原码,反码和补码
原码,反码和补码
一. 机器数和机器数的真值
在学习原码,反码和补码之前, 需要先了解机器数和真值的概念。
1、机器数
一个数在计算机中的二进制表示形式,叫做这个数的机器数。机器数是带符号的,在计算机用机器数的最高位存放符号,正数为0,负数为1。
比如,十进制中的数 +3 ,计算机字长为8位,转换成二进制就是0000 0011。如果是 -3 ,就是 100 00011 。
那么,这里的 0000 0011 和 1000 0011 就是机器数。
2、机器数的真值
因为第一位是符号位,所以机器数的形式值就不等于真正的数值。
例如上面的有符号数 1000 0011,其最高位1代表负,其真正数值是 -3,而不是形式值131(1000 0011转换成十进制等于131)。所以,为区别起见,将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。
例:0000 0001的真值 = +000 0001 = +1,1000 0001的真值 = –000 0001 = –1
二. 原码, 反码, 补码的基础概念和计算方法
在探求为何机器要使用补码之前,让我们先了解原码、反码和补码的概念。对于一个数,计算机要使用一定的编码方式进行存储,原码、反码、补码是机器存储一个具体数字的编码方式。
- 原码
原码就是符号位加上真值的绝对值,即用第一位表示符号,其余位表示值。比如:如果是8位二进制:
[+1]原= 0000 0001
[-1]原= 1000 0001
第一位是符号位,因为第一位是符号位,所以8位二进制数的取值范围就是:(即第一位不表示值,只表示正负。)
[1111 1111 , 0111 1111]
即
[-127 , 127]
原码是人脑最容易理解和计算的表示方式。
- 反码
反码的表示方法是:
正数的反码是其本身;
负数的反码是在其原码的基础上,符号位不变,其余各个位取反。
[+1] = [0000 0001]原= [0000 0001]反
[-1] = [1000 0001]原= [1111 1110]反
可见如果一个反码表示的是负数,人脑无法直观的看出来它的数值。通常要将其转换成原码再计算。
- 补码
补码的表示方法是:
正数的补码就是其本身;
负数的补码是在其原码的基础上,符号位不变,其余各位取反,最后+1。(也即在反码的基础上+1)
[+1] = [0000 0001]原= [0000 0001]反= [0000 0001]补
[-1] = [1000 0001]原= [1111 1110]反= [1111 1111]补
对于负数,补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的。通常也需要转换成原码再计算其数值。
三. 为何要使用原码、反码和补码
在开始深入学习前,我的学习建议是先"死记硬背"上面的原码,反码和补码的表示方式以及计算方法。
现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数,对于正数因为三种编码方式的结果都相同:
[+1] = [0000 0001]原= [0000 0001]反= [0000 0001]补
所以不需要过多解释,但是对于负数:
[-1] = [10000001]原= [11111110]反= [11111111]补
可见原码,反码和补码是完全不同的。既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式,为何还会有反码和补码呢?
首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位,在计算的时候我们会根据符号位,选择对真值区域的加减。(真值的概念在本文最开头) 但是对于计算机,加减乘数已经是最基础的运算,要设计的尽量简单,计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂!
于是人们想出了将符号位也参与运算的方法。我们知道,根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数,即:1-1 = 1 + (-1) = 0, 所以机器可以只有加法而没有减法,这样计算机运算的设计就更简单了。
于是人们开始探索将符号位参与运算,并且只保留加法的方法。
首先来看原码:
计算十进制的表达式: 1 - 1 = 0
1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原+ [1000 0001]原= [1000 0010]原= -2
如果用原码表示,让符号位也参与计算,显然对于减法来说,结果是不正确的。这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数。
为了解决原码做减法的问题, 出现了反码:
计算十进制的表达式:1 - 1 = 0
1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原+ [1000 0001]原= [0000 0001]反+ [1111 1110]反= [1111 1111]反= [1000 0000]原= -0
发现用反码计算减法,结果的真值部分是正确的。而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上,虽然人们理解上+0和-0是一样的,但是0带符号是没有任何意义的,而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0。
于是补码的出现,解决了0的符号问题以及0的两个编码问题:
1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原+ [1000 0001]原= [0000 0001]补+ [1111 1111]补= [1 0000 0000]补=[0000 0000]补=[0000 0000]原注意:进位1不在计算机字长里。
这样0用[0000 0000]表示,而以前出现问题的-0则不存在了。而且可以用[1000 0000]表示-128:-128的由来如下:
(-1) + (-127) = [1000 0001]原+ [1111 1111]原= [1111 1111]补+ [1000 0001]补= [1000 0000]补
-1-127的结果应该是-128,在用补码运算的结果中,[1000 0000]补就是-128,但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128,所以-128并没有原码和反码表示。(对-128的补码表示[1000 0000]补,算出来的原码是[0000 0000]原,这是不正确的)
使用补码,不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题,而且还能够多表示一个最低数。这就是为什么8位二进制,使用原码或反码表示的范围为[-127, +127],而使用补码表示的范围为[-128, 127]。
因为机器使用补码,所以对于编程中常用到的有符号的32位int类型,可以表示范围是: [-231, 231-1] 因为第一位表示的是符号位,而使用补码表示时又可以多保存一个最小值。
四 原码, 反码, 补码 再深入
计算机巧妙地把符号位参与运算,并且将减法变成了加法,背后蕴含了怎样的数学原理呢?
