B树

二叉搜索树

定义

• 所有非叶子节点至多拥有两个儿子（LEFT和RIGHT）
• 所有节点存储一个关键字
• 非叶子节点的左指针指向小于其关键字的子树，右指针指向大于其关键字的子树

二叉树的搜索

• 从根节点开始，如果查询的关键字与结点的关键字相等，那么就命中
• 如果查询关键字比结点关键字小，就进入左结点
• 如果查询关键字比结点关键字大，就进入右结点
• 如果左节点或右结点的指针为空，则报告找不到

​ 如果二叉搜索树的所有非叶子结点的左右子树的结点数目均差不多（平衡）那么二叉树的搜索性能逼近二分查找；但是它比连续内存空间的二分查找的优点是，改变二叉搜索树的结构（插入与删除结点）不需要移动大段的内存，是常数开销。

​ 但是有时候可能因为插入或者删除导致不平衡。

​ 实际使用的二叉搜索树都是在原二叉搜索树的基础上加上平衡算法，即“平衡二叉树”；如何保持B树结点分布均匀的平衡算法是平衡二叉树的关键；平衡算法是一种在二叉搜索树中插入和删除结点的策略。

B树（B-树）

定义

​ B-tree树即B树，就是平衡树，是一种多路搜索树（并不是二叉树）

• 定义任意非叶子结点最多只有M个儿子；且M>2
• 根结点的儿子树为[2,M]
• 除根结点以外的非叶子结点的儿子个数为[M/2,M]
• 每个结点存放至少M/2-1向上取整，和至多M-1个关键字；（至少两个关键字）
• 非叶子结点的关键字个数=指向儿子的指针个数-1
• 非叶子结点的关键字：K[1],K[2], …,K[M-1];且K[i]<K[i+1];
• 非叶子结点的指针：P[1],P[2],…,P[M];其中P[1]指向关键字小于K[1]的子树，P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树，其中P[i]指向关键字属于（K[i-1],k[i]）的子树
• 所有叶子结点位于同一层

例子M=3

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-t0u8u2gx-1595833631195)(https://raw.githubusercontent.com/iszhonghu/Picture-bed/master/img/20200723104624.png)]

B-树的搜索

​ 从根结点开始，对结点内的关键字（有序）序列进行二分查找，如果命中则结束，否则进入查询关键字所属范围的儿子结点；重复直到所对应的儿子指针为空，或已经是叶子结点

B-树的特性

• 关键字集合分布在整棵树中
• 任何一个关键字出现且只出现在一个结点中
• 搜索有可能在非叶子结点结束
• 其搜索性能等价于关键字全集内做一次二分查找
• 自动层次控制

B+树

定义

​ B+树是B-树的变体，也是一种多路搜索树

• 其定义基本与B-树同，除了：

• 非叶子结点的子树指针与关键字个数相同

• 非叶子结点的子树指针P[i]，指向关键字值属于K[i],k[i+1]的子树

  B-树是开区间树

• 为所有叶子结点增加一个链指针

• 所有关键字都在叶子结点出现

例子M=3

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-tOvLCZif-1595833631198)(https://raw.githubusercontent.com/iszhonghu/Picture-bed/master/img/image-20200723164556445.png)]

B+树的搜索

​ 与B-树基本相同，区别就是B+树只有到达叶子结点才命中（B-树可以在非叶子结点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找

B+树的特性

• 所有关键字都出现在叶子结点的链表中（稠密索引），且链表中的关键字恰好是有序的
• 不可能在非叶子结点命中
• 非叶子结点相对于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储（关键字）数据的数据层
• 更适合文件索引系统

B*树

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-byjKZz2y-1595833631200)(https://raw.githubusercontent.com/iszhonghu/Picture-bed/master/img/image-20200727145229594.png)]

​ 是B+树的变体，在B+树的非根和非叶子节点再增加指向兄弟的指针。

• B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为（2/3） *M，即快的最低使用率为2/3（代替B+树的1/2）

• B+树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针。

• B*树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针；

  所以B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高。

总结

• 二叉搜索树：二叉树，每个结点只存储一个关键字，等于则命中，小于走左结点，大于走右结点
• B树：多路搜索树，每个结点存储M/2到M个关键字，非叶子结点存储指向关键字范围的子结点；所有关键字在整棵树中出现，且只出现一次，非叶子结点可以命中
• B+树：在B树基础上，为叶子结点增加链表指针，所有关键字都在叶子结点中出现，非叶子结点作为叶子结点的索引；B+树总是到叶子结点才命中
  围的子结点；所有关键字在整棵树中出现，且只出现一次，非叶子结点可以命中
• B+树：在B树基础上，为叶子结点增加链表指针，所有关键字都在叶子结点中出现，非叶子结点作为叶子结点的索引；B+树总是到叶子结点才命中
• B*树：在B+树的基础上，为非叶子结点也增加链表指针，将结点的最低利用率从1/2提高到2/3。