本节书摘来自华章出版社《 线性代数及其应用 （原书第4版）》一书中的第1章，第1.10节，作者:（美）戴维C. 雷（David C. Lay）马里兰大学帕克学院 著刘深泉 张万芹 陈玉珍 包乐娥 陆 博 译，更多章节内容可以访问云栖社区“华章计算机”公众号查看

1.10 经济学、科学和工程中的线性模型

本节中的数学模型是线性的，也就是说，借助线性方程（通常利用向量或矩阵形式）来描述一个问题，第一个模型讨论营养，实际上代表线性规划问题的一般技术. 第二个模型来自电学. 第三个模型引进线性差分方程的概念，此概念是研究动力系统的有力工具，在工程、生态学、通信和管理科学中都有广泛应用. 线性模型的重要性在于当涉及的变量被保持在合理的范围时，自然现象通常是线性或接近线性的. 同时，线性模型比复杂的非线性模型更容易使用计算机来处理.
在阅读每一个模型时，注意线性模型如何体现所研究问题的相关性质.
构造有营养的减肥食谱
一种在20世纪80年代很流行的食谱，称为剑桥食谱，是经过多年研究编制出来的. 这是由Alan H. Howard博士领导的科学家团队经过8年对过度肥胖病人的临床研究 1，在剑桥大学完成的. 这种低热量的粉状食品精确地平衡了碳水化合物、高质量的蛋白质和脂肪、配合维生素、矿物质、微量元素和电解质. 近年来，数百万人应用这一食谱实现了快速和有效的减肥.
为得到所希望的数量和比例的营养，Howard博士在食谱中加入了多种食品. 每种食品供应了多种所需要的成分，然而没有按正确的比例. 例如，脱脂牛奶是蛋白质的主要来源但包含过多的钙，因此大豆粉用来作为蛋白质的来源，它包含较少量的钙. 然而，大豆粉包含过多的脂肪，因而加上乳清，因它含脂肪较少. 然而乳清又含有过多的碳水化合物……
下例说明这个问题小规模的情形. 表1-6是该食谱中的3种食物以及100克每种食物成分含有某些营养素的数量.

例1 求出脱脂牛奶、大豆粉和乳清的某种组合，使该食谱每天能供给表1-6中规定的蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量.
解 设 分别表示这些食物的数量（以100克为单位）. 导出方程的一种方法是对每种营养素分别列出方程. 例如，乘积

给出 单位脱脂牛奶供给的蛋白质. 类似地加上大豆粉和乳清所含蛋白质，就应该等于我们所需的蛋白质.类似的计算对每种成分都可进行.
更有效的方法（概念上更为简单）是考虑每种食物的“营养素向量”而建立向量方程. 单位的脱脂牛奶供给的营养素是下列标量乘法：
（1）

这里 是表1-6的第一列，设 和 分别为大豆粉和乳清的对应向量， b为表示所需要的营养素总量的向量（表中最后一列）. 则 和 分别给出由 单位大豆粉和 单位乳清给出的营养素，所以所需的方程为

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把对应的方程组的增广矩阵行变换得

精确到3位小数，该食谱需要0.277单位脱脂牛奶、0.392单位大豆粉、0.233单位乳清，这样就可供给所需要的蛋白质、碳水化合物与脂肪.
重要的是，求出的 的值是非负的，这使求出的解有实际意义.（你如何用-0.233单位乳清？）由于对许多营养素都有要求，可能使用多种食物，以得到有“非负解”的方程组. 因而为了得到这样的解，需要观察各种方程，事实上，剑桥食谱的制造者应用了33种食物来供给31种营养素.
由食谱构造问题产生线性方程（2），因为由食物供给的营养素可写成一个向量的数量倍，如（1）式所示. 即某种食物供给的营养素与加入到食谱中的此种食物的数量成比例，同时，混合物中的营养素是各种食物中营养素之和.
设计某种特殊的人类或牲畜的食谱问题是经常遇到的，我们构造向量方程的方法常常可以使这些问题的求解得到简化.
线性方程与电路网络
电路网络中的电流可由线性方程组描述. 电源，例如电池，促使电荷在网络中流动. 当电流通过电阻（例如灯泡、电动机等），一部分电压被“用掉”；由欧姆定律，这种“电压降”等于

这里V以伏特量度，电阻R以欧姆量度（用表示），电流I用安培表示（简写为amps）.
图1-47中的网络包含3条闭通路，在回路1，2，3中流过的电流分别用 表示. 回路电流的指定方向是任意取定的，若某一电流求出来是负值，表示实际电流方向与图所选择的方向相反，若所示的电流方向是由电池()的正极（长边）指向负极（短边），电压为正，否则电压为负.