将钟表想象成是一个1位的12进制数。如果当前时间是6点,我希望将时间设置成4点,需要怎么做呢?我们可以:
-
往回拨2个小时:6 - 2 = 4
-
往前拨10个小时:(6 + 10) mod 12 = 4
-
往前拨10+12=22个小时:(6+22) mod 12 =4
上面2,3方法中的mod是指取模操作,16 mod 12 =4,即用16除以12后的余数是4。
所以钟表往回拨(减法)的结果可以用往前拨(加法)替代!
现在的焦点就落在了如何用一个正数,来替代一个负数呢?上面的例子我们能感觉出来一些端倪,发现一些规律。但是数学是严谨的,不能靠感觉。
首先介绍一个数学中相关的概念:同余
同余的概念
两个整数a,b,若它们除以整数m所得的余数相等,则称a,b对于模m同余。
记作 a ≡ b (mod m)
读作 a 与 b 关于模 m 同余。
举例说明:
4 mod 12 = 4
16 mod 12 = 4
28 mod 12 = 4
所以4,16,28对于模 12 同余。
负数取模
正数进行mod运算是很简单的,但是负数呢?
下面是关于mod运算的数学定义:
上面是截图,"取下界”符号找不到如何输入(word中粘贴过来后乱码)。下面是使用"L"和"J"替换上图的"取下界"符号:
x mod y = x - y L x / y J
上面公式的意思是:
x mod y等于 x 减去 y 乘上 x与y的商的下界。
以 -3 mod 2 举例:
-3 mod 2
= -3 - 2xL -3/2 J
= -3 - 2xL-1.5J
= -3 - 2x(-2)
= -3 + 4 = 1
所以:
(-2) mod 12 = 12-2=10 (-2) mod 12 = -2 - 12x[-2/12] = -2 - 12x(-1) = -2 + 12 = 10
(-4) mod 12 = 12-4 = 8 (-4) mod 12 = -4 - 12x[-4/12] = -2 -12x(-1) = -4 + 12 = 8
(-5) mod 12 = 12 - 5 = 7 (-5)mod 12 = -5 - 12x[-5/12] = -5 -12x(-1) = -5 + 12 = 7
开始证明
再回到时钟的问题上:
回拨2小时 = 前拨10小时
回拨4小时 = 前拨8小时
回拨5小时= 前拨7小时
注意,这里发现的规律!
