一文弄懂递归
什么是递归?什么是递归回溯?如何使用递归?
注:本文默认对递归有一定了解,所以刚开始会 cover 一些简单的例子
一、何为递归
何为递归?程序反复调用自身即是递归。
用数学代入法来理解就好。
假设我们用递归来算阶乘 f(n)
f(n) = n * f(n-1)
f 里面用到了 f, 怎么理解呢?
很简单,把式子展开即可:
f(6)
=> 6 * f(5)
=> 6 * (5 * f(4))
=> 6 * (5 * (4 * f(3)))
=> 6 * (5 * (4 * (3 * f(2))))
=> 6 * (5 * (4 * (3 * (2 * f(1)))))
=> 6 * (5 * (4 * (3 * (2 * 1))))
=> 6 * (5 * (4 * (3 * 2)))
=> 6 * (5 * (4 * 6))
=> 6 * (5 * 24)
=> 6 * 120
=> 720
看到递归了吗?
先递进,再回归——这就是「递归」。
二、递归的重要组成部分
明白了什么是递归之后,我们就要从一个抽象的层面上来对他抽丝剥茧,究竟什么构成了一个递归?
首先,要继续接下面的内容,我们需要引入一个概念——栈帧 (stack frame)。我们可以把栈帧简单理解成一层层的盒子,每当我们调用一次函数,关于该函数的调用以及返回地址就会被放到栈帧的顶上。拿阶乘举例,我们最后画出来的栈帧就是这样的:
我们可以看到在栈帧的顶上是f(1),到这个时候我们就没有去计算所谓的f(0)了。这是因为我们现在到了一个递归的终止条件。顾名思义,当到这个地方时阶乘就不会继续往下,因为没有了意义。
第二步,我们要明白每一层要给上一层提供什么信息。继续看阶乘的算法,我们可以发现,每一层都会返回一个n * f(n-1)。其中这个就是我们留下来的信息,而这个信息就会被逐步返回,直到返回第一层。这也叫做 recursive case。也就是没有到终止条件时,递归会做什么。
总的来说,有两个条件在递归中非常重要:
- 递归的终止条件
- 没有到终止条件时做的事情
三、递归的例子
接下来我们看一下如何真正的实现一个递归:
阶乘
首先,阶乘是递归的一个经典问题,因为我们已经发现了阶乘的递推的公式
f(n) = n * f(n-1)
所以我们很快就可以写出如下代码:
int factorial(int n){if(n == 0){return 1;}return n * factorial(n - 1);
}
简单分析一下,我们的递归结束条件就是 n == 0,因为在这里我们没有继续再调用自己往下算了。
接着,我们也实现了我们在递归时要做的东西,即n * f(n - 1)。可以想象一下,没有这一部分,我们是没有办法能够把这个阶乘问题划分成更小的子问题的。所以这一部分是必须有的。
所以,一个非常重要的点就是,你要确保你的函数在每次递归之后,都能够解决一点原来的问题。这也叫做问题的分解,这也是递归的精髓所在——将原问题不断拆分为与原问题等价的小问题。
斐波那契数列
斐波那契数列的是这样一个数列 :1、1、2、3、5、8、13、21、34...., 即第一项 f(1) = 1, 第二项 f(2) = 1....., 第 n 项目为 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。 求第 n 项的值是多少。
首先,我们拿到一个问题时,我们要确认递归的终止条件是什么,在这里我们可以发现,终止条件就是 f(1) = 1。因为到了这里之后,我们都不需要继续往下算了。但是我们同样也要处理 n == 2n==2 的情况,因为根据我们的递推公式,如果不处理 n == 2的情况,如果输入 2, 很明显我们调用一个 f(0)。 但是 f(0) 在斐波那契数列是不存在的,所以我们要特殊的处理这一部分。
