关键字：数学模型，概率论与数理统计，运筹学，排队论和随机服务问题
摘　要：本文介绍了概率论中的排队论与随机服务问题的基本知识。以饭店在单位时间内到达的顾客和设置的位席做分析目标，采用数学建模的方法介绍排队论和随机服务问题的解题过程。通过此案例阐述排队论在生产生活中的应用。
1        相关学科简介
1.1    运筹学的起源
现代运筹学的起源可以追溯到几十年前，在某些组织的管理中最先试用科学手段的时候。可是，现在普遍认为，运筹学的活动是从二次世界大战初期的军事任务开始的。当时迫切需要把各项稀少的资源以有效的方式分配给各种不同的军事经营及在每一经营内的各项活动，所以美国及随后美国的军事管理当局都号召大批科学家运用科学手段来处理战略与战术问题，实际上这便是要求他们对种种（军事）经营进行研究，这些科学家小组正是最早的运筹小组。[1]
运筹学的主要分支有：数学规划、决策分析、排队论、库存论、对策论、搜索论、计算机模拟等。60年代以来，运筹学主要用於处理大型的复杂的问题，诸如军事问题，教育问题、污染问题、交通运输问题、人力资源管理问题等；还广泛应用於这样一些部门：能源、预测、会计金融、销售、存储、计算机与信息系统、设计、城市服务系统、保健与医疗、电气、加工工业、第 三产业等。数学规划的研究对象是计划管理工作中有关安排和估值的问题，解决的主要问题是在给定条件下，按某一衡量指标来寻找安排的最优方案。它可以表示成求函数在满足约束条件下的极大极小值问题。[2]
1.2    概率论的诞生
作为数学统计基础的概率论的创始人分别是法国数学家帕斯卡 ( Blaise Pascal 1628 - 1662 ) 和费马 ( Pierre de Fermat 1601 - 1665 ) ，其可追溯到公元 17 世纪。当时的法国宫廷贵族里盛行着掷色子游戏，游戏规则是玩家连续掷 4 次色子，如果其中没有 6 点出现，玩家赢，如果出现一次 6 点，则庄家 ( 相当于现在的赌场 ) 赢。按照这一游戏规则庄家长期扮演赢家的角色，而玩家大部分时间是输家，因为庄家总是要靠此为生的，因此当时人们也就接受了这种现象。[3]
后来为了使游戏更刺激，游戏规则发生了些许变化，玩家这回用 2 个色子连续掷 24 次，不同时出现 2 个 6 点，玩家赢，否则庄家赢。当时人们普遍认为，2 次出现 6 点的概率是一次出现 6 点的概率的 1 / 6 ，因此 6 倍于前一种规则的次数，也既是 24 次赢或输的概率与以前是相等的。然而事实却刚好相反，这回庄家长期处于输家的状态，于是他们去请教当时的数学家帕斯卡，求助其对这种现象做出解释。[3]
这个游戏就是概率论发展史上颇有名气的“德·梅尔问题”，正是这些问题导致了帕斯卡（Pascal）的研究和他与费马（Fermat）的著名通信。他们的研究标志着概率论的诞生。[4]
1.3    排队论的出现
排队是在日常生活中经常遇到的现象，如顾客到商店购买物品、病人到医院看病常常要排队。此时要求服务的数量超过服务机构（服务台、服务员等）的容量，也就是说，到达的顾客不能够立即得到服务，因而出现排队现象。除此之外，电话局占线问题、车站码头等交通枢纽的车船堵塞和疏导、故障机器的停机待修、水库贮存调节等都是有形无形的排队现象。可以说，排队现象几乎是不可避免的，并且，顾客到达和服务时间常常具有随机性。
如果增加服务设备，就产生增加投资或者发生空闲浪费；如果服务设备太少，排队现象就会严重从而产生不利影响。因此，管理员必须考虑如何在这两者之间取得平衡，经常检查目前的处理是否得当，研究改进对策以期提高服务质量，降低成本。
排队论（Queueing Theory）也称随机服务系统理论，就是为解决上述问题而发展的一门学科。[5]
2        排队论基础知识的引入
2.1    排队论基本概念
2.1.1      排队过程的一般表示

