股票问题（动态规划）

股票问题是动态规划里的一大类型的题目主要有以下这么几题leetcode121,122 ,123,188 ,309,714,剑指offer63题

股票问题一般是要求获得的最大利润（在不同的问题下获得最大利润的约束条件有些许不同）

股票主要分成两个主要的状态：0.手中没有股票即为不持股状态 1.手中有股票即为持股状态。接下来我们只要理清楚这些状态之间是怎么进行互相转换，那么股票问题就可以’‘迎刃而解’‘了。

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股票状态：

不持股状态。不持股状态主要有两个状态转换而来：第一种是昨天不持股，今天也不持股。（昨天到今天没有进行股票操作) 第二种是昨天持股了，今天不持股（也就是在今天进行了股票的卖出操作）

持股状态。持股状态也是有两个状态状态转换而来：第一种是昨天持股，今天也持股。（同样是昨天到今天没有进行股票操作）第二种是昨天不持股，今天持股（也就是今天进行了股票的买入操作）

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dp[i][0]表示在第i天手中没有股票，dp[i][1]表示在第i天手中有股票

由之前的分析可得dp[i][0] = max(第i-1天不持股,第i天不持股)

dp[i][1] = min(第i-1天持股,第i天持股) (接下来在具体题目中具体分析)

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情形一：交易次数限制为一次（剑指offer63题，leetcode121）

题目：给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。如果你最多只允许完成一笔交易（即买入和卖出一支股票一次），设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。注意：你不能在买入股票前卖出股票。

示例 1:

输入: [7,1,5,3,6,4]
输出: 5
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。

示例 2:

输入: [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

class Solution:def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:length = len(prices)if length==0:return 0dp = [0]*lengthminprice = prices[0]for i in range(1,length):minprice = min(minprice,prices[i])dp[i] = max(dp[i-1],prices[i]-minprice)return max(dp)

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情形二：限制了交易次数（leetcode123,leetcode188）

在leetcode123中限制的交易次数为两次，在leetcode188中限制的交易次数为k次，我们先从leetcode123入手解决问题。

Leetcode 123题

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。注意: 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入: [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出: 6
解释: 在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

示例 2：

输入: [1,2,3,4,5]
输出: 4
解释: 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。   
     注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。   
     因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3:

输入: [7,6,4,3,1] 
输出: 0 
解释: 在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

在123题中因为限制的交易次数为2次，次数较少，我们可以穷举出每一种情况，将状态定义得细致一点，就可以发现其状态是如何转移的。

定义状态d[i][j],表示在[0,i]天，在状态j的情况下的最大收益。

j=0:表示没有交易。j=1:表示第一次买入股票。j=2:表示第一次卖出股票。j=3:表示第二次买入股票。j=4:表示第二次卖出股票。

初始状态定义：

dp[0][0]=0(没有交易)，dp[0][1]=-prices[0](买入第一支股票)，dp[0][3]=-float('inf')(第0天不可能第二次持股)

最后结果为在(0,dp[len(prices)-1][2],dp[len(prices)-1][4])取最大值

class Solution:def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:if len(prices)<2:return 0dp = [[0]*5 for _ in range(len(prices))]dp[0][0]=0dp[0][1] = -prices[0]for i in range(len(prices)):dp[i][3] = -float('inf') for i in range(1,len(prices)):dp[i][0] = 0dp[i][1]= max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i])dp[i][2]= max(prices[i]+dp[i-1][1],dp[i-1][2])dp[i][3]= max(-prices[i]+dp[i-1][2],dp[i-1][3])dp[i][4]= max(prices[i]+dp[i-1][3],dp[i-1][4])return max(0,dp[len(prices)-1][2],dp[len(prices)-1][4])

Leetcode 188题

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。注意: 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入: [2,4,1], k = 2
输出: 2
解释: 在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。

示例 2:

输入: [3,2,6,5,0,3], k = 2
输出: 7
解释: 在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。
     随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。