回路中电流服从下列定律.
基尔霍夫电压定律
围绕一条回路同一方向的电压降 的代数和等于围绕该回路的同一方向电动势的代数和.
例2 确定图1-47中网络中的回路电流.
解 对回路1，电流 通过3个电阻，总电压降

回路2的电流流过回路1的一部分，即A 与B 之间的短分支，对应的 RI电压降为 伏特，然而，回路1中分支AB 之间的电流方向与回路2中该分支的电流方向相反，因此回路1中总的 电压降为 .因回路1中的电动势为+30 伏特，基尔霍夫电压定律给出

对回路2，方程为

项 来自回路1通过分支 AB（电流方向与回路2的电流方向相反）的电流，项 是回路2中所有电阻的和乘以回路电流. 项 是由回路3的电流通过CD 分支1欧姆电阻引起的，与回路2电流方向相反. 回路3的方程为

注意分支 CD上的5伏特电池同时属于回路2与回路3，但对回路3，它是-5伏特，因它的方向与回路3所选择的方向相反.
所以这些电流可由解下列方程组得出
（3）
对增广矩阵作行变换的解为 安培， 安培， 安培， 的负值表示回路3的实际方向与图1-47中所示相反.
把方程组（3）看作向量方程是有启发性的：
（4）
每个向量的第一个元素是在第一个回路中的电阻，类似地第二个、第三个元素分别是在第二、第三个回路中的电阻. 第一个电阻向量 列出各个回路中电流 流过的电阻. 当 流过该电阻的方向与另一回路方向相反时，该电阻取负号. 观察图1-47，看看如何写出 中的元素；然后同样写出 .（4）的矩阵形式，

给出欧姆定律的矩阵形式. 若所有回路电流都选取同一方向，则 的非主对角线元素全部都是负值.
矩阵方程 ,表明这个模型的线性，例如，若电动势向量加倍，则电流向量也加倍；同时，叠加原理也成立. 即方程（4）的解是下列方程的解的和

这三个方程中的每一个对应回路仅包含一个电动势的网络（其他电源代以封闭该回路的导线）. 电流模型是线性的，这是因为欧姆定律与基尔霍夫定律都是线性的；通过某一电阻的电压降与通过它的电流成正比（欧姆定律），而回路中的电压降的和等于回路中电动势的和（基尔霍夫定律）.
网络中回路电流可以决定电路中每一个分支通过的电流. 若仅有一回路电流通过该分支，如图1-47中从B 到 D的分支，则通过该分支的电流等于回路电流. 若有多个回路电流通过该分支，如从A 到 B的分支，则通过该分支的电流是各回路电流的代数和（基尔霍夫电流定律）. 例如，通过分支AB 的电流为 安培，方向与 相同，分支CD 中的电流为 安培.
差分方程
在生态学、经济学和工程技术等领域中，需要研究随时间变化的动力系统，这种系统通常在离散的时刻测量，得到一个向量序列 . 向量 的各个元素给出该系统在第k次测量中的状态的信息.
如果有矩阵A 使 一般地，

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则（5）式称为线性差分方程（或递归关系）. 给定这样一种关系，我们可由已知的 计算 等等. 4.8节与4.9节以及第5章的若干节，将推导求 的公式，并确定 k无限增大时 的变化情况. 下列的讨论说明导致差分方程问题产生的原因.
地理学家对人口的迁移很有兴趣. 这里我们考虑人口在某一城市与它的周边地区之间迁移的简单模型.
固定一个初始年，例如说，2000年，用 和 分别表示该年城市和郊区的人口数. 令 表示人口向量

对2001年与以后各年，把人口向量表示为

我们的目的是在数学上表示出这些向量的关系.
设人口统计学的研究说明每年约有5%的城市人口移居郊区（其他95%留在城市），而3%的郊区人口移居城市（其他97%留在郊区）. 见图1-48.

图1-48 每年城市与郊区迁移的百分比
一年后，原来城市中的人口 在城市和郊区的分布为
（6）
郊区2000年的人口 一年后的分配为
（7）
向量（6）和（7）组成2001年的全部人口 1，因为

即

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这里 是移民矩阵，由下表确定：

方程（8）表示人口由2000年到2001年的变化. 若移民比例保持常数，则由2000年到2001年的改变为

由2002年到2003年以及以后的各年的变化都是类似的. 一般地
（9）
向量序列 描述了若干年中城市、郊区人口变化的状况.
例3 设2000年城市人口为600 000，郊区人口为400 000人，求上述区域2001年和2002年的人口.
解 2000年的人口为 ，对2001年，

对2002年，

式（9）的人口迁移模型是线性的，因为对应 是线性变换. 这依赖于两个事实：从一个地区迁往另一个地区的人口与该地区原有的人口成正比，如（6）式和（7）式所示，而这些人口迁移选择的累积效果是不同区域的人口迁移的叠加.
练习题
求出矩阵 A以及向量 x和 b，使例1中的问题成为解方程Ax=b .
习题1.10





补充习题