服务规则
顾客源
排队结构
服务机构
顾客到来
离去
排队规则
排队系统
图表 1排队过程的一般模型
图表1就是排队过程的一般模型。各个顾客由顾客源（总体）出发，到达服务机构（服务台、服务员）前排队等候接受服务，服务完毕即离开。排队结构之对了的数目和排列方式，排队规则和服务规则是说明顾客在排队系统中按怎样的规则、次序接受服务的。我们所说的排队系统就是指图中虚线所包括的部分。
2.1.2      排队系统的组合和特征
一般的排队系统都有三个基本的组成部分：1、输入过程；2、排队规则；3、服务机构。
2.1.2.1                   输入过程
输入即指顾客到达排队系统，可能有几种不同的情况：
1)        顾客总体（称为顾客源）的组成，可能是有限的，如工厂内停机待修的设备；可能是无限的，如上流河水流入水库；
2)        顾客到来的方式，可能是一个一个的，也可能是成批的。如到餐厅就餐的顾客。
3)        顾客相继到达的间隔时间，可能是随机的，如商店购物的顾客；也可能是确定型的，如生产流水线上的工件，定期运行的班车、班机等等；
4)        顾客的到达，可以是相互独立的，就是说，以前的到达情况对以后顾客的到来没有影响；否则就是有关联的，如工厂内的机器在短时间区间内出现停机（顾客到达）的概率受已经待修或者被修理的机器数目的影响；
5)        输入的过程，可以是平稳的或称为对时间是齐次的，是指描述相继到达的间隔时间分布和所含参数（如期望值、方差等）都是与时间无关的；否则成为非平稳的。
2.1.2.2                   排队规则
1)        顾客达到时，如果所有的服务台都正被占用，这种情况下顾客可以随即离去（称为即时制，或者损失制）；可以排队等候（称为等待制）。
对于等待的情形，为顾客进行服务的次序可以采用下列各种规则：先到先服务，后到先服务，随机服务，有优先权的服务等。
2)        从占有的空间，由于空间的限制或者其他原因，有的系统要规定容量（及允许进入排队系统的顾客数）的最大限；
3)        从队列的数目，可分为单列或者多列。
2.1.2.3                   服务机构
从机构形式和工作情况来看有几种情况：
1)        服务机构可以没有服务员，也可以有一个或多个服务员；
2)        在有多个服务台的情形中，他们可以是平行排列（并列）的，也可以是前后排列（串行）的，或者混合的；
3)        服务方式可以是对单个顾客进行，或者对成批顾客进行；
4)        和输入过程一样，服务时间可以是确定型的和随机型的，以及平稳的和非平稳的。
2.1.3      排队模型的分类
按照上述各部分的特征中最主要的、影响最大的三个即：
1)        相继顾客到达间隔时间的分布；
2)        服务时间的分布；
3)        服务台个数。
按照这三个特征分类，用符号
X/Y/Z
表示服务台的情形。其中的X、Y、Z依次表示上述三个影响的因素。其中相继到达间隔时间和服务时间的各种分布的符号M 表示“负指数分布”（其他不在此阐述），在实际的处理过程中，为了目标问题的分析和解决，采用的算法有所变化。
2.1.4      排队问题的求解
在一个实际的排队问题求解时，首先要研究它属于哪个类型，其中的“顾客到达的间隔时间分布”和“服务时间的分布”需要实测的数据来确定，其他因素都是在问题提出时给定的。
解排队问题的目的，是研究排队系统运行的效率，评估服务的质量，确定系统参数的最优值，以决定系统结构是否合理、研究设计改进的措施等。所以必须确定用以判断系统运行优劣的基本数量指标，解排队问题就是首先求出这些数量指标的概率分布或特征数。这些指标通常是：
1)        队长，指在系统中的顾客数。它的期望值记作Ls；
排队长（队列长），是在系统中排队等待服务的顾客数，它的期望值记作Lq。有如下关系：
[队长] = [排队长] + [正在被服务的顾客数]
2)        逗留时间，指一个顾客在系统中停留的时间，它的期望值记作Ws；
等待时间，只一个顾客在系统中排队等待的时间，它的期望值记作Wq，有如下关系：
[逗留时间] = [等待时间] + [服务时间]
2.1.4.1                   M/M/1模型
M/M/1 模型即指顾客到达服从泊松分布，服务时间服从负指数分布，单服务台的情形。它又分为标准型、顾客源有限型和服务系统容量有限型三种。
M/M/1 模型要求到达规律服从参数为λ的泊松过程，服务时间服从参数为μ的负指数分布，所以先介绍这两个概念：
λ——平均到达率，表示单位时间平均到达的顾客数。
μ——平均服务率，表示单位时间能被服务完的顾客数（期望值），而1/μ就表示一个顾客的平均服务时间。在排队论中“平均”就指概率论中的数学期望，这是一种习惯用法。这两个参数都需要实测的数据经过统计学检验来确定。
λ/μ有着重要意义，它是相同时间区间内顾客到达的期望值与能被服务的期望值之比，这个比是评估服务效率和服务机构利用程度的重要标志。
令ρ＝λ/μ我们称ρ为服务强度。
在解排队论问题时，要求求出系统在任意时间的状态为n（系统中有n个顾客）的概率Pn，它决定了系统运行的特征。
M/M/1 表示相继到达间隔时间为负指数分布、服务时间为负指数分布、单服务台模型。
在标准的M/M/1模型中，Pn=(1-ρ)ρn（推导从略）。当n=0时，P0=1-ρ=1-λ/μ，这是系统中顾客为零时的概率。如果λ/μ>1，则P0将是负值，这违背了概率论的法则（概率论要求一个时间的概率在0~1之间，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1）。这种情况说明排队在无止境的增长，系统处于非稳定的状态。因此要求ρ=λ/μ<1。≥

