#一、 MCMC抽样

也许读者会觉得诧异，为什么在一本介绍主题模型的书中却看到了抽样的知识？作者是不是偏题了？

答案当然是没有。

相信你应该听说过有一门课程叫做统计学，在这门课程中，抽样占据着举足轻重的地位。当统计学的研究者们想要了解一个总体的某些参数时，他们的方案是，先去抽样获得样本，通过样本参数去估计总体参数。比如，想知道某财经高校学生们（总体）的平均月消费水平（总体参数），做法是：a.先抽样一部分样本，如从每个学院抽取20个人去调查他们的月消费水平，假设有20个学院，那么就获得了400个人（样本）的月消费水平；b.算出这400个样本的平均月消费水平（样本参数）；c.可以认为该财经高校学生们的平均月消费水平估计为这400个样本的平均月消费水平。

本篇的MCMC抽样与LDA主题模型的关系类比统计学里的抽样。在LDA主题模型的参数求解中，我们会使用MCMC抽样去做。

MCMC四个字母的含义

第一个MC ，是Monte Carlo(蒙特卡洛)的首字母缩写。本篇的蒙特卡洛指一种随机模拟方法，以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，是使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。采样过程通常通过计算机来来实现。

蒙特卡洛此名由乌拉姆提出，事实上蒙特卡洛是摩纳哥公国的一座城市，是著名的赌场，世人称之为“赌博之国”。众人皆知，赌博总是和统计密切关联的，所以这个命名风趣而贴切、不仅有意思而且有意义。

第二个MC：Markov Chain(马尔科夫链)。这是MCMC抽样中很重要的一个思想，将会在后篇细讲。

（一）逆变换采样

刚刚有提到，蒙特卡洛指一种随机模拟方法，通常通过计算机来实现。然而，从本质上来说，计算机只能实现对均匀分布的采样。在此基础上对更为复杂的分布进行采样，应该怎么做呢？这就需要用到逆变换采样：

温故两个定义

对于随机变量 X，如下定义的函数 F：
$F(x)=P{X≤x},−∞<x<∞$
称为X 的累积分布函数。对于连续型随机变量 X 的累积分布函数 F(x)，如果存在一个定义在实数轴上的非负函数 f(x)，使得对于任意实数 x，有下式成立：
$F(x)=∫f(t)dt$
则称 f(x) 为 X 的概率密度函数。显然，当概率密度函数存在的时候，累积分布函数是概率密度函数的积分。概率等于区间乘概率密度。

步骤

欲对密度函数$f（x）$采样，并得到m 个观察值，则重复下面的步骤 m 次：

1、从Uniform(0,1)中随机生成一个值，用 u 表示。

2、计算反函数$F^{(-1)}(u) $的值 x，则x 就是从$ f(x) $中得出的一个采样点。

举例：

想对一个复杂概率密度函数$f(x)$抽样，其概率密度形式如下：
$F(x)= \begin{cases} & \text{$8x , if 0\leq x<0.25$} \\ & \text{$\frac{8}{3}-\frac{8}{3}x ,if 0.25 \leq x<1 $ } \\ & \text{$0,otherwise$}\\ \end{cases}$
1、求$f(x)$的累计分布函数$F(x)$：
$F(x)= \begin{cases} & \text{$0,if x<0$}\\ & \text{$4x^2 , if 0\leq x<0.25$} \\ & \text{$\frac{8}{3}x-\frac{4}{3}x^2-\frac{1}{3} ,if 0.25 \leq x<1 $ } \\ & \text{$1,if x>1$}\\ \end{cases}$
2、求$F(x)$的反函数：$F^{(-1)}(u) $
$F(x)= \begin{cases} & \text{$\frac{\sqrt u}{2} , if 0\leq u<0.25$} \\ & \text{$1-\frac {\sqrt {3(1-u)}}{2} $,$if 0.25 \leq x<1 $ } \\ \end{cases}$

重复m次逆变换采样以下步骤：从Uniform(0,1)中随机生成一个值，用 u 表示。计算反函数$F^{(-1)}(u) $的值 x，则x 就是从$ f(x) $中得出的一个采样点。最终将采样点图像（蓝色）与实际密度函数（红色）比较，得图如下：

可以看到两条线几乎重合，这表明逆变换采样可以很好的模拟出某些复杂分布。

存在问题：

逆变换采样有求解累积分布函数和反函数这两个过程，而有些分布的概率分布函数可能很难通过对概率密度p(x)的积分得到，再或者概率分布函数的反函数也很不容易求。这个时候应该怎么办呢？此时提出了拒绝采样的解决方案。