所以我们可以先写出如下代码:
int f(int n){if(n == 1){return 1;}else if(n == 2){return 1;}//TODO: Fill this part
}
接着,我们需要知道什么是我们的递归要做的事情。我们可以发现,斐波那契数列也有一个很良心的递推公式,也就是 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。每一项会等于该项的前两项之和。
所以我们可以把上面的代码完善成这个:
int f(int n){if(n == 1){return 1;}else if(n == 2){return 1;}return f(n - 1) + f(n - 2);
}
这样我们就可以计算任何位置 n 的斐波那契数列。
回文
上面我们举了两个数字的例子,但是递归能处理的不仅仅是数字。它还可以解决字符串的问题【当然不仅仅是字符串】。
我们把一个字符串称之为回文,如果它有如下特性:该字符串正着读和反着读都是同一个字符串。比如 ,racecar, 正着读和反着读都是 racecar。
要解决这个问题,我们首先要明白什么是 “该字符串正着读和反着读都是同一个字符串”。我们可以看到,为什么 racecar 会是回文字符串,因为它的第一个字符与最后一个字符相同,第二个字符与倒数第二个字符相同……。所以,这就是回文的意义。
接着,我们要明白什么是我们的递归终止条件,这里我们先分类讨论一下:
① 针对奇数个字符的字符串
奇数个字符的字符串有个特点,就是我们有一个字符会不用比较。拿 racecar 举个例子:
r == r
a == a
c == c
但是,我们可以发现,我们不需要比较 e == e ,因为只有一个字符了,我们不需要比较。所以这就是奇数个字符的终止条件。
② 针对偶数个字符的字符串
但是针对偶数个字符的回文字符串,我们会把所有的字符都比较了,这也就意味着,我们不会有奇数个字符的字符串的那种“只剩中间一个字符”的情况。所以,针对偶数个字符的字符串,终止条件就是字符长度为 0.
弄明白了结束条件,我们就要看什么是递归条件。
其实我们前面也已经分析过了,我们需要比较第一个字符是否与最后一个字符相同,第二个字符与倒数第二个字符相同……这就是我们的递归要解决的问题。所以我们可以得到如下的代码:
bool isPalindrome(string s){if(s.length() == 1 || s == ""){return true;}return s[0] == s[s.length() - 1] && isPalindrome(s.substr(1, s.length() - 2));
}
这个函数可能乍一看比较难理解,但实际上就是我们首先比较了第一个字符是否与最后一个字符相同,接着我们从原来的字符提取了子字符串(去掉首尾各一个字符的字符串),然后把这个字符串作为参数再次调用了函数。
比如 ,racecar 提取子字符串,就会变成 aceca; 然后,第二轮再被提取子字符串,变成 cec……
至于为什么要用 && 来连接两个表达式:这是因为,我们要的是保证第一个字符与最后一个字符的同时,还要保证子字符串也是回文字符串,如果有任何一个地方出问题,那么整个字符串就肯定不是回文字符串。
汉诺塔
最后,我们来解决一个递归里比较复杂的问题,汉诺塔。这也是一个稍微偏向图形化的问题:
汉诺塔问题:古代有一个梵塔,塔内有三个座 A、B、C,A 座上有 64 个盘子,盘子大小不等,大的在下,小的在上。有一个和尚想把这个盘子从 A 座移到 B 座,但每次只能允许移动一个盘子,并且在移动过程中 ,3 个座上的盘子始终保持大盘在下,小盘在上。