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Runtime Error

 

以此为基础，可以算出系统运行指标：

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Runtime Error
Runtime Error
Runtime Error

 

Runtime Error

 

在服务系统容量有限型的M/M/1模型中，假设系统容量为N，系统状态为n的概率公式为：

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Runtime Error

 

指标归纳如下：

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Runtime Error

 

 
2.1.4.2                   M/M/C模型
M/M/C 与 M/M/1 的区别在于前者有C个并列的服务台。它与后者一样，分为标准型、顾客源有限型和服务系统容量有限型三种。M/M/C 模型稍微复杂，需要限定一些约束条件进行分析。在此不作赘述。
3        案例及分析
3.1    命题的提出
假设你要开一个饭店，预计每天平均有100批客人，每批客人平均吃饭用2小时。你若准备了40个桌子，请问满席的概率？最佳的桌子数？（M/M/1 模型，如果考虑流量的非平均分布，请用 M/M/S 模型）（公司员工考核题目）
3.2    数学建模
3.2.1      模型分析
在实际生活中的情况可能会比较复杂，为了方便对问题的分析，常常对现实的问题进行数学建模，标准化问题的约束条件。比如，在本案例中每批客人的数量是不一样的，有的是一个人，有的可能两三人，也有可能会是十几人甚至几十人。在这种情况下，我们建立模型的时候，将问题简单化，每批客人占用一个桌子的位席。至于实际情况每批客人的多少，以及其他的问题，可作为另外一个命题进行分析。
根据前面的基本知识，对该命题进行分析得出：
3.2.1.1                   输入过程
由于顾客来源没有限定，顾客总体的组成，是无限的；
为了简化分析，顾客到来方式，每批作为一个独立的顾客实体，占用一个服务台；
顾客相继到达间隔时间，是随机的，满足泊松分布；
顾客的到达时相互独立的；
输入的过程式平稳的。
3.2.1.2                   排队规则
顾客到达时，如果所有服务台被占用，则顾客随即离去（即时制）；
从占有的空间，系统容量是有限的（提供的桌子的数量有限）；
队列的数目，为单列。
3.2.1.3                   服务机构
饭店的工作情况约定为，单服务台，对多个顾客进行，服务时间随机型，输入过程为平稳性。
3.2.2      模型建立
根据上面的分析，建立数学模型，排队模型采用 M/M/1 模型，以天为单位时间。
每天的平均到达率=100（批/天）；
每次服务平均时间为=2（小时），
40个桌子每天完成的服务数量=40*24/2=480（批/天）
由于饭店的桌子数量是有限的，因此，该模型属于服务系统容量有限型的M/M/1 模型。
3.2.3      解题
取λ=100，μ=480，得ρ=λ/μ=100/480≈0.2083=20.83%
它说明，饭店有 20.83% 的时间是繁忙的，79.17% 的时间是空闲的。系统无等待，N=40是系统最大容量。

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Runtime Error

 

3.2.3.1                   求解：满席的概率
40个座位满席的概率，即系统状态为40的概率

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Runtime Error

 

这个概率是相当小的，可以忽略不计（这个数字是个什么概念？他告诉我们，这基本上是不可能事件）。也就是，基本上不大可能出现满座的情况。
3.2.3.2                   求解：最佳的桌子数
有关最佳的桌子数的问题，需要考虑的因素有许多，主要的两个因素是：增加一个桌子的成本，和失去一个顾客造成的经济损失。要权衡着两个主要的经济指标来确定最佳的桌子数，是解这个问题的最终答案。命题中没有给出失去顾客时候的损失，在解答这个问题的时候，这个指标因素可以省略，而将问题更改为：求解顾客损失率不超过p的桌子数。因此，这个问题解的不等式应该为，求N，使得

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Runtime Error

 

下面给出n及Pn的部分数据的对照表供参考：
n
1
2
3
4
5
6
10
Pn
17.2%
3.47%
0.72%
0.15%
0.03%
0.006%
12.1/亿
 