结合上面学到的同余的概念,实际上:
(-2) mod 12 = 10
10 mod 12 = 10
-2与10是同余的。
(-4) mod 12 = 8
8 mod 12 = 8
-4与8是同余的。
距离成功越来越近了。要实现用正数替代负数,只需要运用同余数的两个定理:
反身性:
a ≡ a (mod m)
这个定理是很显而易见的。
线性运算定理:
如果a ≡ b (mod m),c ≡ d (mod m) 那么:
(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)
(2)a * c ≡ b * d (mod m)
所以:
7 ≡ 7 (mod 12)
(-2) ≡ 10 (mod 12)
7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12)
现在我们为一个负数,找到了它的正数同余数。但是并不是7-2 = 7+10,而是 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12) ,即计算结果的余数相等。
接下来回到二进制的问题上,看一下:2-1=1的问题。
2-1=2+(-1) = [0000 0010]原+ [1000 0001]原= [0000 0010]反+ [1111 1110]反
先到这一步,-1的反码表示是1111 1110。如果这里将[1111 1110]认为是原码,则[1111 1110]原 = -126,这里将符号位除去,即认为是126。
发现有如下规律:
(-1) mod 127 = 126
126 mod 127 = 126
即:
2 ≡ 2 (mod 127)
(-1) ≡ 126 (mod 127)
2-1 ≡ 2+126 (mod 127)
2-1 与 2+126的余数结果是相同的!而这个余数,正式我们的期望的计算结果:2-1=1
所以说一个数的反码,实际上是这个数对于一个模的同余数。而这个模并不是我们的二进制,而是所能表示的最大值!这就和钟表一样,转了一圈后总能找到在可表示范围内的一个正确的数值!
而2+126很显然相当于钟表转过了一轮,而因为符号位是参与计算的,正好和溢出的最高位形成正确的运算结果。
既然反码可以将减法变成加法,那么现在计算机使用的补码呢?为什么在反码的基础上加1,还能得到正确的结果?
2-1=2+(-1) = [0000 0010]原+ [1000 0001]原= [0000 0010]补+ [1111 1111]补
如果把[1111 1111]当成原码,去除符号位,则:
[0111 1111]原= 127
其实,在反码的基础上+1,只是相当于增加了模的值:
(-1) mod 128 = 127
127 mod 128 = 127
2 ≡ 2 (mod 127)
2-1 ≡ 2+127 (mod 128)
此时,表盘相当于每128个刻度转一轮。所以用补码表示的运算结果最小值和最大值应该是[-128, 128]。
但是由于0的特殊情况,没有办法表示128,所以补码的取值范围是[-128, 127]
原文:
https://zhuanlan.zhihu.com/p/91967268
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2024/5/7 16:05:05 - 【NGINX--1】基础知识
1、在 Debian/Ubuntu 上安装 NGINX 在 Debian 或 Ubuntu 机器上安装 NGINX 开源版。 更新已配置源的软件包信息,并安装一些有助于配置官方 NGINX 软件包仓库的软件包: apt-get update apt install -y curl gnupg2 ca-certificates lsb-release debian-…...
2024/5/7 16:04:58 - Hive默认分割符、存储格式与数据压缩
目录 1、Hive默认分割符2、Hive存储格式3、Hive数据压缩 1、Hive默认分割符 Hive创建表时指定的行受限(ROW FORMAT)配置标准HQL为: ... ROW FORMAT DELIMITED FIELDS TERMINATED BY \u0001 COLLECTION ITEMS TERMINATED BY , MAP KEYS TERMI…...
2024/5/8 1:37:32 - 【论文阅读】MAG:一种用于航天器遥测数据中有效异常检测的新方法
文章目录 摘要1 引言2 问题描述3 拟议框架4 所提出方法的细节A.数据预处理B.变量相关分析C.MAG模型D.异常分数 5 实验A.数据集和性能指标B.实验设置与平台C.结果和比较 6 结论 摘要 异常检测是保证航天器稳定性的关键。在航天器运行过程中,传感器和控制器产生大量周…...
2024/5/7 16:05:05 - --max-old-space-size=8192报错
vue项目运行时,如果经常运行慢,崩溃停止服务,报如下错误 FATAL ERROR: CALL_AND_RETRY_LAST Allocation failed - JavaScript heap out of memory 因为在 Node 中,通过JavaScript使用内存时只能使用部分内存(64位系统&…...
2024/5/8 1:37:31 - 基于深度学习的恶意软件检测
恶意软件是指恶意软件犯罪者用来感染个人计算机或整个组织的网络的软件。 它利用目标系统漏洞,例如可以被劫持的合法软件(例如浏览器或 Web 应用程序插件)中的错误。 恶意软件渗透可能会造成灾难性的后果,包括数据被盗、勒索或网…...
2024/5/8 1:37:31 - JS原型对象prototype
让我简单的为大家介绍一下原型对象prototype吧! 使用原型实现方法共享 1.构造函数通过原型分配的函数是所有对象所 共享的。 2.JavaScript 规定,每一个构造函数都有一个 prototype 属性,指向另一个对象,所以我们也称为原型对象…...
