堆排序（heapsort）的运行时间为O(n logn)，是一种原地排序算法，是不稳定的排序算法。

堆

基本介绍

先直观感受一下，下面就是一个堆：

20 17 8 7 16 3

什么？？上面不就一个数组吗……？！

没错，（二叉）堆数据结构是一种数组对象。

不过，让我们用另外一种方式来看这个数组：

对于表示堆的数组arr[0…n-1]，我们以arr[0]为根，给定某个节点下标i，令其父节点和左右后代节点的下标为：

parent(i) = (i-1)/2;

left(i) = 2*i+1;

right(i) = 2*i+2;

（具体实现时，可用移位来实现乘以2和除以2）

于是，它可以看作一棵完全二叉树：

可是，这也只是一棵完全二叉树，有啥特别之处呢？

特点就是：除根节点以外的每个节点i，都有arr[ parent(i) ] >= arr[i]。

堆分为最大堆和最小堆，上面就是最大堆，最小堆的特点则是：除根节点以外的每个节点i，都有arr[ parent(i) ] <= arr[i]。

堆排序一般使用最大堆，最大堆中的最大元素位于根节点。

因为具有n个元素的堆是基于一颗完全二叉树的，所以其高度为O(log n)。

保持堆的性质

在清楚什么是最大堆之后，我们来谈一谈如何保持堆的性质，也就是说，如果堆中有节点不满足堆的性质，我们如何进行调整。

首先，我们假定以节点i的左右儿子为根的两棵二叉树都是最大堆，而以节点i为根的二叉树可能不是最大堆，则调整的过程如下：

1. 从元素arr[i], arr[left(i)], arr[right(i)]中找出最大的元素，将下标存在largest中；
2. 如果arr[i]是最大的，说明以节点i为根的二叉树是最大堆，无须调整，程序结束；否则，交换arr[i]和arr[largest]，于是arr[i], arr[left(i)], arr[right(i)]三者满足了最大堆的性质，但是交换后，下标为largest的节点存放arr[i]的值，以该节点为根的子树又可能违反最大堆的性质，因此需要对该子树递归调用本调整过程。

基于以上思想，我们用代码实现如下：

//arr[0...size-1]
void maxHeapify(int arr[], int i, int size)
{int l = left(i);int r = right(i);int largest = i;if (l < size && arr[l] > arr[largest])largest = l;if (r < size && arr[r] > arr[largest])largest = r;if (largest != i){exchange(arr[i], arr[largest]);maxHeapify(arr, largest, size);}
}

再强调一遍，本函数的调用前提是：i的左右子树都是最大堆。

建堆

上面保持堆的性质是一个铺垫，它也是堆算法中的核心部分，后面我们将利用它完成建堆和堆排序。

我们先看看如何使用maxHeapify()来将一个数组arr[0…size-1]变成一个最大堆。

对于每一片树叶，我们都可以看作是一个只含一个元素的堆。于是对于叶子节点的父亲节点（左右子树都是最大堆），我们可以调用maxHeapify()来进行调整。调整之后，我们得到更大的堆，对于这些堆的父节点，我们又可以调用maxHeapify()来进行调整。

为保证maxHeapify()的调用前提，我们只需从最下面的非叶子节点开始调整，一直到根节点，整个堆建立完毕。

那么，最下面的非叶子节点的下标是多少？

在这里我只给出结论，有兴趣的读者可以尝试证明一下：

当用数组表示存储了n个元素的堆时，叶子节点的下标为：n/2， n/2+1, … , n-1。 （n/2表示向下取整）

于是我们的调整顺序为n/2-1, … , 0：

buildMaxHeap(int arr[], int size)
{for (int i = size/2-1; i >= 0; --i)maxHeapify(arr, i, size);
}

堆排序

千辛万苦，终于铺垫完了，下面进行堆排序就得心应手了！

为进行原地排序，我们引入另一个变量：heap_size，它用来表示堆的大小，而用size来表示数组的大小。

于是数组arr[0…size-1]中，arr[0…heap_size-1]为堆，arr[heap_size, size-1]为排好序的元素。

由最大堆的性质可知道，arr[0]存放着堆中最大的元素，于是可以利用该性质如下排序：

1. 初始heap_size = size，调用buildMaxHeap(arr, heap_size)建立最大堆；
2. 令i = size-1，交换arr[0]和arr[i]，heap_size–，i–；
3. 交换后，原来根的子女仍是最大堆，而根元素则可能违背了最大堆的性质，所以调用maxHeapify(arr, 0, heap_size)进行调整；
4. 重复以上过程，直到堆的大小变为2，此时再重复一次以上过程，整个数组便从小到大排好序了。

代码实现：

void heapSort(int arr[], int size)
{if (NULL == arr || size <= 0)return ;int heap_size = size;buildMaxHeap(arr, heap_size);for (int i = size-1; i >= 1; --i){exchange(arr[0], arr[i]);--heap_size;maxHeapify(arr, 0, heap_size);}
}

优先队列

堆排序是一个很漂亮的算法，但是实际应用中，由于快排隐含的常数因子较小，往往优于堆排序，所以堆排序用的没那么多。

但是堆这个数据结构的用处很大，特别是用来实现优先队列。

这里我们只讨论基于最大堆实现的最大优先队列。

优先队列是一种用来维护由一组元素构成的集合S的数据结构，每个元素都有一个key。最大优先队列支持以下操作：

1. insert(S, x)：将元素x插入到S中；
2. maximum(S)：返回S中具有最大key的元素；
3. extractMax(S)：去掉并返回S中具有最大key的元素；
4. increaseKey(S, x, k)：将元素x的key值增加到k(k不能小于原key值)。

下面看看具体实现(伪代码)：

//O(1)
heapMaximum(A)
{return A[0];
}

去掉S中具有最大key的元素类似于堆排序：

//O(log n)
heapExtractMax(A)
{if (heap_size < 1)error "heap underflow";max = A[0]; //用于返回A[0] = A[heap_size-1]; //将最大值交换到尾部--heap_size; //抛弃交换到尾部的最大值maxHeapify(A, 0, heap_size); //O(log n)return max;
}

将元素x的key值增加到k之后，可能违反堆的性质（这里的违反与之前的并不一样，此处key值的增加并不影响以该元素为根的堆的性质，而是影响了以其祖先节点为根的堆的性质），我们需要将该元素不断地与其父母比较，如果该元素的key较大，则交换key并继续移动，当该元素的key小于其父母时，最大堆性质成立。

//O(log n)
heapIncreaseKey(A, i, key)
{if (key < A[i])error "new key is smaller than current key";A[i] = key;while (i > 0 && A[parent(i)] < A[i]){exchange(A[i], A[parent(i)]);i = parent(i);}
}

插入一个新的元素，只需要在末端先添加一个key为负无穷的元素，然后调用heapIncreaseKey来增加其key值至x即可：

maxHeapInsert(A, x)
{++heap_size;A[heap_size-1] = -∞；heapIncreaseKey(A, i, x);
}

以上为优先队列的内容~优先队列的应用这里就不多说了，操作系统中用的很多(比如作业调度)~

参考资料：《算法导论》 第六章 堆排序

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