数据结构(二十一)——图和图的应用
文章目录
- 前言
- 图(graph)
- 1)图的基本概念及特性
- 2)图的描述
- a. 无权图描述
- b. 加权图描述
- 3)图的类实现
- 4)图的遍历
- a. 广度优先搜索
- b. 深度优先搜索
- c. 两种搜索算法的比较
- 5)图的应用
- a. 寻找一条路径
- b. 连通及连通构件
- c. 生成树
前言
本章是数据结构逻辑的最后一种形式,图状结构。因为本章只讲述了图结构的冰山一角,所以结构非常清晰。
图(graph)
图是最复杂的一种数据结构,也是最能表述现实应用的数据结构。人际关系、航线、网络中的节点等等许多接近实际的问题都可以用图来描述。
1)图的基本概念及特性
图:在数据结构领域,我们把图抽象为有限集V和E的有序对,即用边连接在一起的顶点的集合。
就像望月新一证明ABC猜想一样,要学习图,首先要了解图的世界,清楚在图的世界中的术语。
一大堆概念来袭:
- 顶点(vertex)
- 有向边(directed edge)与无向边(undirected edge)
- 有向图(directed graph)与无向图(undirected graph)
- 邻接(adjacent)与关联(incident)
- 权(weight)与长度(length)
- 加权图(weighted graph)与无权图(unweighted graph)
- 环(loop)
- 路径(path)与简单路径(simple path)
- 环路(cycle)
- 连通(connected)、 强连通(strongly connected)
- 生成树(spanning tree)
- 度(degree)、入度(in-degree)与出度(out-degree)
完全图(complete path)与二分图(bipartite graph)
当明白这些概念都在讲什么东西的时候,我们就可以继续往下学习图的某些特性(其实仔细想一下就能推出的特性):
- 在无向图中,所有节点的度求和 = 边的数量的二倍
- 在有向图中,所有节点的出度求和 = 所有节点的入度求和 = 边的数量
2)图的描述
图的描述其实就是图中的元素如何存储,课本中列举了三种方法,同时这三种方法在在矩阵那一章也出现过。
- 邻接矩阵(adjacent matrix):设图中有n个元素,利用的二维数组进行存储。
- 邻接链表(adjacent list):将图中的节点存储在一个一维数组中,数组中的元素指向一个链表指针,该链表中存储的邻接节点。
- 邻接数组(adjacency array):将图中的节点存储在一个一维数组中,数组中的元素指向一个数组指针,该数组中存储的邻接节点。该二维数组是不规则的。
a. 无权图描述
以下图为例:
邻接矩阵:
邻接链表:
邻接数组:
b. 加权图描述
以下图为例:
邻接矩阵:
邻接链表:
邻接数组:
与无权图的不同是,将数组的对象由T类型改为结构体或pair类型。
3)图的类实现
图的分类:无权无向图、加权无向图、无权有向图、加权有向图
图的描述:邻接矩阵、邻接链表、邻接数组
对于每一种图,都有三种描述与之对应,共有12种类。
类继承图关系如下:
因为图的类实现实在太多,函数也由于描述不同不能实现通用,且函数逻辑都较为简单。我在这里仅写出抽象类 Graph作为参考,以防忘记。
template <class T>class Graph
{
public:virtual ~graph(){}//ADTvirtual int numberOfVertices() const = 0; // 返回节点数量virtual int numberOfEdges() const = 0; // 返回边的数量virtual bool existsEdge(int, int) const = 0; // 判断一条边是否存在virtual void insertEdge(edge<T>*) = 0; // 插入边virtual void eraseEdge(int, int) = 0; // 删除边virtual int degree(int) const = 0; // 返回某一节点的度virtual int inDegree(int) const = 0; // 返回某一节点的入度virtual int outDegree(int) const = 0; // 返回某一节点的出度virtual bool directed() const = 0; // 当是有向图时,返回truevirtual bool weighted() const = 0; // 当是加权图时,返回truevirtual vertexIterator<T>* iterator(int) = 0;// 迭代器,访问指定顶点的相邻节点
};
4)图的遍历
图的遍历即从某一顶点开始,寻找所有可到达的顶点。有两种常用的搜索方法:广度优先搜索(BFS,breadth first search)和深度优先搜索(DFS, deep first search)
a. 广度优先搜索
广度优先搜索利用队列结构,从特定节点开始,遍历所有邻接节点,标记并入队。再依次出队,对于每一个出队的节点,遍历其所有未标记的邻接节点,标记并入队,直到队列为空,算法结束。
因为队列的FIFO属性,搜索过程是宽度优先,即第一次遍历的节点都是和起始节点“距离”为1的节点,第一次遍历入队的节点出队为第二次遍历,第二次都是“距离”为2的节点,第三次…
所以叫做广度优先搜索。
virtual void bfs(int v, int reach[], int label)
{Queue<int> q;reach[v] = label;q.push(v);while(!q.empty()){int p = q.pop();//使用迭代器来找到顶点p的所有邻接节点vertexIterator<T>* ip = iterator(p);int tem;while((tem = ip->next()) != 0){if(reach[tem] == 0){q.push(tem);reach[u] = label;}}delete ip;}