附录1是该计算的C#程序源代码。
3.3    模型改进
根据上表的数据我们可以查得：如果要保证每天的顾客流失率不超过1%的话，这个饭店只需准备3张桌子就够了！
3.3.1      题目的分析
是的，这样的结果与实际差别实在是太大了。如果是这样的情况，那概率论与运筹学简直就是形而上学的东西，对实际的生产生活根本没有任何的帮助，反而会有误导作用。
之所以会出现这样结果，是因为这个命题只是一个题目而已，实际情况中，吃饭的相对集中在一天当中的几个小时内，题目中没有给出这几个小时的数据分布（也就是说题目为了简化问题的复杂程度，没有要求考虑该条件）。
3.3.2      模型的改进
假如每天顾客吃饭的时间绝大部分集中在5个小时内的时间中，则模型中的数据指标平均服务率应该为：u=40*5/2=100。由此得出：
ρ=λ/μ=100%
这样的话，饭店的服务系统是100%的繁忙，没有任何的空闲时间。这样的系统，处于不稳定的边缘，接近于崩溃状态。
我们可以根据经验中的数据，实际情况中，饭店午餐基本集中在11:00~14:00之间，晚餐基本集中在17:00~21:00之间，每天的7个小时当中。修正平均服务率及服务系统服务强度指标数据为：
u=40*5/2=140
ρ=λ/μ=71.43%
据此指标数据，我们计算得：
满席概率P40≈4.08-5%，相当于千万分之四。
对于最佳桌子数的 n及Pn的部分数据的对照表参数如下：
n
1
4
5
10
11
19
20
Pn
41.67%
9.14%
6.13%
1.01%
0.72%
4.79/万
3.42/万
如果要想每天的顾客损失率不超过1%，需要至少准备11张桌子。
这就是流量的非平稳分布（也称为非平均分布）的特殊化情况。
由此我们可以看出，如果给出的样本数据不充分或者误差较大，或者选择错了模型，会对计算的结果产生较大的负面的影响。
3.4    对现实生活问题的深入分析
对该现实生活中的概问题的进一步分析，可以找出更多的关键因素进行建模求解，这样使得问题的模型化更加精确，问题解决更加准确。
除了上面对流量分布的进一步分析外，还可以在模型中加入失去顾客产生的经济损失作为考虑参数的一部分。
4        结束语
通过这个范例，我们了解了概率论与数理统计及运筹学中排队论的起源，以及排队论的基本知识。认识了建立数学模型解决现实生活中的问题。
我们如果对饭店问题的深入探讨，我们可以针对更多的命题建立数学模型，比如：每批顾客的人数分析、每批顾客的消费水平分析、季节性及特殊时期的消费分析等等。建立越多的数学模型对饭店更多方面问题进行正确的分析和解决，将会使得饭店的经营状况把握的更加准确。
依靠科学的手段，一切尽在掌握中！
5        参考文献
[1] 卢湾科普，http://www.kp365.com/index/text/73004.htm
[2] 博士家园，http://www.bossh.net/article.php/41
[3] 维基百科，http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA
[4] 《概率论基础》，复旦大学李贤平著，高等教育出版社 1997年4月第2版 P31
[5] 《运筹学》（修订版），高等学校试用教材，《运筹学》教材编写组编，清华大学出版社 1990年1月第2版 P310
6        附录
6.1    附录1
using System;
 
public class Math{
    public static void Main(string[] args){
           double p = 0.0, rp = 0.2083;
           int N = 0;
           for (int i=1; i<21;i++)
                  Console.WriteLine("{0} => {1}", i, Compute(i));
    }
   
    private static double Compute(int N){
           double rtn = 0.0, rp = 0.7143;
           double rpn = 1.0;
           for (int i=0; i<N; i++)
                  rpn *= rp;
          
           rtn = (1.0-rp)*rpn/(1.0-rpn*rp);
           return rtn;
    }
}
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    不要这样学习JavaScript不要一开始就埋头在成堆的JavaScript在线教程里 ，这是最糟糕的学习方法。或许在看过无数个教程后会有点成效，但这样不分层次结构地学习一个东西实在是十分低效，在实际用JavaScript建立网站或web应用时你还是会频繁的卡住。总的来说，这种学习方法会让…...

    2024/5/4 4:38:54
  5. 视频教程-三十八课时零基础matlab精通神经网络-Matlab

    三十八课时零基础matlab精通神经网络图像和算法等领域有多年研究和项目经验；指导发表科技核心期刊经验丰富；多次指导数学建模爱好者参赛。刘昱显240.00立即订阅订阅后：请点击此处观看视频课程 视频教程-三十八课时零基础matlab精通神经网络-Matlab学习有效期：永久观看学习时…...

    2024/5/4 6:57:56
  6. ubuntu下使用eclipse c/c++开发arm linux程序

    在ubuntu下安装好交叉编译器。 安装eclipse : 1.先安装eclipse运行所需java环境，我安装的是OpenJDK。 安装OpenJDK：sudo apt-get install openjdk-6-jre检查是否安装成功：java -version java version "1.6.0_27" OpenJDK Runtime Environment (IcedTea6 1.12.6) (…...

    2024/5/4 5:22:35
  7. 2019年Web前端入门的自学路线免费分享给你

    想就业web前端工程师岗位，web前端学习哪些内容呢？近期身边有很多同学咨询太原web前端高级班课程大纲都学什么？今天就给大家分享这份web前端培训课程大纲。第一阶段：前端页面重构内容包含了：（PC端网站布局项目、HTML5+CSS3基础项目、WebApp页面布局项目）第二阶段：JavaSc…...

    2024/4/26 22:44:27
  8. 《精通MATLAB GUI设计》(朋友写的帮宣传）

    (朋友写的帮宣传） 《精通MATLAB GUI设计》(含光盘1张)即将上市 内容简...