（二）拒绝采样

欲对逆变换采样不再适用的密度函数$p(x)$采样，如果能找到另外一个概率密度为 $q(x)$的函数，它相对容易采样。如采用逆变换采样方法可以很容易对$q(x)$进行采样，甚至$q(x)$就是计算机可以直接模拟的均匀分布。此时我们可直接对$q(x)$采样，然后按照一定的方法拒绝某些样本，达到接近$p(x)$分布的目的。

步骤

当我们将$q(x)$与一个常数 K 相乘之后，可以实现下图所示之关系，即 K⋅q(x)将p(x)完全“罩住”：p(x) ≤Kq(x)。重复以下步骤抽样：

•x 轴方向：从q(x)分布抽样得到$Z_0$。

•y 轴方向：从均匀分布$（0,Kq(Z_0))$中抽样得到$u_0 $。

•如果刚好落到灰色区域，否则接受这次抽样： $u_0 $> $p(Z_0)$, 拒绝该样本。

•重复以上过程。

举例：利用拒绝采样计算$\pi$值

如图所示，阴影区域有一个边长为1的正方形，正方形里有一个半径为1的1/4圆。则有：S(1/4圆）= 1/4πR^2= 1/4π；S(正方形）=1。现在对这个正方形随机取点，某点到原点的距离小于1,则说明它在1/4圆内。可以认为，落在圆内的次数/取点总次数=1/4圆的面积/正方形的面积。即：

$\pi=4*s(正方形)*\frac{落在圆内的次数}{取点总次数}$

随着采样点的增多，最后的结果π会越精准。

这里也就是用到了拒绝采样的思想。要计算$\pi$值，即寻求对圆这个复杂分布抽样，圆不好搞定，于是我们选择了一个相对容易的正方形分布，在对正方形随机取点的时候，如果某点到原点的距离小于1,则说明它在1/4圆内，接受这个样本，否则拒绝它。
而抽样的时候；

基于以上思想我们可以利用计算机建模。

（三）马尔科夫链

马尔科夫链就是第二个MC:Markov Chain。定义为：根据概率分布，可以从一个状态转移到另一个状态，但是状态转移之间服从马氏性的一种分布。

解释一下定义中提到的两个名词：

马氏性：状态转移的概率只依赖与他的前一状态。数学表达为:$P(Xn+1=k|Xn=kn,Xn−1=kn−1,…,X1=k1)=P(Xn+1=k|Xn=kn)$
**状态转移：**状态的改变叫做转移(状态可以向自身转移），与不同的状态改变相关的概率叫做转移概率。$q(i,j)=q(j|i)=q(i→j)：$表示状态 i转移到状态j的概率。

如在天气事件中，由前天的下雨转移到昨天的多云，昨天的多云转变到今天的艳阳天。这里所说的下雨、多云、艳阳天都是一种状态。从下雨转移到多云，称之为状态转移。而今天的艳阳天只与昨天的多云有关，与前天的天气没有半点关系，这就是所谓马氏性。

案例

社会学家经常把人按其经济状况分成三类：下、中、上层；我们用1,2,3分别代表这三个阶层（对应于马氏链中环境下的三个状态）。如果一个人的收入属于下层类别，则他的孩属于下层收入的概率是0.665，属于中层的概率是0.28，属于上层的概率是0.07。这里汇总了阶层收入变化的转移概率如下图所示：

状态转移的概率只依赖与他的前一状态，也就是考察父代为第i层则子代为第j层的概率。

由此得出转移概率矩阵：
$\left[ \begin{matrix} 0.65 & 0.28 & 0.07\\ 0.15 & 0.67 & 0.18\\ 0.12 & 0.36 & 0.52 \end{matrix} \right]$
给定当前这一代人处于下、中、上层的概率分布向量是：$\pi_0=(\pi_0(1),\pi_0(2),\pi_0(3))$，那么他们的子女的分布比例将是$\pi_1=\pi_0P$,孙子代的分布比例将是$\pi_2=\pi_1P=\pi_0P^2$,以此类推,第n代的分布比例将是$\pi_n=\pi_0P^n$.

