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（098.空间直角坐标系 ~ 140.重积分的应用2）

目录

7.1 空间直角坐标系

7.2 向量及其线性运算

7.2.1 向量

7.2.2 向量的线性运算

加减（三角形法则、四边形法则）

数乘（长度的伸缩）（单位向量，标准正交基）

共线、共面

7.3 向量的数量积和向量积

7.3.1 向量的数量积（内积）

向量的夹角cos(a, b)、投影

标准正交基和方向余弦

7.3.2 向量的向量积（外积）

几何意义（平行四边形的面积）

7.3.3 向量的混合积

几何意义（平行六面体的体积）

7.4 平面与直线

7.4.1 平面

点法式方程

一般方程

标准方程

三点式方程

7.4.2 直线

标准方程

参数方程

一般方程

平面束方程（过同一直线的平面集合）

7.4.3 平面、直线和点的位置关系

点到平面的距离

两平面间的夹角

两直线的夹角及共面

直线与平面的夹角

7.5 曲面与曲线

7.5.1 空间曲面

7.5.2 二次曲面

椭球面

单叶双曲面

双叶双曲面

椭圆抛物面

双曲抛物面（马鞍面）

7.5.3 柱面、旋转面和锥面

柱面

旋转面

锥面

7.5.4 空间曲线

一般方程

参数方程

7.5.5 空间曲线在坐标面的投影

7.5.6 曲面的参数方程（双参数）

8.1 多元函数的基本概念

8.1.1 平面点集

领域

开集与区域

8.1.2 多元函数

二元函数的图形

8.2 多元函数的极限与连续

8.2.1 二元函数的极限

8.2.2 二元函数的连续性

8.3 偏导数

8.3.1 偏导数的概念

二元函数的偏导数求法

连续与可偏导的关系

8.3.2 二元函数偏导的几何意义

8.3.3 高阶偏导数

拉普拉斯方程

混合偏导数不是总是与求导次序无关（连续则无关）

8.4 全微分

8.4.1 全微分的定义

可微与连续及可偏导的关系

全微分的几何意义（用平面去近似曲面）

8.4.2 全微分的应用

近似计算

8.5多元复合函数的微分法

8.5.1 复合函数的偏导数

链法则

8.5.2 隐函数的偏导数

隐函数组及其偏导数

8.5.3 一阶全微分形式的不变性

8.6 方向导数与梯度

8.6.1 方向导数

充分条件和计算公式

8.6.2 梯度

8.7 多元微分学在几何中的应用

8.7.1 空间曲线的切线及法平面

方程

8.7.2 曲面的且平面与法线

方程

8.8 多元函数的极值

8.8.1 二元函数的Taylor公式

8.8.2 多元函数的极值

二元函数极值

极值的必要条件

极值的充分条件

最值问题

8.9 条件极值——lagrange乘数法

9.1 二重积分的概念和性质

9.1.1 典型例子

平面薄板的质量

曲顶柱体的体积

9.1.2 二重积分定义

9.1.3 二重积分的性质

9.2 二重积分的计算

9.2.1 直角坐标系下的计算

9.2.2 极坐标系下的计算公式

9.2.3 二重积分的变量代换

9.3 三重积分

9.3.1 定义

9.3.2 在直角坐标系下的计算公式

柱线法

截面法

9.3.3 三重积分的变量代换

柱面坐标系下的三重积分

球面坐标系下的三重积分

9.4 重积分的应用

9.4.1 曲面面积

9.4.2 重积分的物理应用举例

质心

7.1 空间直角坐标系

7.2 向量及其线性运算

7.2.1 向量

• 向量：不仅有数值大小，还有方向
• 几何表示：不唯一
• 向量的模或长度：单位向量，零向量
• 向量的坐标：

7.2.2 向量的线性运算

加减（三角形法则、四边形法则）

数乘（长度的伸缩）（单位向量，标准正交基）

共线、共面

7.3 向量的数量积和向量积

7.3.1 向量的数量积（内积）

向量的夹角cos(a, b)、投影

标准正交基和方向余弦

7.3.2 向量的向量积（外积）

几何意义（平行四边形的面积）

7.3.3 向量的混合积

几何意义（平行六面体的体积）

7.4 平面与直线

7.4.1 平面

点法式方程

一般方程

标准方程

三点式方程

7.4.2 直线

标准方程

参数方程

一般方程

平面束方程（过同一直线的平面集合）

7.4.3 平面、直线和点的位置关系

点到平面的距离

两平面间的夹角

两直线的夹角及共面

直线与平面的夹角

7.5 曲面与曲线

7.5.1 空间曲面

7.5.2 二次曲面

椭球面

单叶双曲面

双叶双曲面

椭圆抛物面

双曲抛物面（马鞍面）

7.5.3 柱面、旋转面和锥面

柱面

旋转面

锥面

7.5.4 空间曲线

一般方程

参数方程

7.5.5 空间曲线在坐标面的投影

7.5.6 曲面的参数方程（双参数）

8.1 多元函数的基本概念

8.1.1 平面点集

领域

开集与区域

8.1.2 多元函数

二元函数的图形

8.2 多元函数的极限与连续

8.2.1 二元函数的极限

8.2.2 二元函数的连续性

8.3 偏导数

8.3.1 偏导数的概念

二元函数的偏导数求法

连续与可偏导的关系

• 可偏导未必连续
• 连续未必可偏导

8.3.2 二元函数偏导的几何意义

8.3.3 高阶偏导数

拉普拉斯方程

混合偏导数不是总是与求导次序无关（连续则无关）

8.4 全微分

8.4.1 全微分的定义

可微与连续及可偏导的关系

• 可微必连续
• 可微必可偏导
• 有连续偏导数则可微

全微分的几何意义（用平面去近似曲面）

8.4.2 全微分的应用

近似计算

8.5多元复合函数的微分法

8.5.1 复合函数的偏导数

链法则

8.5.2 隐函数的偏导数

隐函数组及其偏导数

8.5.3 一阶全微分形式的不变性

8.6 方向导数与梯度

8.6.1 方向导数

充分条件和计算公式

8.6.2 梯度

8.7 多元微分学在几何中的应用

8.7.1 空间曲线的切线及法平面

方程

8.7.2 曲面的且平面与法线

方程

8.8 多元函数的极值

8.8.1 二元函数的Taylor公式

8.8.2 多元函数的极值

二元函数极值

极值的必要条件

极值的充分条件

最值问题

8.9 条件极值——lagrange乘数法

9.1 二重积分的概念和性质

9.1.1 典型例子

平面薄板的质量

曲顶柱体的体积

9.1.2 二重积分定义

9.1.3 二重积分的性质

• 线性
• 可加性（区域的可加性）
• 单调性
• 中值定理

9.2 二重积分的计算

9.2.1 直角坐标系下的计算

9.2.2 极坐标系下的计算公式

9.2.3 二重积分的变量代换

9.3 三重积分

9.3.1 定义

9.3.2 在直角坐标系下的计算公式

柱线法

截面法

9.3.3 三重积分的变量代换

柱面坐标系下的三重积分

球面坐标系下的三重积分

9.4 重积分的应用

9.4.1 曲面面积

9.4.2 重积分的物理应用举例

质心