最大奇约数 题解
题目
题目描述
定义函数f(x)表示x的最大奇约数,这里x表示正整数。例如,f(20) = 5,因为20的约数从小到大分别有:1, 2, 4, 5, 10, 20,其中最大的奇约数为5。
给出正整数N,求f(1)+f(2)+…+f(N)
输入格式
第1行:1个正整数N 1<=N<=10^9
样例
样例输入
7
样例输出
21
数据范围与提示
样例说明
f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=1+1+3+1+5+3+7=21
以上是题目
题解
奇数的最大约数是自身, 偶数的最大奇约数是除所有偶因子之后的那个奇数。所以直观的思路就是挨个遍历一遍加起来。
但是,这种思路保守估计复杂度为O(n),因为我也搞不清楚这种思路的复杂度到底怎么算,而n的范围是10^9,想都不用想
会TLE
于是有人想到了用记忆化,但你想想你写一个:
int Memory[1000000005];
你心里就不慌吗,先不管你慌不慌,反正编译器是肯定吃不消的,于是…
我们的O(logn)的5G超快正解来了
设sum(i) = f(1) + f(2) + … + f(i);
求sum(i)的过程中,如果i 为奇数可以直接求,就是 i 本身,即f(i) = i。
问题就是求所有f(i), i为偶数的和。
因为是最大奇约数,所以f(2k) = f(k),所以f(2) + f(4) + … + f(2k) = f(1) + f(2) + … + f(k);
所以
而1+3+5+…+(n-1)等于(n/2)^2
证明
(一):代数法
1+3+5+…+(n-1)共有(n-1-1)/2+1项
而高斯告诉我们:1+3+5+…+(n-1)=(首项+末项)*项数/2
代入公式即得:1+3+5+…+(n-1)={[1+(n-1)]*[(n-1-1)/2+1]}/2
化简得:1+3+5+…+(n-1)=(n/2)^2
得证
(二):几何法
我们把1表示为如图所示面积为1的小正方形
把3表示为如图所示面积为3的图形
把5表示为如图所示面积为5的图形
…
以此类推,最后把他们拼接起来,得到一个正方形
它可以表示为1+3+5+…+(n-1),也可以表示为边长的平方,而边长就等于n/2
所以1+3+5+…+(n-1)=(n/2)^2
最后贴上代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long sum(long long n){if(n==1){return 1;}if(n%2==0){return sum(n/2)+n*n/4;}else{return sum(n-1)+n; }
}
int main(){int n;scanf("%d",&n);printf("%lld",sum(n));
return 0;
}
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2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57