1. SU(N) Hubbard 模型的平带铁磁性

2. 背景

巡游电子铁磁性是凝聚态物理中很重要的一个问题。巡游电子铁磁性通常被认为是电子与电子之间的强关联的结果，通常能用Hubbard模型描述。

下面这个就是Hubbard模型的哈密顿量，第一项是Hopping项，第二项就是Hubbard相互作用项，当一个自旋向上和一个自旋向下的电子占据同一格点的适合，会产生一个感受到一个排斥效果U

3. Stoner在1936年提出一个用来判断巡游电子铁磁性的判据，即费米面的态密度和电子电子相互作用U之积大于1，系统就能形成铁磁性，也即系统在费米面附近的态密度比较大，以及U比较大。图像如图所示，形成铁磁性后，上自旋的电子密度和下自旋的电子密度不相等。这个其实可以用平均场Hubbard模型来解释，上自旋感受到是下自旋平均的一个效果，下自旋感受到是也是上自旋平均的一个效果，这两个密度不相等，产生了一个磁矩从而使得能带分裂。

4.Lieb以及合作者在1962年证明在一维Hubbard模型中，只有最最近邻的hopping是不会产生的铁磁性的，不管这个相互作用U有多大。虽然Lieb又在1989年证明，在A，B两套子格的系统中，如果A,B子格的数目不相等，Hubbard模型的基态是一个不饱和的铁磁态，总的自旋S=1/2两个子格的个数之差。

5. 日本人长纲在1966年发现在U->无穷的时候，并且系统在半满，有一个空穴的时候，系统的基态是一个饱和的铁磁性，其中总的自旋S=Ne/2如右图所示。这图展示了半满时，有一个空穴的情况，电子可以不断运动。右边这种是能量最低的。

6. 在1992年的时候，Tasaki证明了，在这样一个有一个平带构成的系统中，在1/4填充的时候，系统的基态是一个严格的铁磁体。

7. Hubbard模型中，三个自旋算符可以写成如下形式，这三个算符恰好是SU(2)群的生成元，因此我们说一个算符是SU(2)不变的，如果他和这三个自旋算符均对易，将算符写成如下形式，不含有自旋符号，很容易看出SU(2)对称的。

8. 对于Hubbard模型，我们可以构造这样一组基，L个格点，根据n_miu构造一个二进制数，这个二进制数又可以对应一个十进制数。所以总的希尔伯特空间就是4^n。由于哈密顿量是和总粒子数N和Sz对易，所以可以给定总的粒子数，以及自旋向上，自旋向下的粒子数，将这些态作为基矢。

9. 下面考虑将Hubbard模型写成矩阵形式，由于Hubbard项是和粒子数是对易的，Hubbard项只会出现在对角线上。Hubbard项出现的条件上同一个格点上有双占据，一个自旋向上，一个自旋向上，因此可以将自旋向上态的二进制表示和自旋向下态的二进制表示做一个异或运算，然后求出1的个数，这样就能求出对应的矩阵元。

对于动能项，hopping项从b子格跳到a子格，先要检查对应的(a,b)位的n_miu是否为(0,1), 如果不是，这项就是0，如果是，将对应的（0,1)改成(1,0）得到另一个j‘态。然后这个矩阵元Hj'j就能写成如下形式，这里会有一个符号，是由于费米子的反对易关系造成的。M=(a,b）之间1的个数。然后我们就可以把整个哈密顿量矩阵写出来。

10. 由于这个矩阵的维数是指数量级的，没办法直接对角化。我们需要将哈密顿量投影到这样一个子空间上，随机产生一个态矢量v同时要用以下的迭代方法把这个子空间正交化。投影完了之后会得到一个三对角矩阵，对角化这个三对角矩阵之后，得到的最低能量，就是系统的基态，本征矢量也可以写成如下形式：

11. 接下来，就可以计算系统的单粒子格林函数，用这个公式计算。由于产生算符作用以后，粒子数改变了，系统的哈密顿量这里需要重新构造，同样，由于矩阵维数过大，这里也不能对哈密顿量矩阵直接求逆，同样需要把矩阵投影到子空间上，在这个算法插入一个完备基，然后用以下方法进行迭代。

12. 简单介绍一下CPT方法，CPT方法是把具有相互作用大系统分为一个一个小的集团, 对于每个小的集团，可以用之前介绍的严格对角化的方法严格求解，我们认为Cluster和Cluster之间是没有相互作用，只有hopping项，根据强耦合展开理论，总的格林函数与Cluster的关系如下。但要注意，这里求出来的格林函数的k是Cluster的晶格的平移对称性，这里要做一个反折叠的操作，得到原始的晶格平移对称性的k

13. 接下来将下Hubbard模型的平均场近似，很容易将Hubbard模型写成自旋Sz的形式，对于Sz的平方项，采用标准的平均场近似的方法，丢掉一个高阶涨落项。最后可以完全用平均电子密度的形式写出来。

14. 对于一般的情况，注意到Sx^2=Sy^2=Sz^2, 因此可以把Hubbard项写成三个方向的平方项这种形式。仍然用标准的平均场近似，就可以将Hubbard项写成下面这种二次型的形式。

15. 通过定义对应的序参量，然后自洽计算求解上面等式，可以得到对应的铁磁态。

16. 下面介绍一个SU(N) Hubbard Model, 在SU(2)的形式上做推广，n项可以有N个favor，当同一个格点占据两个不同的favor时，会感受到一个排斥能量U。由于SU(N)群有N^2-1个生成元，因此有N^2-1个自旋分量，对应的公式如下，Tk为SU(N)李代数的生成元。其中对易关系如下

17. 使用SU(N)李代数的关系，可以将Hubbard项中的粒子数算符写成对应的自旋算符的形式。

18. 使用和前面相同的，标准平均场近似的做法，可以得到SU(N) Hubbard Model一般的平均场的形式，这里有N^2-1个序参量，其中tab为SU(N)的生成元矩阵。

19. 对于共线序的情况，我们可以通过一个幺正变换，将N^2-1个序参量缩小为N-1个序参量，其中H^{\alpha}是SU(N)生成元对角的那部分。

20. 下面介绍1D Tasaki模型，这个模型是由A，B两子格以及Hubbard相互作用组成的系统，Hopping部分通过调节特殊的参数，使得系统的两条能带的其中一条是一个平带。AB之间t1，AA之间t2，BB之间不存在。这个系统的基态是一个铁磁态。下面简单介绍一下。

21. 通过在实空间做这样一个变换，对于偶数格点，以及奇数格点，相当于重新选取基底使得电子在相邻格点之间跳跃没有hopping。但要注意，a和b不是费米子产生湮灭算符。通过这个变换我们知道，H一定是一个正定的矩阵。

22. 虽然a算符和b算符不是真正的费米算符，但是他们之间是反对易的，因此可以构造出一组基态，这组基态正好是哈密顿量的一个解，并且取到了能量的最小值。因此它就是系统的一个基态，再次基础上还可以证明系统的所以基态都是铁磁的。这里就不介绍了。

23. 介绍一下Tasaki模型的自旋波激发的工作，这是我们组之前几个师兄的工作，首先先把哈密顿量投影到平带上，Hubbard项前面会出现一些投影系数。然后我们在铁磁基态的基础上，翻转一个ki自旋到kj，相当于激发一个磁振子，然后去计算这两者的能量差，就能得到自旋波激发谱。

24. 发现，此时Heff-E作用在激发态上恰好可以构成一个本证值方程。q是一个好量子数。动量守恒，正好对应于磁振子的动量，求解这个本征值方程可以得到自旋波激发谱。其中红点是严格对角化的结果。