首先将k分为两种情况,n为天数。1.k>(n//2)：这时k相当于无穷,相当于k对交易不做限制（如示例 1）。2.k<=(n//2)：这时k对交易有限制（如示例 2）。

当为第一种情况时k不做考虑。

当为第二种情况时(完成一次操作是完成一次买入和卖出)：

dp[i][k][0]在i天进过k次操作达到不持股状态

dp[i][k][1] 在i天经过k次操作达到持股状态

dp[i][k][0] = max(前一天不持股，前一天持股今天卖出)

dp[i][k][1]= max(前一天持股，前一天不持股今天买入)

#if k>n//2:相当于k = 无穷 else： k 进行
class Solution:def maxProfit(self, k: int, prices: List[int]) -> int:if len(prices)<2:return 0if k>=len(prices)//2:#k =+float('inf')#0为不持股状态 1为持股状态dp = [[0]*2 for _ in range(len(prices))]dp[0][0] = 0dp[0][1] = -prices[0]for i in range(1,len(prices)):dp[i][0] = max(dp[i-1][0],prices[i]+dp[i-1][1])dp[i][1] = max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i])return dp[len(prices)-1][0]else:#dp[i][k][0] 在i天进过k次操作达到不持股状态#dp[i][k][1] 在i天经过k次操作达到持股状态#dp[i][k][0] = max(前一天不持股，前一天持股今天卖出)#dp[i][k][1] = max(前一天持股，前一天不持股今天买入)dp = [[[0,0] for _ in range(k+1)] for _ in range(len(prices))]for i in range(len(prices)):dp[i][0][0] = 0dp[i][0][1] = -float('inf')for i in range(1,k+1):dp[0][i][0] = 0dp[0][i][1] = -prices[0]for i in range(1,len(prices)):for j in range(1,k+1):dp[i][j][0]=max(dp[i-1][j][0],dp[i-1][j][1]+prices[i])dp[i][j][1]=max(dp[i-1][j][1],dp[i-1][j-1][0]-prices[i])return dp[len(prices)-1][k][0]

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情形三：有手续费（leetcode714）

Leetcode714题

给定一个整数数组 prices，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 ；非负整数 fee 代表了交易股票的手续费用。

你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。

返回获得利润的最大值。

注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。

示例 1:

输入: prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
输出: 8
解释: 能够达到的最大利润:  
在此处买入 prices[0] = 1
在此处卖出 prices[3] = 8
在此处买入 prices[4] = 4
在此处卖出 prices[5] = 9
总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8.

这题有了之前的铺垫，就是在交易次数k>n//2时在卖出股票时候再支付一笔手续费。

#不持股状态为0，持股状态为1
class Solution:def maxProfit(self, prices: List[int], fee: int) -> int:length = len(prices)if length<2:return 0dp = [[0]*2 for _ in range(length)]dp[0][0]=0dp[0][1]=-prices[0]for i in range(1,length):dp[i][0]=max(dp[i-1][0],prices[i]+dp[i-1][1]-fee)dp[i][1]=max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i])return dp[length-1][0]

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情形四：有冷冻期（leetcode309）

冷冻期只需要在之前的状态中再加入一个状态，定义状态d[i][j],表示在[0,i]天，在状态j的情况下的最大收益。j取三个值，0：表示不持股。1:表示持股。2:表示冷冻期

状态转移：

不持股状态：1.昨天不持股，今天仍然不持股 。 2昨天持股，今天卖了

持股状态：1.昨天持股，今天仍然持股。 2.昨天处在冷冻期，今天买了一股。

冷冻期状态：昨天卖了股票

class Solution:def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:length = len(prices)if length<2:return 0dp = [[0]*3 for _ in range(length)]dp[0][0] = 0dp[0][1] = -prices[0]dp[0][2] = 0for i in range(1,length):dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[i])dp[i][1]=max(dp[i-1][1],dp[i-1][2]-prices[i])dp[i][2] = dp[i-1][0]return max(dp[length-1][0],dp[length-1][2])