现实生活中的除法

为了便于描述，我们这样做

步骤：

1. 被除数减除数，被除数大，上商为1，被除数小，上商为0。
2. 每次得到的差为中间余数，将除数右移后与中间余数比较，中间余数大，上商为1，中间余数小，上商为0。
3. 循环步骤2，直到求得商的位数足够。

预处理

1. 被除数为0，除数不为0，商为0。
2. 定点整数，被除数小于除数，商为0。
3. 定点整数，被除数不为0，除数为0，发生异常。
4. 浮点数，被除数不为0，除数为0，产生无穷（inf/-inf）。
5. 浮点数，被除数和除数都为0，产生非数（NaN）。

只有除数和被除数都不为0，商也不为0时，才进一步除法运算

无符号数的除法

模拟手工

如果两个n位数相除，需要将被除数扩展为2n位：

1. 正整数：在被除数前加n个0
2. 纯小数：在被除数后加n个0

根据现实中的除法，得出在机器中运算的关键步骤：

1. 余数减除数得一个新余数
2. 新余数大于0（表明够减），商左移上1。
3. 新余数小于0（不够减），商左移上0，并恢复余数。
4. 除数右移

流程图如下：

比如：求7除2的值？
7的原码是0111，扩展之后是0000 0111。
2的原码是0010 0000，变补码是1110 0000。

商	除数	中间余数（默认为被除数）	中间余数减除数
0000	0010 0000	0000 0111	0000 0111+1110 0000=1110 0111<0
0000	0001 0000	0000 0111（恢复余数）	0000 0111+1111 0000=1111 0111<0
0000	0000 1000	0000 0111（恢复余数）	0000 0111+1111 1000=1111 1111<0
0000	0000 0100	0000 0111（恢复余数）	0000 0111+1111 1100=0000 0011>0
0001	0000 0010	0000 0011	0000 0011+1111 1110=0000 0001>0
0011	0000 0001	0000 0001	结束

结果是0011，表示商是2，中间余数是0000 0001，表示余数是1。
4位数，所以是5步
一开始的上商值是0，移了5次之后，在商中消失了，这个数其实是用来判断是否溢出的，如果是1，则代表溢出，即商无法用4位数表示。

优化

恢复余数法

如果被除数和除数都是n位，那么商一定不溢出，即n位一定可以表示两n位数的商。

商一开始的有四个没用的0，中间余数的前4位都是没用的0（在被除数是n位的前题下），因此可以合并商和中间余数，用8位就可表示4位中间余数和4位商。
如果除数不移动，那么除数的后4位也多余，所以想一个办法代替除数右移，就可以用4位表示除数。
这个办法就是中间余数左移（与除数右移效果一样），所以中间余数一开始应该放在右4位才可以左移。

所以最终确定，4位中间余数与4位商合并，前4位最终表示余数，后四位最终表示商，用4位表示除数。

除数（4位）	中间余数与商的合并位（4+4）	高4位减除数（4位）
0010	0000 0111	0000+1110=1110<0 （此步应省）
0010	0000 1110（恢复+左移）	0000+1110=1110<0
0010	0001 1100（恢复+左移）	0001+1110=1111<0
0010	0011 1000（恢复+左移）	0011+1110=0001>0
0010	0011 0001（左移）	0011+1110=0001>0 （此处0001即为余数）
0010	0010 0011（左移）	余数右移1位

因为合并位左移了5次，中间余数会多移一次，所以需要将0010右移一次，得到0001才是正确的余数。
由于除数和被除数都是n位，合并位的高n位一开始全为0，所以高n位减除数一定小于0，所以无需第一步判断差的结果，直接左移合并位并上商为0即可。

不恢复余数法（加减交替法）

上面的是恢复余数之后才左移，当然也可以不恢复余数。
我们看上面的第一步恢复余数

除数（4位）	中间余数与商的合并位（4+4）	高4位减除数（4位）
0010	0000 0111	0000+1110=1110<0
0010	0000 1110（恢复+左移）	0000+1110=1110<0

第一次中间余数减除数之后，中间余数变为1110，之后，1110+0010恢复成0000，然后左移，最低位补0（因为1110<0）。
我们也可以这样，第一次中间余数减除数之后，中间余数变为1110，之后，1110 0111左移，最低位补0，变为1100 1110，然后1100+0010就是下次高4位加除数的结果1110。

除数（4位）	中间余数与商的合并位（4+4）	高4位加/减除数（4位）
0010	0000 0111	0000+1110=1110<0
0010	1100 1110（左移）	1100+0010=1110<0

这里高4位是加还是减，取决于合并位的高4位，高4位大于等于0，做减法。高四位小于0，做加法。
最后一次若上商为0，需纠正余数，将余数加除数才是真正的余数。

比如5/3，5的二进制是0101，3的二进制是0011，3的变补是1101。

除数（4位）	中间余数与商的合并位（4+4）	高4位加/减除数（4位）
0011	0000 0101	0000+1101=1101<0（减法）
0011	1010 1010（上0）	1010+0011=1101<0（加法）
0011	1011 0100（上0）	1011+0011=1110<0（加法）
0011	1100 1000（上0）	1100+0011=1111<0（加法）
0011	1111 0000（上0）	1111+0011=0010>0（加法）
0011	0100 0001（上1）	纠正余数

0100+1101=0001，所以1是余数，0001是商。

原码除法

• 符号位和数值位分开处理
• 商和余数的值按无符号数值算
• 商的符号，被除数与除数同号为正，异号为负
• 余数的符号同被除数符号