    2024/4/26 12:37:08
  9. 【教程干货】HTML5技术资料大共享

    HTML5+CSS3视频教程：http://pan.baidu.com/s/1hsyOjze 密码：c3uw JavaScript视频教程：链接：http://pan.baidu.com/s/1hsdj2zM 密码：b54i BootStrap视频教程：链接：http://pan.baidu.com/s/1qYOWqL2 密码：2pde PHP视频教程：链接：http://pan.baidu.com/s/1pKE8Fsn…...

    2024/4/26 4:04:35
  10. simulink建模之求解微分方程

    simulink建模之求解微分方程 文章目录simulink建模之求解微分方程0.前言1.题目如下2.分析题目3.总结此题4.举一反三5.后续补充用传递函数的方式求解微分方程 0.前言 simulink建模的基础其实就是利用加减乘除等数学基本四则运算，有时加上积分和微分对数学公式进行表示，因此理解…...

    2024/5/4 5:32:48
  11. 数学分析常用的4款软件对比！

    从事数据分析都知道软件是必不可少的，目前比较流行和著名的数学软件主要有四个，分别是Maple、MATLAB、MathCAD和Mathematica。但它们都有各自的优缺点。下面我们大圣众包跟大家分享一篇来自化学数据联盟关于数学软件的对比文章。Maple V 系统Maple V是由Waterloo大学开发的数…...

    2024/4/27 1:18:41
  12. Javascript网页打印大全

    目录普通打印（整页打） 打印去掉/添加页眉页脚 使用外部控件/方法实现多功能打印 打印背景普通打印（整页打）window.print();打印网页内部分内容（自定义）用css控制@media print .a {display:block} .b {display:hidden}把你不想打印的部分class设为b 首先在…...

    2024/4/26 5:33:54
  13. 清风老师数学建模视频课程第1讲层次分析法

    1 / 94 数学建模常.模型及其MATLAB等软件实现 讲师：清风更多视频请在B站或优酷关注UP主：数学建模学习交流 十大模型，涉及近三十种算法 2 / 94更多视频请在B站或优酷关注UP主：数学建模学习交流 为什么录制这门课程？ 3 / 94 如何准备数模？更多视频请在B站或优酷关注UP主…...

    2024/4/28 15:28:37
  14. javascript中的typeof操作符能返回哪些值？

    首先我们要知道javascript中的基本数据类型有哪些：UndefinedNullStringBooleanNumberObject然后，我们用typeof检验各种可能遇到的情况，以下图片中是我在浏览器中的运行结果，哪些是你不知道的呢？ 我猜，你一定不知道null == undefined 会返回true吧，嘿嘿！ 那么，疑问来了…...

    2024/4/28 18:06:07
  15. 分享一百多套开发视频教程的下载地址

    分享一百多套开发视频教程的下载地址1. 北京圣思Java培训教学视频(资源共享网) 2.Lucene/WebService/SVN/Ant/SpringMVC视频(学习资料库网) 3.JUnit和Ant视频教程(VeryCD社区) 4.《张孝祥JAVA视频教程》完整版[RMVB](东西网) 5.历经5年锤炼(史上最适合初学者入门的Java基础视频…...

    2024/4/28 21:38:25
  16. Matlab数值微积分与方程求解

    课程参考：https://www.icourse163.org/learn/CSU-1002475002?tid=1206743216#/learn/content?type=detail&id=1211570840&cid=1214317955 文章目录一、数值微分与数值积分1.1 数值微分1.2 数值积分quad函数quadl函数integral函数quadgk函数trapz函数多重定积分的数值…...

    2024/4/27 22:02:34
  17. 最优化算法(1):数学基础

    原文链接：最优化算法(1):数学基础 | 远行的舟从某种程度上说，我们生活中遇到的许许多多的问题，都可以看成是一个最优化问题。例如着装打扮、选择饭店、租购房屋、旅行规划等等。如果我们能将这些问题转化为目前数学上可解的最优化模型，并且我们掌握了求解相关最优化模型的最…...

    2024/4/28 21:34:56
  18. 三、深入Javascript(1)_看智能社blue老师JS视频整理的笔记

    1、函数返回值 ( return )function show() {return 12; }; alert(show()); //弹出12（1）return就是函数返回值，作用把东西返回到函数外面来，在哪调用返回到哪 （2）函数不仅可以返回数字，返回字符串，返回算式(如return a+b;求出算式结果，然后把结果给返回出去) （3）函数…...

    2024/4/28 5:54:01
  19. JavaScript 模拟多线程

    概念多线程百度百科上说：多线程（英语：multithreading），是指从软件或者硬件上实现多个线程并发执行的技术。具有多线程能力的计算机因有硬件支持而能够在同一时间执行多于一个线程，进而提升整体处理性能。具有这种能力的系统包括对称多处理机、多核心处理器以及芯片级多处…...

    2024/4/29 1:17:11
  20. Javascript教程：AngularJS的五个超酷特性

    AngularJS是一个超棒的javascript框架，不单单对于开发人员来说非常有吸引力，对于UI设计师来说也同样出色。在这篇教程中，我们将简单的介绍AngularJS几个重量级必备特性，并且介绍它如何能够让你的web应用更加强大！AugularJS简单介绍 AngularJS是一个新出现的强大客户端技术…...

