至趋于平静。在由某块有着特定质量和形状的石头被以某种角度和速度投入某个面积和深度特定的水池中所决定的某个矩阵中,纹波荡漾中水珠的渐变过程中其特征值起着决定性的作用,它决定着水珠振动的频率和幅度减弱的衰退率。
在理解关于振动的特征值和特征向量的过程中,需要加入复向量和复矩阵的概念,因为在实际应用中,实向量和实矩阵是干不了多少事的。机械振动和电振动有频谱,振动的某个频率具有某个幅度;那么矩阵也有矩阵的谱,矩阵的谱就是矩阵特征值的概念,是矩阵所固有的特性,所有的特征值形成了矩阵的一个频谱,每个特征值是矩阵的一个“谐振频点”。
美国数学家斯特让(G..Strang)在其经典教材《线性代数及其应用》中这样介绍了特征值作为频率的物理意义,他说:
大概最简单的例子(我从不相信其真实性,虽然据说1831年有一桥梁毁于此因)是一对士兵通过桥梁的例子。传统上,他们要停止齐步前进而要散步通过。这个理由是因为他们可能以等于桥的特征值之一的频率齐步行进,从而将发生共振。就像孩子的秋千那样,你一旦注意到一个秋千的频率,和此频率相配,你就使频率荡得更高。一个工程师总是试图使他的桥梁或他的火箭的自然频率远离风的频率或液体燃料的频率;而在另一种极端情况,一个证券经纪人则尽毕生精力于努力到达市场的自然频率线。特征值是几乎任何一个动力系统的最重要的特征。
其实,这个矩阵之所以能形成“频率的谱”,就是因为矩阵在特征向量所指的方向上具有对向量产生恒定的变换作用:增强(或减弱)特征向量的作用。进一步的,如果矩阵持续地叠代作用于向量,那么特征向量的就会凸现出来。
更多关于特征向量及特征值的实际例子参见Wikipedia: http://zh.wikipedia.org/wiki/特征向量 。
特征值分解
设A有n个特征值及特征向量,则:
将上面的写到一起成矩阵形式:
若(x1,x2,...,xn)可逆,则左右两边都求逆,则方阵A可直接通过特征值和特征向量进行唯一的表示,令
Q=(x1,x2,...,xn)
Σ = diag(λ1, λ2, ..., λn)
则 ,该表达式称为方阵的特征值分解,这样方阵A就被特征值和特征向量唯一表示。
一个变换方阵的所有特征向量组成了这个变换矩阵的一组基。所谓基,可以理解为坐标系的轴。我们平常用到的大多是直角坐标系,在线性代数中可以把这个坐标系扭曲、拉伸、旋转,称为基变换。我们可以按需求去设定基,但是基的轴之间必须是线性无关的,也就是保证坐标系的不同轴不要指向同一个方向或可以被别的轴组合而成,否则的话原来的空间就“撑”不起来了。从线性空间的角度看,在一个定义了内积的线性空间里,对一个N阶对称方阵进行特征分解,就是产生了该空间的N个标准正交基,然后把矩阵投影到这N个基上。N个特征向量就是N个标准正交基,而特征值的模则代表矩阵在每个基上的投影长度。特征值越大,说明矩阵在对应的特征向量上的方差越大,功率越大,信息量越多。不过,特征值分解也有很多的局限,比如说变换的矩阵必须是方阵。
在机器学习特征提取中,意思就是最大特征值对应的特征向量方向上包含最多的信息量,如果某几个特征值很小,说明这几个方向信息量很小,可以用来降维,也就是删除小特征值对应方向的数据,只保留大特征值方向对应的数据,这样做以后数据量减小,但有用信息量变化不大,PCA降维就是基于这种思路。
Matlab中通过eig函数就可求得特征值和特征向量矩阵。
>> B = [ 3 -2 -.9 2*eps-2 4 1 -eps-eps/4 eps/2 -1 0-.5 -.5 .1 1 ]
B =3.0000 -2.0000 -0.9000 0.0000-2.0000 4.0000 1.0000 -0.0000-0.0000 0.0000 -1.0000 0-0.5000 -0.5000 0.1000 1.0000>> [V D] = eig(B)
V =0.6153 -0.4176 -0.0000 -0.1437-0.7881 -0.3261 -0.0000 0.1264-0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.91960.0189 0.8481 1.0000 0.3432
D =5.5616 0 0 00 1.4384 0 00 0 1.0000 00 0 0 -1.0000
D对角线的元素即为特征值(表示了伸缩的比例),D就是特征值分解公式中的Q,V的每一列与D没列对应,表示对应的特征向量,即特征值分解中的Σ。
奇异值分解
特征值分解是一个提取矩阵特征很不错的方法,但是它只适用于方阵。而在现实的世界中,我们看到的大部分矩阵都不是方阵,比如说有M个学生,每个学生有N科成绩,这样形成的一个M * N的矩阵就可能不是方阵,我们怎样才能像描述特征值一样描述这样一般矩阵呢的重要特征呢?奇异值分解就是用来干这个事的,奇异值分解是一个能适用于任意的矩阵的一种分解的方法。我们有必要先说说特征值和奇异值之间的关系。
对于特征值分解公式, ATA 是方阵,我们求 ATA 的特征值,即 ,此时求得的特征值就对应奇异值的平方,求得的特征向量v称为右奇异向量,另外还可以得到:
所求的ui就是左奇异向量, σi 就是奇异值。已有人对SVD的几何机理做了清晰的分析,非常受用,就不重复造轮子,下文为转载自http://blog.sciencenet.cn/blog-696950-699432.html 。
SVD之所以很有效,是因为:在很多情况下,前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上了。在这里,我们用图像简单的实践一下SVD的大妙处,下面是matlab对图像进行SVD分解的例子,
I = imread('lena_gray.bmp'); % 512x512的Lena图像
im = double(I);
[s,v,d]=svd(im); % svd分解,svd分解后特征值v对角线按从大到小排列,因此可以选择特征值大的进行恢复
recv1=s(:,1:20)*v(1:20,1:50)*d(:,1:50)'; % svd取最高的100个特征值进行恢复
recv2=s(:,1:50)*v(1:50,1:100)*d(:,1:100)'; % svd取最高的100个特征值进行恢复
recv3=s(:,1:200)*v(1:200,1:200)*d(:,1:200)'; % svd取最高的100个特征值进行恢复subplot(221);imshow(I);
title('原图');
subplot(222);imshow(mat2gray(recv1));
title('恢复:左奇异20、右奇异50');
subplot(223);imshow(mat2gray(recv2));
title('恢复:左奇异50、右奇异100');
subplot(224);imshow(mat2gray(recv3));
title('恢复:左奇异200、右奇异200');
如果按左下角的方式压缩原图,则存储量变为:50x50+100x100+50=12500,而存储原图像的存储量为512x512=262144,则压缩比为262144/12500=20.97,这里没有考虑存储数据类型的差异。
SVD分解相对于特征值分解的优势就是:
- 分解的矩阵可以是任意矩阵
- 在恢复信号的时候左右奇异值可以选择不同的维度
另外值得注意的一点:不论是奇异值分解还是特征值分解,分解出来的特征向量都是正交的。
奇异值分解与PCA
关于奇异值与PCA的关系, http://www.cnblogs.com/LeftNotEasy/archive/2011/01/19/svd-and-applications.html 给了很好的解释,也直接整理过来,感谢原作者:
PCA就是一种用于对数据进行降维的方法(降维肯定会丢失数据,只不过能在减少大量存储量的同时损失尽可能少),参见之前matlab对图像进行SVD分解的例子,更容易理解:实现了SVD就实现了PCA,PCA仅是SVD的包装。
PCA的应用很广,主要用在机器学习中对特征进行降维,还能用于去噪,下面两图是PCA降维和PCA去噪的例子(图片来自邹博PPT:北京9月秋季班·机器学习初步)
降维说白了就是将信息通过投影到更低得多维度,这样必然会带来信息的丢失,但就如上图,这种信息的丢失却有时对分类没有影响,反而能降低识别算法的维度,提高速度,缓解所谓的维度灾难。
PCA去噪的前提是噪声的特征值会比信号的特征值小,即信噪比高的情况,否则PCA去噪会产生逆效果——把信号去掉了而噪声没去掉。
SVD其它
SVD还有其它很多方面的应用,通过查找资料,这里先做个简单的罗列,有机会再一个个研究:
- 求伪逆。我们知道,矩阵求逆要求矩阵必须是方阵,SVD可以用来求任意矩阵的逆运算,求任意矩阵的逆矩阵称为求伪逆
- 最小二乘法求解。凭着对《矩阵论》的零星的记忆,SVD算法就是因为能求伪逆所以用来求解最小二乘法。
- 基于SVD的文本分类。首先接触是从吴军老师的《数学之美》一书上看到的,大致是:通过TF/IDF(term frequency/inverse document frequency)构建“一百万篇文章和五十万词的关联性”的矩阵 A1000000x500000 ,然后对A矩阵使用SVD分解之后,存储量减小,而且左奇异值矩阵和右奇异值矩阵以及奇异值矩阵的物理含义将非常明晰,http://blog.csdn.net/wangzhiqing3/article/details/7431276 有简单介绍,更多参见吴军老师的《数学之美》
另外,开源视觉库OpenCV中也提供SVD分解的算法。
参考
- 强大的矩阵奇异值分解(SVD)及其应用
- http://blog.sciencenet.cn/blog-696950-699432.html ,关于SVD部分的讲解即出自此处。
- http://www.cise.ufl.edu/~srajaman/Rajamanickam_S.pdf
- July培训班PPT:“北京9月秋季班:贝叶斯、PCA、SVD”.