2024/5/7 11:08:22 - C++中只能有一个实例的单例类
C中只能有一个实例的单例类 前面讨论的 President 类很不错,但存在一个缺陷:无法禁止通过实例化多个对象来创建多名总统: President One, Two, Three; 由于复制构造函数是私有的,其中每个对象都是不可复制的,但您的目…...
2024/5/8 9:51:44 - python django 小程序图书借阅源码
开发工具: PyCharm,mysql5.7,微信开发者工具 技术说明: python django html 小程序 功能介绍: 用户端: 登录注册(含授权登录) 首页显示搜索图书,轮播图࿰…...
2024/5/8 1:37:29 - 电子学会C/C++编程等级考试2022年03月(一级)真题解析
C/C++等级考试(1~8级)全部真题・点这里 第1题:双精度浮点数的输入输出 输入一个双精度浮点数,保留8位小数,输出这个浮点数。 时间限制:1000 内存限制:65536输入 只有一行,一个双精度浮点数。输出 一行,保留8位小数的浮点数。样例输入 3.1415926535798932样例输出 3.1…...
2024/5/7 17:09:45 - 配置失败还原请勿关闭计算机,电脑开机屏幕上面显示,配置失败还原更改 请勿关闭计算机 开不了机 这个问题怎么办...
解析如下:1、长按电脑电源键直至关机,然后再按一次电源健重启电脑,按F8健进入安全模式2、安全模式下进入Windows系统桌面后,按住“winR”打开运行窗口,输入“services.msc”打开服务设置3、在服务界面,选中…...
2022/11/19 21:17:18 - 错误使用 reshape要执行 RESHAPE,请勿更改元素数目。
%读入6幅图像(每一幅图像的大小是564*564) f1 imread(WashingtonDC_Band1_564.tif); subplot(3,2,1),imshow(f1); f2 imread(WashingtonDC_Band2_564.tif); subplot(3,2,2),imshow(f2); f3 imread(WashingtonDC_Band3_564.tif); subplot(3,2,3),imsho…...
2022/11/19 21:17:16 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机...
win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”问题的解决方法在win7系统关机时如果有升级系统的或者其他需要会直接进入一个 等待界面,在等待界面中我们需要等待操作结束才能关机,虽然这比较麻烦,但是对系统进行配置和升级…...
2022/11/19 21:17:15 - 台式电脑显示配置100%请勿关闭计算机,“准备配置windows 请勿关闭计算机”的解决方法...
有不少用户在重装Win7系统或更新系统后会遇到“准备配置windows,请勿关闭计算机”的提示,要过很久才能进入系统,有的用户甚至几个小时也无法进入,下面就教大家这个问题的解决方法。第一种方法:我们首先在左下角的“开始…...
2022/11/19 21:17:14 - win7 正在配置 请勿关闭计算机,怎么办Win7开机显示正在配置Windows Update请勿关机...
置信有很多用户都跟小编一样遇到过这样的问题,电脑时发现开机屏幕显现“正在配置Windows Update,请勿关机”(如下图所示),而且还需求等大约5分钟才干进入系统。这是怎样回事呢?一切都是正常操作的,为什么开时机呈现“正…...
2022/11/19 21:17:13 - 准备配置windows 请勿关闭计算机 蓝屏,Win7开机总是出现提示“配置Windows请勿关机”...
Win7系统开机启动时总是出现“配置Windows请勿关机”的提示,没过几秒后电脑自动重启,每次开机都这样无法进入系统,此时碰到这种现象的用户就可以使用以下5种方法解决问题。方法一:开机按下F8,在出现的Windows高级启动选…...
2022/11/19 21:17:12 - 准备windows请勿关闭计算机要多久,windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机怎么办...
有不少windows10系统用户反映说碰到这样一个情况,就是电脑提示正在准备windows请勿关闭计算机,碰到这样的问题该怎么解决呢,现在小编就给大家分享一下windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机的具体第一种方法:1、2、依次…...
2022/11/19 21:17:11 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...
今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后,每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面,提示请勿关闭计算机”,每次停留好几分钟才能正常关机,导致什么情况引起的呢?出现配置Windows Update…...
2022/11/19 21:17:10 - 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...
只能是等着,别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚,只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一:管理员运行cmd:net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57