    2024/4/28 3:25:25

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  1. LeetCode 题目 94：五种算法递归｜迭代｜莫里斯｜线索二叉树｜栈的迭代二叉树 实现中序遍历

    本文详细探讨了五种二叉树中序遍历算法&#xff0c;包括递归、迭代、莫里斯遍历、线索二叉树和栈的迭代&#xff0c;评估了它们的效率和实用性。 题目描述 给定一个二叉树的根节点 root&#xff0c;返回它的中序遍历。 输入格式 root&#xff1a;二叉树的根节点。 输出格式…...

    2024/5/4 7:21:11
  2. 梯度消失和梯度爆炸的一些处理方法

    在这里是记录一下梯度消失或梯度爆炸的一些处理技巧。全当学习总结了如有错误还请留言&#xff0c;在此感激不尽。 权重和梯度的更新公式如下&#xff1a; w w − η ⋅ ∇ w w w - \eta \cdot \nabla w ww−η⋅∇w 个人通俗的理解梯度消失就是网络模型在反向求导的时候出…...

    2024/3/20 10:50:27
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    2024/5/3 7:11:42
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    2024/5/1 14:00:05
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    2024/5/1 17:30:59
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    原标题：【原油贵金属周评】原油多头拥挤，价格调整本周国际劳动节，我们喜迎四天假期，但是整个金融市场确实流动性充沛，大事频发，各个商品波动剧烈。美国方面，在本周四凌晨公布5月份的利率决议和新闻发布会，维持联邦基金利率在2.25%-2.50%不变，符合市场预期。同时美联储…...

    2024/5/2 16:16:39
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    2024/4/29 2:29:43
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    2024/5/3 23:10:03
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    2024/4/27 17:58:04
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    2024/4/28 1:28:33
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    原标题：【原油贵金属早评】波动率飙升，市场情绪动荡因中美贸易谈判不安情绪影响，金融市场各资产品种出现明显的波动。随着美国与中方开启第十一轮谈判之际，美国按照既定计划向中国2000亿商品征收25%的关税，市场情绪有所平复，已经开始接受这一事实。虽然波动率-恐慌指数VI…...

    2024/4/30 9:43:09
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    原标题：【原油贵金属周评】伊朗局势升温，黄金多头跃跃欲试美国和伊朗的局势继续升温，市场风险情绪上升，避险黄金有向上突破阻力的迹象。原油方面稍显平稳，近期美国和OPEC加大供给及市场需求回落的影响，伊朗局势并未推升油价走强。近期中美贸易谈判摩擦再度升级，美国对中…...

    2024/4/27 17:59:30
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    原标题：【原油贵金属早评】市场情绪继续恶化，黄金上破周初中国针对于美国加征关税的进行的反制措施引发市场情绪的大幅波动，人民币汇率出现大幅的贬值动能，金融市场受到非常明显的冲击。尤其是波动率起来之后，对于股市的表现尤其不安。隔夜美国股市出现明显的下行走势，这…...

    2024/5/2 15:04:34
  15. 【外汇早评】美伊僵持，风险情绪继续升温

    原标题：【外汇早评】美伊僵持，风险情绪继续升温昨日沙特两艘油轮再次发生爆炸事件，导致波斯湾局势进一步恶化，市场担忧美伊可能会出现摩擦生火，避险品种获得支撑，黄金和日元大幅走强。美指受中美贸易问题影响而在低位震荡。继5月12日，四艘商船在阿联酋领海附近的阿曼湾、…...

    2024/4/28 1:34:08
  16. 【原油贵金属早评】贸易冲突导致需求低迷，油价弱势

    原标题：【原油贵金属早评】贸易冲突导致需求低迷，油价弱势近日虽然伊朗局势升温，中东地区几起油船被袭击事件影响，但油价并未走高，而是出于调整结构中。由于市场预期局势失控的可能性较低，而中美贸易问题导致的全球经济衰退风险更大，需求会持续低迷，因此油价调整压力较…...

    2024/4/26 19:03:37
  17. 氧生福地 玩美北湖（上）——为时光守候两千年

    原标题：氧生福地 玩美北湖（上）——为时光守候两千年一次说走就走的旅行，只有一张高铁票的距离～ 所以，湖南郴州，我来了～ 从广州南站出发，一个半小时就到达郴州西站了。在动车上，同时改票的南风兄和我居然被分到了一个车厢，所以一路非常愉快地聊了过来。 挺好，最起…...

    2024/4/29 20:46:55
  18. 氧生福地 玩美北湖（中）——永春梯田里的美与鲜

    原标题：氧生福地 玩美北湖（中）——永春梯田里的美与鲜一觉醒来，因为大家太爱“美”照，在柳毅山庄去寻找龙女而错过了早餐时间。近十点，向导坏坏还是带着饥肠辘辘的我们去吃郴州最富有盛名的“鱼头粉”。说这是“十二分推荐”，到郴州必吃的美食之一。 哇塞！那个味美香甜…...

