什么是线段树呢？

它其实是一种用于区间修改、区间求和的工具。

本文先讲解单点更新的线段树，比较基础；之后的进阶版会涉及区间更新。

首先理解线段树的思想是关键，齐次要学会使用线段树的模板，最后要学会灵活使用线段树。

线段树与之前学过的树状数组有些类似，先贴上一张图（百度百科）：

线段树中每个结点的标号方式与树状数组略有不同：

我们记[1,8]为1号，[1,4]为2号，[5,8]为3号，[1,2]为4号，[3,4]为5号，…，[1,1]为8号，…，[8,8]为15号。

线段树的建立

实际情况下对一个长度为n的数组，我们需要一个4*n的空间来防止空间溢出。

例如：有原数组a[1005]，那么储存线段树的数组应为tree[1005*4]，以免溢出。

int a[50005],leaf[50005*4]; //原数组与线段树void buildtree(int l, int r, int k)
{   //左边界l，右边界r，区间结点编号kif(l==r){	//左右边界相等，说明到达了底端leaf[k]=a[l];return; //赋值后开始往顶端走}int mid=(l+r)/2; //分割区间//对左右半区分别建树buildtree(l,mid,k*2); //左结点编号为2*kbuildtree(mid+1,r,2*k+1); //右结点编号为2*k+1//一个结点等于两个子结点之和leaf[k]=leaf[2*k]+leaf[2*k+1];
}

线段树的单点更新

void update(int pos, int val, int l, int r, int k)
{   //单点更新  待更新的下标pos    val代表要增加或减少的值if(l==r){leaf[k]+=val;return;}int mid=(l+r)/2; //分割区间//pos其实就是定位用的if(pos<=mid) //去左边找update(pos,val,l,mid,k*2);else  //去右边找update(pos,val,mid+1,r,2*k+1);/* 先向线段树底部查找，找到那个需要更改的元素，之后从底层开始逐层向上修改父区间的值*/leaf[k]=leaf[2*k]+leaf[2*k+1]; //更新父结点的值
}

注：上述模板只适用于单点更新，区间更新在后面的博客里

线段树的区间查询

int query(int ql, int qr, int l, int r, int k)
{   //查询区间[ql,qr]的和if(ql<=l && qr>=r) //当前区间为[ql,qr]的子区间，取当前区间的值加到ans里面return leaf[k];int mid=(l+r)/2;int ans=0;if(ql<=mid) //左区间查询ans+=query(ql,qr,l,mid,k*2);if(qr>mid)  //右区间查询ans+=query(ql,qr,mid+1,r,2*k+1);return ans;
}

模板题：HDU 1166 ---- 敌兵布阵

Problem Description
C国的死对头A国这段时间正在进行军事演习，所以C国间谍头子Derek和他手下Tidy又开始忙乎了。A国在海岸线沿直线布置了N个工兵营地,Derek和Tidy的任务就是要监视这些工兵营地的活动情况。由于采取了某种先进的监测手段，所以每个工兵营地的人数C国都掌握的一清二楚,每个工兵营地的人数都有可能发生变动，可能增加或减少若干人手,但这些都逃不过C国的监视。
中央情报局要研究敌人究竟演习什么战术,所以Tidy要随时向Derek汇报某一段连续的工兵营地一共有多少人,例如Derek问:“Tidy,马上汇报第3个营地到第10个营地共有多少人!”Tidy就要马上开始计算这一段的总人数并汇报。但敌兵营地的人数经常变动，而Derek每次询问的段都不一样，所以Tidy不得不每次都一个一个营地的去数，很快就精疲力尽了，Derek对Tidy的计算速度越来越不满:"你个死肥仔，算得这么慢，我炒你鱿鱼!”Tidy想：“你自己来算算看，这可真是一项累人的工作!我恨不得你炒我鱿鱼呢!”无奈之下，Tidy只好打电话向计算机专家Windbreaker求救,Windbreaker说：“死肥仔，叫你平时做多点acm题和看多点算法书，现在尝到苦果了吧!”Tidy说："我知错了。。。"但Windbreaker已经挂掉电话了。Tidy很苦恼，这么算他真的会崩溃的，聪明的读者，你能写个程序帮他完成这项工作吗？不过如果你的程序效率不够高的话，Tidy还是会受到Derek的责骂的.

Input
第一行一个整数T，表示有T组数据。
每组数据第一行一个正整数N（N<=50000）,表示敌人有N个工兵营地，接下来有N个正整数,第i个正整数ai代表第i个工兵营地里开始时有ai个人（1<=ai<=50）。
接下来每行有一条命令，命令有4种形式：
(1) Add i j,i和j为正整数,表示第i个营地增加j个人（j不超过30）
(2)Sub i j ,i和j为正整数,表示第i个营地减少j个人（j不超过30）;
(3)Query i j ,i和j为正整数,i<=j，表示询问第i到第j个营地的总人数;
(4)End 表示结束，这条命令在每组数据最后出现;
每组数据最多有40000条命令

Output
对第i组数据,首先输出“Case i:”和回车,
对于每个Query询问，输出一个整数并回车,表示询问的段中的总人数,这个数保持在int以内。

Sample Input

1
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Query 1 3
Add 3 6
Query 2 7
Sub 10 2
Add 6 3
Query 3 10
End

Sample Output

Case 1:
6
33
59

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string.h>
using namespace std;int n;
int a[50005],leaf[50005*4]; //原数组与线段树void buildtree(int l, int r, int k)
{   //左边界l，右边界r，区间结点编号kif(l==r){leaf[k]=a[l];return;}int mid=(l+r)/2; //分割区间//对左右半区分别建树buildtree(l,mid,k*2); //左结点编号为2*kbuildtree(mid+1,r,2*k+1); //右结点编号为2*k+1//一个结点等于两个子结点之和leaf[k]=leaf[2*k]+leaf[2*k+1];
}int query(int ql, int qr, int l, int r, int k)
{   //查询区间[ql,qr]的和if(ql<=l && qr>=r) return leaf[k];int mid=(l+r)/2;int ans=0;if(ql<=mid) //左区间查询ans+=query(ql,qr,l,mid,k*2);if(qr>mid)  //右区间查询ans+=query(ql,qr,mid+1,r,2*k+1);return ans;
}void update(int pos, int val, int l, int r, int k)
{   //单点更新  待更新的下标pos    val->valueif(l==r){leaf[k]+=val;return;}int mid=(l+r)/2;//pos其实就是定位用的if(pos<=mid) //去左边找update(pos,val,l,mid,k*2);else  //去右边找update(pos,val,mid+1,r,2*k+1);/* 先向线段树底部查找，找到那个需要更改的元素，之后从底层开始逐层向上修改父区间的值*/leaf[k]=leaf[2*k]+leaf[2*k+1]; //更新父结点的值
}int main()
{int t,Case=0;scanf("%d",&t);while(t--){scanf("%d",&n);memset(a,0,sizeof(a));memset(leaf,0,sizeof(leaf));for(int i=1 ; i<=n ; i++)scanf("%d",&a[i]);buildtree(1,n,1); //从1号开始建树printf("Case %d:\n",++Case); //之前Case这里的冒号写错位置了....WA了3次char s[6];while(scanf("%s",s) && strcmp(s,"End")!=0 ) //s!="End"的写法是无法被识别的{int i,j;scanf("%d%d",&i,&j);if(strcmp(s,"Query")==0)printf("%d\n",query(i,j,1,n,1));else if(strcmp(s,"Add")==0)update(i,j,1,n,1);else if(strcmp(s,"Sub")==0)update(i,-j,1,n,1);}}return 0;
}