显然，第n+1代中处于第j个阶层的概率为：

$\pi(X_{n+1}=j)=\sum_{i=0}^{n}\pi(X_{n}=i).P(X_{n+1}=j|X_n=i)$

给定初始概率$\pi_0=(0.21,0.68,0.11)$，即第0代的时候各阶层占比是(0.21,0.68,0.11)。显然由此公式我们可以分别计算第一代的第1、2、3阶层的占比，第二代的第1、2、3阶层的占比，…。

如：计算第一代的第1阶层的占比为：$0.21*.65+0.68*0.15+0.11*0.12=0.2517\approx0.252$

以此类推，各代各阶层的占比如下：

可以看到，从第5代开始，各阶层的分布就稳定不变了。这个是偶然的吗？如若不是，那是初始概率决定的还是转移概率矩阵决定的呢？接下来验证一下。

换一个初始概率$\pi_0=(0.75,0.15,0.1)$，迭代结果如下：

我们发现，到第9代的时候，分布又收敛了，而且收敛的分布都是$\pi=(0.286,0.489,0.225)$,也就是说收敛的分布与初始概率无关。

这里还有一个神奇的地方：我们计算一下转移矩阵P的n次幂，发现：

$P^20=P^21=⋯=P^100=P^n= \left[ \begin{matrix} 0.286 & 0.489 & 0.225\\ 0.286 & 0.489 & 0.225\\ 0.286 &0.489 & 0.225 \end{matrix} \right]$
也就是说，当n足够大的时候，$P^n$矩阵每一行都收敛到$\pi=(0.286,0.489,0.225)$这个概率分布。于是关于马氏链我们有定理如下：
定理一：（马氏链的平稳分布）
如果一个非周期马氏链具有概率转移矩阵 P，且它的任何两个状态都是连通的，则
${\lim_{n\to\infty}}P_{ij}^n$存在且与 i 无关（也即矩阵 P^n 的每一行元素都相同），记${\lim_{n\to\infty}}P_{ij}^n=\pi(j)$，我们有：
（1） ${\lim_{n\to\infty}}P^n= \left[ \begin{matrix} \pi(1) &...& \pi(n) \\ ...&...&...\\ \pi(1) &...& \pi(n) \end{matrix} \right]$
（2）$π(j)=∑_0^∞ π(i)P^{ij} 也即 π=πP。$
（3）π 是方程 π=πP 的唯一非负解。
其中，$π=[π(1),π(2),⋯,π(j),⋯]，∑_0^∞π(i)=1$（符合概率上对分布的要求），π 称为马氏链的平稳分布。

**定理二（细致平稳条件） **
如果非周期马氏链的转移矩阵$ P和分布 π(x)满足： π(i) P^ij= π(j)P^ji，则 π(x)是马氏链的平稳分布，上式被称为细致平稳条件。$
以上两个定理极其重要，是MCMC理论不可缺少的理论基础。

（四）从马尔科夫链到抽样

对于给定的概率分布$π(x)$，我们希望有快捷的方式生成它对应的样本。由于马氏链能收敛到平稳分布，于是一个很漂亮的想法是：如果我们能够构造一个转移矩阵为 P的马氏链，使得该马氏链的平稳分布恰好是 $π(x)$，那么我们从任何一个初始状态出发沿着马氏链转移，得到一个转移序列$ x_1,x_2,…,x_n,x_(n+1),…，$如果马氏链在第 n 步已经收敛了，于是$ x_1,x_2,…,x_n,x_(n+1),…$自然是分布$π(x)$的样本。
马氏链的收敛性质主要有转移矩阵 P决定，所以基于马氏链做采样（比如MCMC）
的关键问题是如何构造转移矩阵，使得其对应的平稳分布恰是我们需要的分布 $π(x)$。
####MCMC采样
根据细致平稳理论，只要我们找到了可以使概率分布$π(x)$满足细致平稳分布的矩阵P即可。这给了我们寻找从平稳分布π, 找到对应的马尔科夫链状态转移矩P的新思路。
假设我们已经有一个转移矩阵为Q的马氏链。$q(i,j)$表示状态 i转移到状态j的概率.通常情况下，细致平稳条件不成立，即：
$p(i)q(i,j)≠p(j)q(j,i)$
对上式改造使细致平稳条件成立：引入一个α(i,j)和α(j,i) ，并让等式两端取等：
$p(i)q(i,j)α(i,j)=p(j)q(j,i)α(j,i)$
问题是什么样的α(i,j)和α(j,i)可以使等式成立呢？按照对称性，可以取：
$α(i,j)=p(j)q(j,i)$
$α(j,i) =p(i)q(i,j)$
所以我们改造后的马氏链$Q’$如下。并且$Q’$恰好满足细致平稳条件，所以马氏链$Q’$的平稳分布就是$P(x)$。