① 如果只有 1 个盘子,则不需要利用 B 塔,直接将盘子从 A 移动到 C 。
② 如果有 2 个盘子,可以先将盘子 2 上的盘子 1 移动到 B ;将盘子 2 移动到 C ;将盘子 1 移动到 C 。这说明了:可以借助 B 将 2 个盘子从 A 移动到 C ,当然,也可以借助 C 将 2 个盘子从 A 移动到 B 。
③ 如果有 3 个盘子,那么根据 2 个盘子的结论,可以借助 C 将盘子 3 上的两个盘子从 A 移动到 B ;将盘子 3 从 A 移动到 C ,A 变成空座;借助 A 座,将 B 上的两个盘子移动到 C 。
④ 以此类推,上述的思路可以一直扩展到 n 个盘子的情况,将将较小的 n-1 个盘子看做一个整体,也就是我们要求的子问题,以借助 B 塔为例,可以借助空塔 B 将盘子 A 上面的 n-1 个盘子从 A 移动到 B ;将 A 最大的盘子移动到 C , A 变成空塔;借助空塔 A ,将 B 塔上的 n-2 个盘子移动到 A, 将 C 最大的盘子移动到 C, B 变成空塔。
所以,我们可以写出如下代码:
void moveTower(int n, char start, char finish, char tmp){if(n == 1){moveSingleDisk(start, finish); }moveTower(n - 1, start, tmp, finish); //借助finish柱子,把n-1个移动到tmp上moveSingleDisk(start, finish); //把最底下的那个移动到finish上moveTower(n - 1, tmp, finish, start); //借助start柱子,把n-1个移动到finish上
}
四、怎么理解递归
可能到回文字符串问题,或者是汉诺塔问题的时候,递归就变得有些难以理解了。一个最经常的问题就是,我怎么能够确保我的递归过程是对的?这常常会给初学递归的人一种烧脑的感觉,因为他们往往不够相信自己。
这里我们就要引入一个新的概念 —— Recursive leap of faith。
翻译成中文就是 递归信念的飞跃,简单来说就是相信你的递归会在每一层操作正确,而你自己只需要去关心,结束条件是否正确,我是否执行了正确的递归操作。
比如针对汉诺塔,我们不需要在纸上写每一层是怎么样的,每一次栈帧是怎么样的。我们只要明白:
- 当只剩一个的时候,我会把它从开始柱子移动到结束柱子
- 在有多个的时候,我会把 n - 1 个移动到临时的柱子上,然后把第 n 个移动到结束的柱子上,最后再把临时柱子上的 n - 1 个移动到结束的柱子上
可以看到,这么思考我们根本不需要关注细节,我们关注的只是抽象的步骤,以及递归的退出条件。这就已经足够了。
五、递归回溯
对于许多现实世界的问题,解决过程由一系列决策点组成,在这些决策点上,每个选择都会引导您沿着某个路径走得更远。
如果做出了正确的选择,最终程序就会得到解决方案。另一方面,如果你走到了死胡同,或者发现自己在某个地方做出了错误的选择,你就必须回到以前的决策点,尝试另一条不同的道路。使用这种方法的算法称为回溯算法。
这就是回溯——我们需要尝试所有的可能的“路径”,然后输出或者返回需要的内容。
传统的递归与递归回溯的对比如下:
下面我们来看一下递归回溯的例子。
六、递归回溯的例子
子集
首先最经典的一个模型就是子集。
问题:给一个集合,输出它的所有子集。
比如S = \{1, 2, 3\}S={1,2,3},它的子集就是:
\emptyset \\ \{1\}\\ \{2\}\\ \{3\}\\ \{1, 2\}\\ \{1, 3\}\\ \{2, 3\}\\ \{1, 2, 3\}\\∅{1}{2}{3}{1,2}{1,3}{2,3}{1,2,3}
问题就是我们怎么写一个程序来探索这些所有的可能性呢?