    2024/4/30 22:21:04
  19. 氧生福地 玩美北湖（下）——奔跑吧骚年！

    原标题：氧生福地 玩美北湖（下）——奔跑吧骚年！让我们红尘做伴 活得潇潇洒洒 策马奔腾共享人世繁华 对酒当歌唱出心中喜悦 轰轰烈烈把握青春年华 让我们红尘做伴 活得潇潇洒洒 策马奔腾共享人世繁华 对酒当歌唱出心中喜悦 轰轰烈烈把握青春年华 啊……啊……啊 两…...

    2024/5/1 4:32:01
  20. 扒开伪装医用面膜，翻六倍价格宰客，小姐姐注意了！

    原标题：扒开伪装医用面膜，翻六倍价格宰客，小姐姐注意了！扒开伪装医用面膜，翻六倍价格宰客！当行业里的某一品项火爆了，就会有很多商家蹭热度，装逼忽悠，最近火爆朋友圈的医用面膜，被沾上了污点，到底怎么回事呢？ “比普通面膜安全、效果好！痘痘、痘印、敏感肌都能用…...

    2024/5/4 2:59:34
  21. 「发现」铁皮石斛仙草之神奇功效用于医用面膜

    原标题：「发现」铁皮石斛仙草之神奇功效用于医用面膜丽彦妆铁皮石斛医用面膜|石斛多糖无菌修护补水贴19大优势： 1、铁皮石斛：自唐宋以来，一直被列为皇室贡品，铁皮石斛生于海拔1600米的悬崖峭壁之上，繁殖力差，产量极低，所以古代仅供皇室、贵族享用 2、铁皮石斛自古民间…...

    2024/4/28 5:48:52
  22. 丽彦妆\医用面膜\冷敷贴轻奢医学护肤引导者

    原标题：丽彦妆\医用面膜\冷敷贴轻奢医学护肤引导者【公司简介】 广州华彬企业隶属香港华彬集团有限公司，专注美业21年，其旗下品牌： 「圣茵美」私密荷尔蒙抗衰，产后修复 「圣仪轩」私密荷尔蒙抗衰，产后修复 「花茵莳」私密荷尔蒙抗衰，产后修复 「丽彦妆」专注医学护…...

    2024/4/30 9:42:22
  23. 广州械字号面膜生产厂家OEM/ODM4项须知！

    原标题：广州械字号面膜生产厂家OEM/ODM4项须知！广州械字号面膜生产厂家OEM/ODM流程及注意事项解读： 械字号医用面膜，其实在我国并没有严格的定义，通常我们说的医美面膜指的应该是一种「医用敷料」，也就是说，医用面膜其实算作「医疗器械」的一种，又称「医用冷敷贴」。 …...

    2024/5/2 9:07:46
  24. 械字号医用眼膜缓解用眼过度到底有无作用？

    原标题：械字号医用眼膜缓解用眼过度到底有无作用？医用眼膜/械字号眼膜/医用冷敷眼贴 凝胶层为亲水高分子材料，含70%以上的水分。体表皮肤温度传导到本产品的凝胶层，热量被凝胶内水分子吸收，通过水分的蒸发带走大量的热量，可迅速地降低体表皮肤局部温度，减轻局部皮肤的灼…...

    2024/4/30 9:42:49
  25. 配置失败还原请勿关闭计算机,电脑开机屏幕上面显示，配置失败还原更改 请勿关闭计算机 开不了机 这个问题怎么办...

    解析如下&#xff1a;1、长按电脑电源键直至关机&#xff0c;然后再按一次电源健重启电脑&#xff0c;按F8健进入安全模式2、安全模式下进入Windows系统桌面后&#xff0c;按住“winR”打开运行窗口&#xff0c;输入“services.msc”打开服务设置3、在服务界面&#xff0c;选中…...

    2022/11/19 21:17:18
  26. 错误使用 reshape要执行 RESHAPE，请勿更改元素数目。

    %读入6幅图像&#xff08;每一幅图像的大小是564*564&#xff09; f1 imread(WashingtonDC_Band1_564.tif); subplot(3,2,1),imshow(f1); f2 imread(WashingtonDC_Band2_564.tif); subplot(3,2,2),imshow(f2); f3 imread(WashingtonDC_Band3_564.tif); subplot(3,2,3),imsho…...

    2022/11/19 21:17:16
  27. 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机...

    win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”问题的解决方法在win7系统关机时如果有升级系统的或者其他需要会直接进入一个 等待界面&#xff0c;在等待界面中我们需要等待操作结束才能关机&#xff0c;虽然这比较麻烦&#xff0c;但是对系统进行配置和升级…...

    2022/11/19 21:17:15
  28. 台式电脑显示配置100%请勿关闭计算机,“准备配置windows 请勿关闭计算机”的解决方法...

