【深度理解电磁场与电磁波系列连载 3】
在上一个连载里面,我们知道了如何计算点电荷、分布电荷的电场。但是那样的方法有点繁琐,有没有更简单的方式呢?—— 有!那就是高斯通量定理!
首先,我们要思考这样一个问题—— 带电体在周围空间中产生电场的过程,能不能提炼出某种不变的东西呢?
这就会引入通量的概念了。我们以水龙头放水为例子——如果用一个完全透水的袋子包住水龙头,那么我们可以很容易理解这样一个事实:水龙头的出水量一定是等于流出这个袋子的水量。这里我们提炼出一个概念:通量。通量,顾名思义,就是通过一个曲面的某种流量。
那么同样的类比,如果我们把水龙头换成了正电荷,然后就换成一个完全透电的袋子,那么这个正电荷所射出去的电场线就一定等于穿出这个袋子的电场线。那么电场线通过袋子的数量自然就叫袋子的电通量
另外,我们也可以理解——这个袋子里面所囊括的正电荷数量越多,那么自然在单位时间里面通过袋子的电通量也就会越大。也就是说电通量和这个袋子所包括的净电荷数量成正比(注意:这里所说的是净电荷,因为如果是负电荷,那么会有电场线穿入这个袋子)
说了那么多,那通量如何表示呢?首先我们知道:电场强度可以用来衡量电场线的密度(因为电场强度越大的地方,电场线越密集) 而通量我们刚刚也提到了,就是穿过面积为 S 的曲面的电场线的数量。那么很自然地,我们就可以想到:电通量可以用电场强度与面 S 的乘积来表示。
对于上图这种情况(电场方向和面的法相方向垂直的情况),我们就可以直接: 来表示通过木板的电通量了。
但是,如果木板的法向不与电场方向平行怎么办呢?如下图:
那么很明显,我们可以看到电场线真正穿过木板的有效面积就不再是 AB 面了,而是 BC 面!那么,BC面的面积和 AB 面面积的关系如何?我们看下面这幅图:
所以,此时的电通量应该是:
而我们发现:E 和 S 本来都是矢量,现在我们的电通量是 E 的模值乘以 S 的模值 再乘上他们的夹角余弦。这不正是向量点乘的表达式吗!!
因此,我们可以用向量点乘的形式简洁地表示电通量:
不过问题又来了:上面我们计算的是平面的电通量,那么曲面的怎么办呢?
这就要用到微积分的思想了:我们以我们赖以生存的地球为例,我们都知道地球表面是一个球形的曲面,可是我们人在地上走,却感觉不到 “曲”,相反我们都认为我们行走的大地是一个平面!这也就是说:对于一个曲面而言,如果我们把它分割成无数个小曲面(每一个小曲面的面积我们用 dS 表示),那么这每一个小曲面都可以看作是一个平面
那么,对于面积为 的 “小平面”,我们就可以用刚刚我们推导出的平面电通量的求法表示了,即:
很自然地,这所有的小曲面(或者近似说成是 “小平面”)的叠加(积分),就构成了整个曲面。因此,整个曲面的电通量用积分的形式就可以这样表示:
我们刚刚也说了:电通量和这个曲面所包括的净电荷数量成正比,到底是怎么个正比法呢?这就需要引入立体角的概念了:
什么是立体角呢?首先我们从特殊的情况入手,什么是圆锥的立体角?—— 锥体的立体角大小定义为,以锥体的顶点为球心作球面,该锥体在球表面截取的面积与球半径平方之比
值得注意的是,这里的 的法向是和这个球体的径向是同方向的!
那么我们再扩展到一般的情况,即:这个锥体的底面方向不与这个锥体的同心球的径向相同的时候。
如上图所示, 的方向是 ,而计算立体角,我们显然是要用图中的 ,那么 和 有什么关系呢?—— 依然是向量点乘!
因此,一般情况下的立体角(也适用于第一种特殊情况)的计算公式如下:
那么显然对于闭合曲面而言,如果 点在曲面内,那么这个闭合曲面的立体角就是
好的,介绍完了立体角,我们就开始正式推导高斯通量定理了!
因此,我们就得到了大名鼎鼎的高斯通量定理(真空中):
这也是 Maxwell 方程里面描述电场的一个公式。
但是,问题又来了:这个公式仅仅只描述了真空下的电场,那么在介质中的电场又如何描述呢?在电场中的导体、介质又有什么新的特性呢?我们在下一个连载里面详细解读。
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钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57