- 戴华编著《矩阵论》 教材,科学出版社. 有时候明白一点之后再回头参考数学教材要比网上大把的抓好得多,豁然开朗。
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原标题:【原油贵金属周评】伊朗局势升温,黄金多头跃跃欲试美国和伊朗的局势继续升温,市场风险情绪上升,避险黄金有向上突破阻力的迹象。原油方面稍显平稳,近期美国和OPEC加大供给及市场需求回落的影响,伊朗局势并未推升油价走强。近期中美贸易谈判摩擦再度升级,美国对中…...
2024/4/26 16:00:35 - 【原油贵金属早评】市场情绪继续恶化,黄金上破
原标题:【原油贵金属早评】市场情绪继续恶化,黄金上破周初中国针对于美国加征关税的进行的反制措施引发市场情绪的大幅波动,人民币汇率出现大幅的贬值动能,金融市场受到非常明显的冲击。尤其是波动率起来之后,对于股市的表现尤其不安。隔夜美国股市出现明显的下行走势,这…...
2024/4/25 18:39:16 - 【外汇早评】美伊僵持,风险情绪继续升温
原标题:【外汇早评】美伊僵持,风险情绪继续升温昨日沙特两艘油轮再次发生爆炸事件,导致波斯湾局势进一步恶化,市场担忧美伊可能会出现摩擦生火,避险品种获得支撑,黄金和日元大幅走强。美指受中美贸易问题影响而在低位震荡。继5月12日,四艘商船在阿联酋领海附近的阿曼湾、…...
2024/4/25 18:39:16 - 【原油贵金属早评】贸易冲突导致需求低迷,油价弱势
原标题:【原油贵金属早评】贸易冲突导致需求低迷,油价弱势近日虽然伊朗局势升温,中东地区几起油船被袭击事件影响,但油价并未走高,而是出于调整结构中。由于市场预期局势失控的可能性较低,而中美贸易问题导致的全球经济衰退风险更大,需求会持续低迷,因此油价调整压力较…...
2024/4/26 19:03:37 - 氧生福地 玩美北湖(上)——为时光守候两千年
原标题:氧生福地 玩美北湖(上)——为时光守候两千年一次说走就走的旅行,只有一张高铁票的距离~ 所以,湖南郴州,我来了~ 从广州南站出发,一个半小时就到达郴州西站了。在动车上,同时改票的南风兄和我居然被分到了一个车厢,所以一路非常愉快地聊了过来。 挺好,最起…...
2024/4/26 22:01:59 - 氧生福地 玩美北湖(中)——永春梯田里的美与鲜
原标题:氧生福地 玩美北湖(中)——永春梯田里的美与鲜一觉醒来,因为大家太爱“美”照,在柳毅山庄去寻找龙女而错过了早餐时间。近十点,向导坏坏还是带着饥肠辘辘的我们去吃郴州最富有盛名的“鱼头粉”。说这是“十二分推荐”,到郴州必吃的美食之一。 哇塞!那个味美香甜…...
2024/4/25 18:39:14 - 氧生福地 玩美北湖(下)——奔跑吧骚年!
原标题:氧生福地 玩美北湖(下)——奔跑吧骚年!让我们红尘做伴 活得潇潇洒洒 策马奔腾共享人世繁华 对酒当歌唱出心中喜悦 轰轰烈烈把握青春年华 让我们红尘做伴 活得潇潇洒洒 策马奔腾共享人世繁华 对酒当歌唱出心中喜悦 轰轰烈烈把握青春年华 啊……啊……啊 两…...
2024/4/25 18:39:12 - 扒开伪装医用面膜,翻六倍价格宰客,小姐姐注意了!
原标题:扒开伪装医用面膜,翻六倍价格宰客,小姐姐注意了!扒开伪装医用面膜,翻六倍价格宰客!当行业里的某一品项火爆了,就会有很多商家蹭热度,装逼忽悠,最近火爆朋友圈的医用面膜,被沾上了污点,到底怎么回事呢? “比普通面膜安全、效果好!痘痘、痘印、敏感肌都能用…...
2024/4/25 2:10:52 - 「发现」铁皮石斛仙草之神奇功效用于医用面膜
原标题:「发现」铁皮石斛仙草之神奇功效用于医用面膜丽彦妆铁皮石斛医用面膜|石斛多糖无菌修护补水贴19大优势: 1、铁皮石斛:自唐宋以来,一直被列为皇室贡品,铁皮石斛生于海拔1600米的悬崖峭壁之上,繁殖力差,产量极低,所以古代仅供皇室、贵族享用 2、铁皮石斛自古民间…...