    有不少用户在重装Win7系统或更新系统后会遇到“准备配置windows&#xff0c;请勿关闭计算机”的提示&#xff0c;要过很久才能进入系统&#xff0c;有的用户甚至几个小时也无法进入&#xff0c;下面就教大家这个问题的解决方法。第一种方法&#xff1a;我们首先在左下角的“开始…...

    2022/11/19 21:17:14
  29. win7 正在配置 请勿关闭计算机,怎么办Win7开机显示正在配置Windows Update请勿关机...

    置信有很多用户都跟小编一样遇到过这样的问题&#xff0c;电脑时发现开机屏幕显现“正在配置Windows Update&#xff0c;请勿关机”(如下图所示)&#xff0c;而且还需求等大约5分钟才干进入系统。这是怎样回事呢&#xff1f;一切都是正常操作的&#xff0c;为什么开时机呈现“正…...

    2022/11/19 21:17:13
  30. 准备配置windows 请勿关闭计算机 蓝屏,Win7开机总是出现提示“配置Windows请勿关机”...

    Win7系统开机启动时总是出现“配置Windows请勿关机”的提示&#xff0c;没过几秒后电脑自动重启&#xff0c;每次开机都这样无法进入系统&#xff0c;此时碰到这种现象的用户就可以使用以下5种方法解决问题。方法一&#xff1a;开机按下F8&#xff0c;在出现的Windows高级启动选…...

    2022/11/19 21:17:12
  31. 准备windows请勿关闭计算机要多久,windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机怎么办...

    有不少windows10系统用户反映说碰到这样一个情况&#xff0c;就是电脑提示正在准备windows请勿关闭计算机&#xff0c;碰到这样的问题该怎么解决呢&#xff0c;现在小编就给大家分享一下windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机的具体第一种方法&#xff1a;1、2、依次…...

    2022/11/19 21:17:11
  32. 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...

    今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后&#xff0c;每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面&#xff0c;提示请勿关闭计算机”&#xff0c;每次停留好几分钟才能正常关机&#xff0c;导致什么情况引起的呢&#xff1f;出现配置Windows Update…...

    2022/11/19 21:17:10
  33. 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...

    只能是等着&#xff0c;别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚&#xff0c;只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一&#xff1a;管理员运行cmd&#xff1a;net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...

    2022/11/19 21:17:09
  34. 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办？

    原标题&#xff1a;电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办&#xff1f;win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢&#xff1f;一般的方…...

    2022/11/19 21:17:08
  35. 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ，然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...

    关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 &#xff0c;然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容&#xff0c;让我们赶快一起来看一下吧&#xff01;关机提示 windows7 正在配…...

    2022/11/19 21:17:05
  36. 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...

    钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间：2020-04-20 22:24:19　浏览次数：729次 区域： 南阳 > 卧龙 列举网提醒您：为保障您的权益，请不要提前支付任何费用！ 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于：钉钉，外勤365，红圈通，企业微信和…...

    2022/11/19 21:17:05
  37. 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”，长时间没反应，无法进入系统的解决方案...

    前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了&#xff0c;具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面&#xff0c;长时间没反应&#xff0c;无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过&#xff0c;网上搜了不少资料&#x…...

    2022/11/19 21:17:04
  38. 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办？...

    本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法&#xff0c;并在最后教给你1种保护系统安全的好方法&#xff0c;一起来看看&#xff01;电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中&#xff0c;添加了1个新功能在“磁…...

    2022/11/19 21:17:03
  39. 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败，正在还原更改，请勿关闭计算机怎么办...

    许多用户在长期不使用电脑的时候&#xff0c;开启电脑发现电脑显示&#xff1a;配置windows更新失败&#xff0c;正在还原更改&#xff0c;请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢&#xff1f;下面小编就带着大家一起看看吧&#xff01;如果能够正常进入系统&#xff0c;建议您暂时移…...

    2022/11/19 21:17:02
  40. 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机，电脑开机后一直显示以...

    配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#xff0c;电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容&#xff0c;让我们赶快一起来看一下吧&#xff01;配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...

    2022/11/19 21:17:01
  41. 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...

    不知道大家有没有遇到过这样的一个问题&#xff0c;就是我们的win7系统在关机的时候&#xff0c;总是喜欢显示“准备配置windows&#xff0c;请勿关机”这样的一个页面&#xff0c;没有什么大碍&#xff0c;但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机&#xff0c;非常…...

    2022/11/19 21:17:00
  42. 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...

    当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时&#xff0c;一般是您正对windows进行升级&#xff0c;但是这个要是长时间没有反应&#xff0c;我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了&#xff0c;来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...

    2022/11/19 21:16:59
  43. 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败，还原更改请勿关闭计算机...

    我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况&#xff0c;当我们打开电脑之后&#xff0c;发现一直停留在一个界面&#xff1a;“配置Windows Update失败&#xff0c;还原更改请勿关闭计算机”&#xff0c;等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢&#xff0…...

    2022/11/19 21:16:58
  44. 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”

    Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...

    2022/11/19 21:16:57