}
b. 深度优先搜索
深度优先搜索利用栈结构,可以利用递归或者非递归实现。如果使用栈,那么从特定节点开始,遍历其所有邻接节点,标记并加入栈。再依次出栈,对于每个出栈的元素,遍历其未标记的邻接节点,标记并入队,栈为空时,算法结束。
因为栈结构的FILO属性,从初始节点开始,遍历的元素入栈后反向出栈,在每次遍历都有新节点的情况下,每一次出栈的元素与初始点的“距离”都加一。若一次遍历没有发现新节点,下一次出栈的元素较上次出栈的元素“距离”减一。
因为是一股劲冲到最远“距离”,碰壁之后退一格再继续冲,所以叫做深度优先搜索。
// 递归实现
virtual void dfs(int v, int reach[], int label)
{Graph<T>::reach = reach; //reach和label为静态数据成员Graph<T>::label = label;rDfs(v);
}virtual void rDfs(int v)
{reach[v] = label;vertexIterator<T> *iv = iterator(v);int u;while((u=iv->next()) != 0){if(reach[u] == 0)rDfs(u);}delete iv;
}// 非递归实现
virtual void SDfs(int v, int reach[], int label)
{Stack<int> s;reach[v] = label;s.push(v);while(!s.empty()){int p = s.pop();vertexIterator<T> *ip = iterator(p);int tem;while((tem = ip->next()) != 0){if(reach[tem] == 0){s.push(tem);reach[tem] = label;}}delete ip;}
}
c. 两种搜索算法的比较
时间复杂度:两种搜索算法的时间复杂度在相同描述下是相同的。在上述的代码中,时间复杂度取决于加入容器的节点数目和迭代器用时。
- 当使用邻接矩阵实现时,时间复杂度为,是加入容器的节点数目。
- 当使用邻接链表或邻接数组实现时,时间复杂度为,其中i是被标记的节点。
空间复杂度:两种搜索算法的空间复杂度都为。其中有个有趣的现象是两种算法空间性能最好和最坏的情况是相反的。
如下图:
以1为起始点,
- 图a是dfs最坏的情况,因为在到达n之前都不能释放栈空间;同时又是bfs最好的情况,队列中的元素在算法执行时永远不超过1。
- 图b是bfs最坏的情况,因为第一次遍历之后,队列中的元素达到;同时又是dfs最好的情况,栈空间在算法执行时永远不超过1。
5)图的应用
说是图的应用,其实更像是两种搜索算法的应用。
a. 寻找一条路径
寻找一条从源点到目标节点的路径。
可以通过bfs和dfs实现两种不同寻找路径的方法,其中dfs找出的不一定是最短路径,bfs找出的一定是最短路径。
dfs递归实现:
//dfs寻找路径,节点为int类型,返回一个int类型的路径数组
int* findPath_dfs(int source, int goal)
{int n = numberOfVertices();int* path = new int[n+1];path[1] = source;int* reach = new int[n+1];for(int i = 1; i<=n; i++){reach[i] = 0;}//搜索路径if(theSource == goal || rFindPath(source,goal)){path[0] = length - 1;}else{delete[] path;path = null;}delete[] path;return path;
}bool rFindPath(int source, int goal)
{reach[source] = 1;vertexIterator<T>* is = iterator(source);int u;while((u = is->next()) != 0){if(reach[u] == 0){path[++length] = u;if(u = goal || rFindPath(u, goal))return true;length--;}}delete is;return false;
}
bfs实现:
//使用bfs寻找最短路径,只需要加一个记录前驱节点的数组int* findPath_bfs(int source, int goal)
{Queue<int> q;int* path = new int[n+1];int* pre = new int[n+1];int* reach = new int[n+1];for(int i =0;i<=n;i++){reach[i] = 0;pre[i] = 0;}q.push(source);while(!q.empty()){int p = q.pop();vertexIterator<T> *ip = iterator(p);int u;while((u = ip->next()) != 0){if(reach[u]==0){q.push(u);reach[u] = 1;pre[u] = p;if(u == goal)break;}}if(u == goal)break;}int t = pre[q.pop()];int i = 1;path[i++] = t;t = pre[t];while(t != 0){path[i++] = t;t = pre[t];}return path;
}
b. 连通及连通构件
搜索方法另一应用是检验无向图是否连通,或者对一个不连通图的连通构件进行标记,判断哪几个节点在同一构件中。