其实我们可以把这个问题转换一下,生成子集,实际上就是问你要不要保留某个元素。我们拿\{1, 2\}{1,2}的子集举一个例子,如图所示:
我们可以看到,子集实际上就是对每个位置的元素,你选择排除还是不排除。所以根据这个思路,我们可以继续思考这个问题。
首先,我们要确认退出条件。在不考虑优化的情况下,退出条件当然就是当集合没有元素可供你选择的时候,也就是空集的时候。
其次我们确定递归要干的事情——调用两次递归函数,一次结果包含某个元素,一次不包含这个元素
所以我们可以写出如下代码:
void subsetHelper(Set<string> s, Set<string> result){if(s.size() == 0){cout << result << endl;}string element = s.front(); //返回第一个元素;subsetHelper(s - element, result + element); // s - element 会返回一个不包含element的集合; result + element 会返回一个加入了 element 的集合subsetHelper(s - element, result); //不包含element
}
void subSet(Set<string> s){subsetHelper(s, {});
}
我们可以看到,这里我们写了两个函数,其中 subsetHelper
是主要的递归函数。这是因为,在递归回溯的问题里,我们往往需要使用多个参数来记录我们已经走过的路径,但是我们不希望使用这个函数的用户提供这些参数,所以我们只让他们来提供一个集合,而设计这个函数的人去提供额外的参数。
这也是回溯算法的一个特点——回溯算法往往需要通过构造另外一个辅助函数来帮忙解决问题。
如果你对这个问题的其它延伸问题感兴趣的话,可以去搜索子集问题,你可以发现很多利用到这个思考方式——包括/不包括 某个元素——的题目。
货币问题
货币问题是另一种运用递归回溯思想的题目:
在美国,就像在大多数国家一样,给任何总数的零钱最好的方法是使用一个贪婪的策略——找到面额最大但少于总数的硬币,给其中一个,然后重复。例如,在美国,支付给一个人 97 美分的现金,最好的策略是
give a half dollar (50¢ given, 47¢ remain), thengive a quarter (75¢ given, 22¢ remain), thengive a dime (85¢ given, 12¢ remain), thengive a dime (95¢ given, 2¢ remain), thengive a penny (96¢ given, 1¢ remain), thengive another penny (97¢ given, 0¢ remain).
This uses six total coins, and there’s no way to use fewer coins to achieve the same total.
然而,也有可能出现这种贪婪策略并不总是适用的硬币系统。例如,在一个奇怪的国家里,居民们出于某种奇怪的原因,决定使用 1、12、14、63 的面值。假设你需要返还 24 美分。最好的方法是返还 2 枚 12 美分的硬币。然而,在贪心策略下,总是选择面额小于总数的最大硬币,你会选择一个 14 美分的硬币和 10 个 1 美分的硬币,总共是 15 美分。这很糟糕!
你的任务是写一个递归函数int fewestCoinsFor(int cents, Set<int>& coins)
该函数接受需要支付的面额和一个国家使用的不同面值硬币的集合作为输入,然后返回完成付款的最小硬币数量。在美国硬币的情况下,这应该总是返回与贪心方法相同的数字,但在其他情况它可能返回比贪心算法更少的硬币数量!
这个问题用如下的三个函数就可以解决:
Set<int> possibleSet(int cents, Set<int> coins){Set<int> s;for(int i : coins){if(i <= cents){s.add(i);}}return s;
}void GetFewest(int cents, Set<int> coins, Set<int>& results, int n){if(coins.size() == 1){results.add(n + cents);return;}if(cents == 0){results.add(n);return;}n += 1;Set<int> usableCoins = possibleSet(cents, coins);for(int i : usableCoins){ //遍历每一种可能GetFewest(cents - i, usableCoins, results, n);}
}int fewestCoinsFor(int cents, Set<int>& coins) {Set<int> results;int n = 0;GetFewest(cents, coins, results, n);return results.first();
}
首先,possibleSet
这个函数会接受一个还未完成支付的面额与一个货币系统的集合,它会返回一个集合包含还可以使用的硬币。
然后,在递归 GetFewest
的函数里,我们会遍历这个 possibleSet 所返回的集合的每一个元素。因为对于 GetFewest
函数来说,我们所需要做的决策就是选择哪一个硬币。但是由于有些地方不能总是选择最大的硬币,所以我们要尝试使用每一种硬币的可能性。
最后,我们的退出条件就是我们只有面值为 1 的硬币可以使用。因为,在这种情况下,我们只能使用 1, 所以遍历没有了意义。然后,我们会在结束条件里,把我们这个解决方案所花费的硬币储存在一个 result 的集合里。因为这个集合是通过传递地址到的 GetFewest
函数,所以在函数结束后,我们还是可以在用户调用的 fewestCoinsFor
里访问。
最最最后,我们只需要在 fewestCoinsFor
中输出 result 的第一个元素就可以了。【因为第一个元素是最小的;如果你使用的集合没有这个特性,返回最小的 result 即可】
注:本文由 @Serence @半人半疯 原创发布,未经作者许可,禁止转载。本文首发于一文弄懂递归,原文附赠一道简单的练习题,可以点击查看。
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文章目录 前言常用命令go bug示例参数说明 go doc示例参数说明 go env示例 go fix示例 go fmt示例 go generate示例 总结写在最后 前言 接着上一篇继续介绍Go语言的常用命令 常用命令 以下是一些常用的Go命令,这些命令可以帮助您在Go开发中进行编译、测试、运行和…...
