《线性代数及其应用》阅读笔记:一 1.5 线性方程组的解集
《线性代数及其应用》阅读笔记:一 1.5 线性方程组的解集
文章目录
- 《线性代数及其应用》阅读笔记:一 1.5 线性方程组的解集
- 一、 齐次线性方程组
- 1.1. 定义
- 1.2. 解集的存在性
- 1.3. 求解步骤
- 1.4. 解集的性质
- 二、非齐次线性方程组
- 2.1. 定义
- 2.2. 解集的存在性
- 2.3. 求解步骤
- 2.4. 解集的性质
一、 齐次线性方程组
1.1. 定义
齐次线性方程组:常数项全为零的线性方程组。
形如:
写做:,其系数矩阵为A- m*n.
经过初等行变换,系数矩阵A化简到行阶梯形矩阵为:(非零行行数).
1.2. 解集的存在性
1- 齐次线性方程组 解的构成: |
---|
1)平凡解/零解:. |
2)非平凡解/非零解:当至少有一个自由变量时。自由变量的变化带来其他变量值的变化。 |
2- 齐次线性方程组 解的情况: |
---|
1)唯一解:即只有平凡解 . |
2)无穷解:包括平凡解和非平凡解,此时中至少有一个自由变量。 |
- 齐次线性方程组一定有解- 必有零解,不存在无解的情况。 |
1.3. 求解步骤
- | 齐次线性方程组的求解步骤 |
---|---|
1. | 系数矩阵A 初等行变换, 化为行阶梯形矩阵A’; |
2. | - 若r(A)=r=n(有效方程个数=未知量的个数),则原方程组仅有零解,即,求解结束; - 若r(A)=r<n(有效方程个数<未知量的个数),则原方程组有非零解,进行以下步骤: |
3. | 继续将系数矩阵A化为行最简形矩阵,并写出同解方程组; |
4. | 选取合适的自由未知量,并取相应的基本向量组,代入同解方程组,得到原方程组的基础解系,得到通解. |
1.4. 解集的性质
3- 齐次线性方程组 解的性质: | |
---|---|
1)唯一解 | 2)无穷解 |
未知数个数n(列)=有效方程个数r(行) | 未知数个数n(列)>方程个数m(行) |
rank(A)=n | rank(A)<n |
detA≠0/A≠0 | detA==0 |
两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。 | |
解的k倍仍然是齐次线性方程组的解。 |
二、非齐次线性方程组
2.1. 定义
非齐次线性方程组:常数项不全为零的线性方程组。
写做:,其系数矩阵为A- m*n.
经过初等行变换,系数矩阵A化简到行阶梯形矩阵为:(非零行行数).
[PS:r(A)表示系数矩阵的秩,r(A,b)表示增广矩阵的秩]
2.2. 解集的存在性
1- 非齐次线性方程组 的通解: |
---|
, 其中,是特解,是齐次线性方程组的解。 |
理解:非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解(η=ζ+η*) |
几何意义:通过 且与 平行的直线方程。 |
2- 非齐次线性方程组 解的存在性: |
---|
1)唯一解:即只有平凡解 。 |
2)无穷解:解 中至少有一个自由变量。 |
3)无解。 |
2.3. 求解步骤
- | 非齐次线性方程组的求解步骤 |
---|---|
1. | 增广矩阵(A,b) 初等行变换, 化为行阶梯形矩阵(A,b)’; |
2. | - 若r(A)<r(A,b),则方程组无解; - 若r(A)=r(A,b),则原方程组有解,进一步将增广矩阵化为行最简形; |
3. | - 若r(A)=n,则方程组有唯一解; - 若r(A)<n,则方程组有无穷解,进行以下步骤: |
4. | 选取合适的自由未知量,并取相应的基本向量组,代入同解方程组,得到原方程组的基础解系,得到通解. |
2.4. 解集的性质
3- 非齐次线性方程组 解的性质: | |
---|---|
1)无解 | 2)有解 |
系数矩阵的秩<增广矩阵的秩 | 系数矩阵的秩=增广矩阵的秩 |
r(A)<r(A,b) | r(A)=r(A,b) |
出现形如‘{0=b}’的方程 | 不存在‘0=b’ |
4- 非齐次线性方程组 有解时 的性质: | |
---|---|
1)唯一解 | 2)无穷解 |
未知数个数n(列)=有效方程个数r(行) | 未知数个数n(列)>化简后有效方程个数r(行) |
r(A)=r(A,b)=n | r(A)=r(A,b)<n |
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2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57