线性代数应该这样学读后感
开始
线代考试大概是9初,之前学的云里雾里,最近我又重新看了一遍,总结了我学了以后有关的想法,希望能和大家探讨。
虽然前面很罗嗦,但是全部看下来,整本书的思路很清晰,就是寻找能够让算子的矩阵简单表示的基。
需要注意的一些点:
- 讨论的是复空间上的(说实话,实化这部分我没看明白,还得好好理解)。
- 算子:就是从映射到的线性映射,简单来说就是值域定义域相同
- 的意思是以为定义域的映射。因为很多时候定理是否成立和定义域以及映射本身都有关,于是用这个记号。
第一个矩阵是上三角阵。
所有复空间的算子都能找到一组基,使其有上三角表示。
这里的证明方法很巧妙,构造了一个空间先证明这个空间成立,再证明由这个空间张成的基也成立。
构造的方法是找到的基,然后一个一个扩张为的基。
由于施密特法正交化,使得产生的规范正交基张成的空间和原来向量张成空间一样,所以复空间上算子可以更好的表示为一组规范正交基和上三角阵,这就是著名的舒尔定理。
第二个矩阵是对角阵。
条件是复空间的正规算子(复谱定理),实空间的自伴算子才有(实谱定理)。
原因是正规算子有,然后根据伴随的矩阵是共轭转置,可以发现上三角转置以后下面变成了,两个一对应就知道只有主对角元不是
对角阵对应的基是本征向量,由于可以用施密特法规范化,所以也可以写成规范正交基。
可以说,这个方法除了要求比较严格以外,向量和矩阵都很容易求。
第三个矩阵是方块对角阵
由于对角阵要求太高,于是退而求其次,找到了一个对角元素都是上三角矩阵,其他元素都是的矩阵。
称为广义本征向量,每个小矩阵就是广义本征空间。
具体算的方法是可以求出本征值对应的基,每个本征值对应的基可以写成一个小矩阵,矩阵的秩就是本征值的重数,对角线的元素也就是本征值,对角线以上元素需要自己算。
第四个矩阵是若尔当形(有的地方叫约当标准型)
发现幂零算子的矩阵可以化简为主对角线上部分是,其他部分都是的矩阵,而广义本征空间上是幂零的(广义本征向量的定义就是使的某个次幂映射后为的向量,因此广义本征空间可以使是幂零映射),每个小矩阵可以写为小的若尔当形,最后组合成大的若尔当形。
总结
书中其他的内容感觉就是为上面这四步做理论基础。书上很多证明还是很巧妙的,就是不知道考试怎么考。
我总结了书上的一些定理什么的,可惜由于是截图用markdown写的,所以传上来图片都没了,如果想看看的朋友可以私信我。
最后祝大家门门满绩!
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