2024/5/9 4:12:16 - 用欧拉路径判断图同构推出reverse合法性:1116T4
http://cplusoj.com/d/senior/p/SS231116D 假设我们要把 a a a 变成 b b b,我们在 a i a_i ai 和 a i 1 a_{i1} ai1 之间连边, b b b 同理,则 a a a 能变成 b b b 的充要条件是两图 A , B A,B A,B 同构。 必要性显然࿰…...
2024/5/9 7:40:35 - 【NGINX--1】基础知识
1、在 Debian/Ubuntu 上安装 NGINX 在 Debian 或 Ubuntu 机器上安装 NGINX 开源版。 更新已配置源的软件包信息,并安装一些有助于配置官方 NGINX 软件包仓库的软件包: apt-get update apt install -y curl gnupg2 ca-certificates lsb-release debian-…...
2024/5/9 19:47:07 - Hive默认分割符、存储格式与数据压缩
目录 1、Hive默认分割符2、Hive存储格式3、Hive数据压缩 1、Hive默认分割符 Hive创建表时指定的行受限(ROW FORMAT)配置标准HQL为: ... ROW FORMAT DELIMITED FIELDS TERMINATED BY \u0001 COLLECTION ITEMS TERMINATED BY , MAP KEYS TERMI…...
2024/5/9 7:40:34 - 【论文阅读】MAG:一种用于航天器遥测数据中有效异常检测的新方法
文章目录 摘要1 引言2 问题描述3 拟议框架4 所提出方法的细节A.数据预处理B.变量相关分析C.MAG模型D.异常分数 5 实验A.数据集和性能指标B.实验设置与平台C.结果和比较 6 结论 摘要 异常检测是保证航天器稳定性的关键。在航天器运行过程中,传感器和控制器产生大量周…...
2024/5/10 2:07:41 - --max-old-space-size=8192报错
vue项目运行时,如果经常运行慢,崩溃停止服务,报如下错误 FATAL ERROR: CALL_AND_RETRY_LAST Allocation failed - JavaScript heap out of memory 因为在 Node 中,通过JavaScript使用内存时只能使用部分内存(64位系统&…...
2024/5/9 5:02:59 - 基于深度学习的恶意软件检测
恶意软件是指恶意软件犯罪者用来感染个人计算机或整个组织的网络的软件。 它利用目标系统漏洞,例如可以被劫持的合法软件(例如浏览器或 Web 应用程序插件)中的错误。 恶意软件渗透可能会造成灾难性的后果,包括数据被盗、勒索或网…...
2024/5/9 4:31:45 - JS原型对象prototype
让我简单的为大家介绍一下原型对象prototype吧! 使用原型实现方法共享 1.构造函数通过原型分配的函数是所有对象所 共享的。 2.JavaScript 规定,每一个构造函数都有一个 prototype 属性,指向另一个对象,所以我们也称为原型对象…...
2024/5/9 16:54:42 - C++中只能有一个实例的单例类
C中只能有一个实例的单例类 前面讨论的 President 类很不错,但存在一个缺陷:无法禁止通过实例化多个对象来创建多名总统: President One, Two, Three; 由于复制构造函数是私有的,其中每个对象都是不可复制的,但您的目…...
