1. 正定矩阵

定义

1. 广义定义
   设$M$是$n$阶方阵，如果对任何非零向量$z$，都有$z^TMz>0$，就称$M$为正定矩阵。
2. 狭义定义：
   一个$n$阶的实对称矩阵$M$是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量$z$，都有$z^TMz> 0$。

特征及性质

判定定理：

1. 对称阵$A$为正定的充分必要条件是：$A$的特征值全为正。
2. 对称阵$A$为正定的充分必要条件是：$A$的各阶顺序主子式都为正。

性质：

1. 正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。
2. 若$A$为$n$阶对称正定矩阵，则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵$L$，使得$A = LL^*$。其中，$L^*$是$L$的共轭转置，此式称为正定矩阵的Cholesky分解。
3. 若$A$为$n$阶正定矩阵，则$A$为$n$阶可逆矩阵。

2. 半正定矩阵

定义

  当$z^TMz > 0$弱化为$z^TMz≥0$时，称$M$是半正定矩阵。

判定矩阵半正定

1. 对于半正定矩阵来说，相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。
2. 半正定矩阵定义:设$A$是实对称矩阵，如果对任意的实非零列向量$x$有$x^T A x \ge 0$，就称A为半正定矩阵。