步骤
（1）初始化马氏链初始状态$X_0= x_0$
（2）对$t=0,1,2,3,…$循环一下过程进行采样：
第$t$时刻马氏链状态为$X_t=x_t$，采样$y \sim q(x|x_(t))$；
从均匀分布采样$u \sim Uniform[0,1]；$
如果$u<α(x_t,y)=p(y)q(x_t│y) ,$则接受 $x_t \to y，$即$x_{t+1)} \to y$；否则不接受概率转移，即$X_{t+1}=x_t。$

（五）Metropolis-Hastings采样

以上过程不论是离散或是连续分布，都适用。
以上的MCMC采样算法已经能正常采样了，但是马氏链Q在转移的过程中的接受率α(i,j)可能偏小，这样我们会拒绝大量的跳转，这使得收敛到平稳分布的速度太慢。有没有办法提升接受率呢？
我们回到MCMC采样的细致平稳条件：
$p(i)q(i,j)α(i,j)=p(j)q(j,i)α(j,i)$
我们采样效率低的原因是$α(i,j)α(i,j)$太小了，比如为$α (j,i)为0.1，而α(j,i)$为0.2。即：
$p(i)q(i,j)*0.1=p(j)q(j,i)*0.2$
这时我们可以看到，如果两边同时扩大五倍，接受率提高到了0.5，但是细致平稳条件却仍然是满足的，即：
$p(i)q(i,j)*0.5=p(j)q(j,i)*0.2$
这样我们的接受率可以做如下改进，即：
$α(i,j)=min\{\frac{p(j)q(j│i)}{p(i)p(i│j )},1\}$
此时便得到了常见的$Metropolis-Hastings$采样算法。
步骤
（1）初始化马氏链初始状态$X_0= x_0$
（2）对$t=0,1,2,3,…$循环一下过程进行采样：
第t时刻马氏链状态为$X_t=x_t$，采样$y \sim q(x|x_(t))$；
从均匀分布采样$u \sim Uniform[0,1]；$
如果$ u<α(x_t,y)=min{\frac{p(j)q(j│i)}{p(i)p(i│j )},1} $,则接受 $ x_t \to y$,即$x_{t+1} \to y$；否则不接受概率转移，即$X_{t+1}=x_t。$
以上M-H算法只针对低维的情况，对于高维情况，我们采用Gibbs采样。

（六）Gibbs采样

对于高维情况，我们采用Gibbs采样。
以二维为例，假设$ p(x,y)$是一个二维联合数据分布，考察x坐标相同的两个点$A(x1,y1) 和B(x1,y2)$，容易发现下面两式成立：
$p(x_1,y_1 )p(y_2│x_1 )=p(x_1 )p(y_1│x_1 )p(y_2 |x_1)$
$p(x_1,y_2 )p(y_1│x_1 )=p(x_1 )p(y_2│x_1 )p(y_1 |x_1)$
所以得到：$p(x_1,y_1 )p(y_2│x_1 )=p(x_1,y_2 )p(y_1│x_1 )$
即：$p(A)p(y2│x_1 )=p(B)p(y_1│x_1 )$
观察上式再观察细致平稳条件的公式，我们发现在$x=x1$这条直线上，如果用条件概率分布$p(y|x1) $作为马尔科夫链的状态转移概率，则任意两个点之间的转移满足细致平稳条件！ 同样$,y=y1$这条直线上，取两点$A(x1,y1),C(x2,y1)$也有如下等式：