2024/4/25 18:39:00 - 丽彦妆\医用面膜\冷敷贴轻奢医学护肤引导者
原标题:丽彦妆\医用面膜\冷敷贴轻奢医学护肤引导者【公司简介】 广州华彬企业隶属香港华彬集团有限公司,专注美业21年,其旗下品牌: 「圣茵美」私密荷尔蒙抗衰,产后修复 「圣仪轩」私密荷尔蒙抗衰,产后修复 「花茵莳」私密荷尔蒙抗衰,产后修复 「丽彦妆」专注医学护…...
2024/4/26 19:46:12 - 广州械字号面膜生产厂家OEM/ODM4项须知!
原标题:广州械字号面膜生产厂家OEM/ODM4项须知!广州械字号面膜生产厂家OEM/ODM流程及注意事项解读: 械字号医用面膜,其实在我国并没有严格的定义,通常我们说的医美面膜指的应该是一种「医用敷料」,也就是说,医用面膜其实算作「医疗器械」的一种,又称「医用冷敷贴」。 …...
2024/4/25 18:38:58 - 械字号医用眼膜缓解用眼过度到底有无作用?
原标题:械字号医用眼膜缓解用眼过度到底有无作用?医用眼膜/械字号眼膜/医用冷敷眼贴 凝胶层为亲水高分子材料,含70%以上的水分。体表皮肤温度传导到本产品的凝胶层,热量被凝胶内水分子吸收,通过水分的蒸发带走大量的热量,可迅速地降低体表皮肤局部温度,减轻局部皮肤的灼…...
2024/4/25 18:38:57 - 配置失败还原请勿关闭计算机,电脑开机屏幕上面显示,配置失败还原更改 请勿关闭计算机 开不了机 这个问题怎么办...
解析如下:1、长按电脑电源键直至关机,然后再按一次电源健重启电脑,按F8健进入安全模式2、安全模式下进入Windows系统桌面后,按住“winR”打开运行窗口,输入“services.msc”打开服务设置3、在服务界面,选中…...
2022/11/19 21:17:18 - 错误使用 reshape要执行 RESHAPE,请勿更改元素数目。
%读入6幅图像(每一幅图像的大小是564*564) f1 imread(WashingtonDC_Band1_564.tif); subplot(3,2,1),imshow(f1); f2 imread(WashingtonDC_Band2_564.tif); subplot(3,2,2),imshow(f2); f3 imread(WashingtonDC_Band3_564.tif); subplot(3,2,3),imsho…...
2022/11/19 21:17:16 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机...
win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”问题的解决方法在win7系统关机时如果有升级系统的或者其他需要会直接进入一个 等待界面,在等待界面中我们需要等待操作结束才能关机,虽然这比较麻烦,但是对系统进行配置和升级…...
2022/11/19 21:17:15 - 台式电脑显示配置100%请勿关闭计算机,“准备配置windows 请勿关闭计算机”的解决方法...
有不少用户在重装Win7系统或更新系统后会遇到“准备配置windows,请勿关闭计算机”的提示,要过很久才能进入系统,有的用户甚至几个小时也无法进入,下面就教大家这个问题的解决方法。第一种方法:我们首先在左下角的“开始…...
2022/11/19 21:17:14 - win7 正在配置 请勿关闭计算机,怎么办Win7开机显示正在配置Windows Update请勿关机...
置信有很多用户都跟小编一样遇到过这样的问题,电脑时发现开机屏幕显现“正在配置Windows Update,请勿关机”(如下图所示),而且还需求等大约5分钟才干进入系统。这是怎样回事呢?一切都是正常操作的,为什么开时机呈现“正…...
2022/11/19 21:17:13 - 准备配置windows 请勿关闭计算机 蓝屏,Win7开机总是出现提示“配置Windows请勿关机”...
Win7系统开机启动时总是出现“配置Windows请勿关机”的提示,没过几秒后电脑自动重启,每次开机都这样无法进入系统,此时碰到这种现象的用户就可以使用以下5种方法解决问题。方法一:开机按下F8,在出现的Windows高级启动选…...
2022/11/19 21:17:12 - 准备windows请勿关闭计算机要多久,windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机怎么办...
有不少windows10系统用户反映说碰到这样一个情况,就是电脑提示正在准备windows请勿关闭计算机,碰到这样的问题该怎么解决呢,现在小编就给大家分享一下windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机的具体第一种方法:1、2、依次…...
2022/11/19 21:17:11 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...
今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后,每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面,提示请勿关闭计算机”,每次停留好几分钟才能正常关机,导致什么情况引起的呢?出现配置Windows Update…...
2022/11/19 21:17:10 - 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...
只能是等着,别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚,只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一:管理员运行cmd:net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57