第一章：概率论中的一些课题

    上一讲以可测集、可测函数 为切入点，梳理了样本空间、可测空间、测度空间、概率空间、可测集、可测函数等概念。这一讲我们继续。

1.1 用随机变量或向量施行条件化

学习概率论的我们对条件概率这一概念绝不会感到陌生。其实条件这个概念在研究随机变量之间的联系时是很重要的，本节就是对条件这一概念的梳理。

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离散情况：

条件概率:

给定随机变量$Y=y$时，$X$的条件概率$P(·|y)$为:$P(x|y)=P(X=x|Y=y)=\frac{P(x,y)}{P_Y(y)}$

注意: 因为$P_Y(y)$是分母，所以该式仅在$P_Y(y)>0$时才有意义。

下面看一道例题：

条件分布容易计算的两种情形：

1. $X$和$Y$独立，可以看做$Y$对$X$没有影响，此时$X$条件分布就是$X$自己的分布
2. 如果$X$刚好是$Y$的一个函数，即$X=h(Y)$,那么当$Y=y$时，很显然有$X=h(y)$,即$P(X=h(y)|Y=y)=1$

条件概率公式的推广：

1. 将条件概率公式中的分母移到左边，很容易有：$P(x,y)=P(x|y)P_Y(y)$
   换一个角度，由$P(y|x)=\frac{P(x,y)}{P_X(x)}$可以得出$P(x,y)=P(y|x)P_X(x)$
2. 将样本空间按照随机变量$X$的取值情况进行划分，可以得到关系$P_Y(y)=\sum_{x}P(Y=y|X=x)P_X(x)$，将该关系式代入条件概率式中有:$P(x|y)=\frac{P(x,y)}{P_Y(y)}=\frac{P(y|x)P(x)}{\sum_{x}P(Y=y|X=x)P_X(x)}$这就是著名的贝叶斯公式,我们可以将等号右边的概率表达式看成随机变量$X$取各种值的情况下$Y$取各种值的先验概率，等号左边是在我们观察到随机变量$Y$取y时，随机变量$X$取$x$的"反推"概率！在这种意义下，贝叶斯公式其实就是用先验概率来推导后验概率。

贝叶斯公式应用的一个例子：
假设某个地区患某种疾病的概率是千分之一，我们研发了一种检测这种疾病的技术，对于真有病的人是100%准确，对于没有病的人仍有5%的可能会检测出有病。
问题是:如果一个人被检测为有病，那么他真患病的概率有多大呢？
分析：
从该地区随便拉出一个人，患病的概率是1‰，这是对该地区的患病情况的经验描述，是一个先验概率。

有病$\to$测出有病 概率为1
没病$\to$测出有病 概率为0.05
这是对检测技术的客观描述。

我们的问题是：随便再拉一个人，他患病的概率是多大呢？和先验的1‰一样么？是否需要修正呢？
要解决该问题，可以用这种新技术进行检测，一检测发现有病，但是又因为该技术有可能“误诊”，所以需要根据该技术的检测情况计算真正患病的概率，此时就可以用贝叶斯公式:
$P(真正患病|检测患病)=\frac{P(真患病,检测患病)}{P(检测患病)}=\frac{P(检测患病|真患病)P(真患病)}{P(检测患病|真患病)P(真患病)+P(检测患病|健康)P(健康)}=\frac{1*0.001}{1*0.001+0.05*0.999}≈2\%$

总结：因此这个人在检测患病后，他的患病概率和先验的1‰显然是不同的，我们肯定不能把针对整个地区总结出的先验患病概率用在每个个体上，而需要用一定的技术对这个概率进行修正。正因为技术存在错误情况，所以我们需要用贝叶斯公式结合该技术的实际情况对这个概率进行预测修正。

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总结：本节主要是对条件概率、贝叶斯公式进行了介绍，并且举了实际的例子，辅以理解分析。下节继续。