判断是否连通算法的思想十分简单:
//判断是否连通
bool connected()
{int n = numberOfVertices();int* reach = new int[n+1];dfs(1, reach,1);for(int i = 1; i <= n; i++){if(reach[i] == 0)return false;}return true;
}
判断连通构件个数:
int labelComponents()
{int n = numberOfVertices();int label = 0;int* reach = new int[n+1];for(int i = 1; i <= n; i++){if(reach[i] == 0){label++; // 区分连通构件和记录构件数bfs(i, reach, label);}}return label;
}
c. 生成树
进行bfs或dfs时,每遍历一个未到达过的节点,前序节点和该节点形成一个edge。因为不可能遍历已到达的节点,形成的边集不可能有环路,并且由搜索算法可知该边集又是连通的,算法结束后形成一颗树,我们叫做生成树。
由bfs形成的叫做广度优先生成树,由dfs形成的叫做深度优先生成树。
在这里我们只介绍什么是生成树,以后的章节会利用Prim算法和Kruskal算法,寻找最小生成树。
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C/C++等级考试(1~8级)全部真题・点这里 第1题:双精度浮点数的输入输出 输入一个双精度浮点数,保留8位小数,输出这个浮点数。 时间限制:1000 内存限制:65536输入 只有一行,一个双精度浮点数。输出 一行,保留8位小数的浮点数。样例输入 3.1415926535798932样例输出 3.1…...
2024/5/4 14:46:02 - 配置失败还原请勿关闭计算机,电脑开机屏幕上面显示,配置失败还原更改 请勿关闭计算机 开不了机 这个问题怎么办...
解析如下:1、长按电脑电源键直至关机,然后再按一次电源健重启电脑,按F8健进入安全模式2、安全模式下进入Windows系统桌面后,按住“winR”打开运行窗口,输入“services.msc”打开服务设置3、在服务界面,选中…...
2022/11/19 21:17:18 - 错误使用 reshape要执行 RESHAPE,请勿更改元素数目。
%读入6幅图像(每一幅图像的大小是564*564) f1 imread(WashingtonDC_Band1_564.tif); subplot(3,2,1),imshow(f1); f2 imread(WashingtonDC_Band2_564.tif); subplot(3,2,2),imshow(f2); f3 imread(WashingtonDC_Band3_564.tif); subplot(3,2,3),imsho…...
2022/11/19 21:17:16 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机...
win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”问题的解决方法在win7系统关机时如果有升级系统的或者其他需要会直接进入一个 等待界面,在等待界面中我们需要等待操作结束才能关机,虽然这比较麻烦,但是对系统进行配置和升级…...
2022/11/19 21:17:15 - 台式电脑显示配置100%请勿关闭计算机,“准备配置windows 请勿关闭计算机”的解决方法...
有不少用户在重装Win7系统或更新系统后会遇到“准备配置windows,请勿关闭计算机”的提示,要过很久才能进入系统,有的用户甚至几个小时也无法进入,下面就教大家这个问题的解决方法。第一种方法:我们首先在左下角的“开始…...
2022/11/19 21:17:14 - win7 正在配置 请勿关闭计算机,怎么办Win7开机显示正在配置Windows Update请勿关机...
置信有很多用户都跟小编一样遇到过这样的问题,电脑时发现开机屏幕显现“正在配置Windows Update,请勿关机”(如下图所示),而且还需求等大约5分钟才干进入系统。这是怎样回事呢?一切都是正常操作的,为什么开时机呈现“正…...
2022/11/19 21:17:13 - 准备配置windows 请勿关闭计算机 蓝屏,Win7开机总是出现提示“配置Windows请勿关机”...
Win7系统开机启动时总是出现“配置Windows请勿关机”的提示,没过几秒后电脑自动重启,每次开机都这样无法进入系统,此时碰到这种现象的用户就可以使用以下5种方法解决问题。方法一:开机按下F8,在出现的Windows高级启动选…...
2022/11/19 21:17:12 - 准备windows请勿关闭计算机要多久,windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机怎么办...
有不少windows10系统用户反映说碰到这样一个情况,就是电脑提示正在准备windows请勿关闭计算机,碰到这样的问题该怎么解决呢,现在小编就给大家分享一下windows10系统提示正在准备windows请勿关闭计算机的具体第一种方法:1、2、依次…...
2022/11/19 21:17:11 - 配置 已完成 请勿关闭计算机,win7系统关机提示“配置Windows Update已完成30%请勿关闭计算机”的解决方法...
今天和大家分享一下win7系统重装了Win7旗舰版系统后,每次关机的时候桌面上都会显示一个“配置Windows Update的界面,提示请勿关闭计算机”,每次停留好几分钟才能正常关机,导致什么情况引起的呢?出现配置Windows Update…...