基于上面的发现，我们可以构造平面上两点之间的转移概率矩阵Q：
$Q(A→B)=p(y_{B}│x_1 ) \quad if x_A=x_B=x_1$
$Q(A→C)=p(x_c│x_1 ) \quad if y_A=y_c=y_1$
$Q(A→D)=0 \quad otherwise$
有了上面这个状态转移矩阵，我们很容易验证平面上的两点X,Y，满足细致平稳条件。
$p(X)Q(X→Y)=p(Y) Q(Y→X)$
于是这个二维空间上的马氏链收敛到平稳分布$p(x,y).$于是可以得到二维Gibbs采样的步骤：
随机初始化$X_0=x_0，Y_0=y_0$
对$t=0,1,2,````$循环采样：
$y_(t+1)\sim p(y|x_t);$
$x_(t+1)\sim p(x|y_(t+1));$
以上采样，马氏链的转移只是轮换的沿着坐标轴x轴和y轴做转移，于是得到样本$(x_0,y_0 ),(x_0,y_1 ),(x_1,y_1 ),(x_1,y_2 ),(x_2,y_2 ),…，$马氏链收敛以后得到的样本就是P(x,y)的样本了。但其实坐标轴轮换不是强制要求的最一般的情形可以是，在t时刻，可以在x轴和y轴之间随机的选一个坐标轴，然后按条件概率转移，马氏链一样可以收敛。轮换两个坐标轴只是一种简便形式。
以上二维推广到高维的情形，即$x_1变到多维x_1$，推导过程不变，细致平稳条件依然成立：
$p(x_1,y_1 )p(y_2│x_1 )=p(x_1,y_2 )p(y_1│x_1 )$
此时转移矩阵Q由条件分布$p(y│x_1 )$定义。

Gibbs采样步骤
（1）随机初始化{x_i:i=1,…,n}
（2）对t=0,1,2,…循环采样：
${x_1}^{(t+1)}\sim p(x_1 |x_2^{t)} ,x_3^{(t)},…,x_n^{(t)})$
$x_2^{(t+1)}\sim p(x_2 |x_1^{(t+1)},x_3^{(t)},…,x_n^{(t)})$
$···$
$x_j^{(t+1)}\sim p(x_j |x_2^{(t+1)},...,x_{j-1}^{(t+1)},x_j^{(t)},…,x_n^{(t)})$
$···$
$x_n^{(t+1)}\sim p(x_n |x_1^{(t+1) },x_2^{(t+1) },…,x_{n-1}^{(t+1) })$

#二、主题模型与MCMC采样
回顾一下主题模型步骤：
0、 首先随机地给每个词分配一个主题，之后按以下1、2步骤更新主题；
求某一个词$w_i$对应主题特征z_i的条件概率分布$p(z_i=k|\vec w, \vec z_{-i})$。其中，$ \vec z_{-i}$代表去掉下标为i的词后的主题分布。条件概率分布$p(z_i=k|\vec w, \vec z_{-i})$，我们就可以进行Gibbs采样，最终在Gibbs采样收敛后得到第i个词的主题。采样得到了所有词的主题,那么通过统计所有词的主题计数，就可以得到各个主题的词分布。接着统计各个文档对应词的主题计数，就可以得到各个文档的主题分布。 在上一节介绍LDA主题模型的时候得到了生成整个语料库的联合分布概率。我们知道，在概率论中，如果得到了联合分布，则能很轻易地得到条件分布、边缘分布。那么今天我们就由联合分布 去求条件分布$p(z_i=k|\vec w, \vec z_{-i})$
求解条件分布$p(z_i=k|\vec w, \vec z_{-i})$

对于下标i,由于它对应的词wi是可以观察到的，所以， $p(z_i=k|\vec w, \vec z_{-i})∝p(z_i=k,w_i=t |\vec w_{-i}, \vec z_{-i}) $，对于$z_i=k, w_i=t,$它只涉及到第d篇文档和第k个主题两个Dirichlet-multi共轭，即：

于是有：

再由Dirichlet期望公式可得：

有了这个公式，我们就可以用Gibbs采样去采样所有词的主题，当Gibbs采样收敛后，即得到所有词的采样主题。采样得到了所有词的主题,那么通过统计所有词的主题计数，就可以得到各个主题的词分布。接着统计各个文档对应词的主题计数，就可以得到各个文档的主题分布。
应用于LDA的Gibbs采样算法流程：
1)选择合适的主题数K, 选择合适的超参数向量α,η
2） 对应语料库中每一篇文档的每一个词，随机的赋予一个主题编号z
3) 重新扫描语料库，对于每一个词，利用Gibbs采样公式更新它的topic编号，并更新语料库中该词的编号。
4） 重复第2步的基于坐标轴轮换的Gibbs采样，直到Gibbs采样收敛。
5） 统计语料库中的各个文档各个词的主题，得到文档主题分布θ_d，统计语料库中各个主题词的分布，得到LDA的主题与词的分布β_k。

参考文献：

博客：http://blog.csdn.net/u010159842/article/details/48637095
https://www.cnblogs.com/pinard/p/6867828.html
http://blog.csdn.net/baimafujinji/article/details/51407703
《LDA数学八卦》