2024/5/10 1:31:37 - python django 小程序图书借阅源码
开发工具: PyCharm,mysql5.7,微信开发者工具 技术说明: python django html 小程序 功能介绍: 用户端: 登录注册(含授权登录) 首页显示搜索图书,轮播图࿰…...
2024/5/9 6:36:49 - 电子学会C/C++编程等级考试2022年03月(一级)真题解析
C/C++等级考试(1~8级)全部真题・点这里 第1题:双精度浮点数的输入输出 输入一个双精度浮点数,保留8位小数,输出这个浮点数。 时间限制:1000 内存限制:65536输入 只有一行,一个双精度浮点数。输出 一行,保留8位小数的浮点数。样例输入 3.1415926535798932样例输出 3.1…...
2024/5/9 4:33:29 - 配置失败还原请勿关闭计算机,电脑开机屏幕上面显示,配置失败还原更改 请勿关闭计算机 开不了机 这个问题怎么办...
解析如下:1、长按电脑电源键直至关机,然后再按一次电源健重启电脑,按F8健进入安全模式2、安全模式下进入Windows系统桌面后,按住“winR”打开运行窗口,输入“services.msc”打开服务设置3、在服务界面,选中…...
2022/11/19 21:17:18 - 错误使用 reshape要执行 RESHAPE,请勿更改元素数目。
%读入6幅图像(每一幅图像的大小是564*564) f1 imread(WashingtonDC_Band1_564.tif); subplot(3,2,1),imshow(f1); f2 imread(WashingtonDC_Band2_564.tif); subplot(3,2,2),imshow(f2); f3 imread(WashingtonDC_Band3_564.tif); subplot(3,2,3),imsho…...
2022/11/19 21:17:16 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机...
win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”问题的解决方法在win7系统关机时如果有升级系统的或者其他需要会直接进入一个 等待界面,在等待界面中我们需要等待操作结束才能关机,虽然这比较麻烦,但是对系统进行配置和升级…...
2022/11/19 21:17:15 - 台式电脑显示配置100%请勿关闭计算机,“准备配置windows 请勿关闭计算机”的解决方法...
有不少用户在重装Win7系统或更新系统后会遇到“准备配置windows,请勿关闭计算机”的提示,要过很久才能进入系统,有的用户甚至几个小时也无法进入,下面就教大家这个问题的解决方法。第一种方法:我们首先在左下角的“开始…...
2022/11/19 21:17:14 - win7 正在配置 请勿关闭计算机,怎么办Win7开机显示正在配置Windows Update请勿关机...
置信有很多用户都跟小编一样遇到过这样的问题,电脑时发现开机屏幕显现“正在配置Windows Update,请勿关机”(如下图所示),而且还需求等大约5分钟才干进入系统。这是怎样回事呢?一切都是正常操作的,为什么开时机呈现“正…...
2022/11/19 21:17:13 - 准备配置windows 请勿关闭计算机 蓝屏,Win7开机总是出现提示“配置Windows请勿关机”...
Win7系统开机启动时总是出现“配置Windows请勿关机”的提示,没过几秒后电脑自动重启,每次开机都这样无法进入系统,此时碰到这种现象的用户就可以使用以下5种方法解决问题。方法一:开机按下F8,在出现的Windows高级启动选…...
2022/11/19 21:17:12 - 准备windows请勿关闭计算机要多久,windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机怎么办...
有不少windows10系统用户反映说碰到这样一个情况,就是电脑提示正在准备windows请勿关闭计算机,碰到这样的问题该怎么解决呢,现在小编就给大家分享一下windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机的具体第一种方法:1、2、依次…...
2022/11/19 21:17:11 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...
今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后,每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面,提示请勿关闭计算机”,每次停留好几分钟才能正常关机,导致什么情况引起的呢?出现配置Windows Update…...
2022/11/19 21:17:10 - 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...
只能是等着,别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚,只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一:管理员运行cmd:net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57