2022/11/19 21:17:10 - 电脑桌面一直是清理请关闭计算机,windows7一直卡在清理 请勿关闭计算机-win7清理请勿关机,win7配置更新35%不动...
只能是等着,别无他法。说是卡着如果你看硬盘灯应该在读写。如果从 Win 10 无法正常回滚,只能是考虑备份数据后重装系统了。解决来方案一:管理员运行cmd:net stop WuAuServcd %windir%ren SoftwareDistribution SDoldnet start WuA…...
2022/11/19 21:17:09 - 计算机配置更新不起,电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?
原标题:电脑提示“配置Windows Update请勿关闭计算机”怎么办?win7系统中在开机与关闭的时候总是显示“配置windows update请勿关闭计算机”相信有不少朋友都曾遇到过一次两次还能忍但经常遇到就叫人感到心烦了遇到这种问题怎么办呢?一般的方…...
2022/11/19 21:17:08 - 计算机正在配置无法关机,关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机...
关机提示 windows7 正在配置windows 请勿关闭计算机 ,然后等了一晚上也没有关掉。现在电脑无法正常关机以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!关机提示 windows7 正在配…...
2022/11/19 21:17:05 - 钉钉提示请勿通过开发者调试模式_钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用...
钉钉请勿通过开发者调试模式是真的吗好不好用 更新时间:2020-04-20 22:24:19 浏览次数:729次 区域: 南阳 > 卧龙 列举网提醒您:为保障您的权益,请不要提前支付任何费用! 虚拟位置外设器!!轨迹模拟&虚拟位置外设神器 专业用于:钉钉,外勤365,红圈通,企业微信和…...
2022/11/19 21:17:05 - 配置失败还原请勿关闭计算机怎么办,win7系统出现“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”,长时间没反应,无法进入系统的解决方案...
前几天班里有位学生电脑(windows 7系统)出问题了,具体表现是开机时一直停留在“配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机”这个界面,长时间没反应,无法进入系统。这个问题原来帮其他同学也解决过,网上搜了不少资料&#x…...
2022/11/19 21:17:04 - 一个电脑无法关闭计算机你应该怎么办,电脑显示“清理请勿关闭计算机”怎么办?...
本文为你提供了3个有效解决电脑显示“清理请勿关闭计算机”问题的方法,并在最后教给你1种保护系统安全的好方法,一起来看看!电脑出现“清理请勿关闭计算机”在Windows 7(SP1)和Windows Server 2008 R2 SP1中,添加了1个新功能在“磁…...
2022/11/19 21:17:03 - 请勿关闭计算机还原更改要多久,电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机怎么办...
许多用户在长期不使用电脑的时候,开启电脑发现电脑显示:配置windows更新失败,正在还原更改,请勿关闭计算机。。.这要怎么办呢?下面小编就带着大家一起看看吧!如果能够正常进入系统,建议您暂时移…...
2022/11/19 21:17:02 - 还原更改请勿关闭计算机 要多久,配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以...
配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机,电脑开机后一直显示以以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起来看一下吧!配置windows update失败 还原更改 请勿关闭计算机&#x…...
2022/11/19 21:17:01 - 电脑配置中请勿关闭计算机怎么办,准备配置windows请勿关闭计算机一直显示怎么办【图解】...
不知道大家有没有遇到过这样的一个问题,就是我们的win7系统在关机的时候,总是喜欢显示“准备配置windows,请勿关机”这样的一个页面,没有什么大碍,但是如果一直等着的话就要两个小时甚至更久都关不了机,非常…...
2022/11/19 21:17:00 - 正在准备配置请勿关闭计算机,正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了解决教程...
当电脑出现正在准备配置windows请勿关闭计算机时,一般是您正对windows进行升级,但是这个要是长时间没有反应,我们不能再傻等下去了。可能是电脑出了别的问题了,来看看教程的说法。正在准备配置windows请勿关闭计算机时间长了方法一…...
2022/11/19 21:16:59 - 配置失败还原请勿关闭计算机,配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机...
我们使用电脑的过程中有时会遇到这种情况,当我们打开电脑之后,发现一直停留在一个界面:“配置Windows Update失败,还原更改请勿关闭计算机”,等了许久还是无法进入系统。如果我们遇到此类问题应该如何解决呢࿰…...
2022/11/19 21:16:58 - 如何在iPhone上关闭“请勿打扰”
Apple’s “Do Not Disturb While Driving” is a potentially lifesaving iPhone feature, but it doesn’t always turn on automatically at the appropriate time. For example, you might be a passenger in a moving car, but your iPhone may think you’re the one dri…...
2022/11/19 21:16:57