概率图模型(2)--马尔科夫随机场
马尔可夫随机场(MRF)是典型的马尔可夫网,是一种著名的无向图模型。每个节点表示一个或一组变量,节点之间之间的边表示两个变量之间的依赖关系,马尔可夫随机场有一组势函数,定义在变量子集上的非负实函数,主要用于定义概率分布函数。
对于图中节点的一个子集,若其中任意两节点间都有边连接,则称该节点子集为一个“团”。若在一个团中加入另外任何一个节点都不再形成团,则称该团为“极大团”。显然,每个节点至少出现在一个极大团中。
在马尔可夫随机场中,多个变量之间的联合概率分布能基于团分解为多个因子的乘积,每个因子仅与一个团相关。具体来说,对于 n 个变量 ,所有极大团构成的集合为 , 与团 对应的变量集合记为 , 则联合概率 定义为
其中 为规范化因子,确保 P 是被正确定义的概率。 为与团 Q 对应的势函数。
若从节点集A中的节点到B中的节点都必须经过C中的节点,称节点集A和节点集B被节点集C分离。C称为分离集。
在马尔可夫随机场中如何得到“条件独立性”?
全局马尔可夫性:给定两个变量子集的分离集,则这两个变量子集条件独立。
对于上图,全局马尔可夫独立性可表示为:
由全局马尔可夫性得到两个推论:
局部马尔可夫独立性:给定某变量的邻接变量,则该变量条件独立于其他变量。形式化的说,令 为图的节点集, 为节点 在图上的邻接节点, ,有
成对马尔可夫性:给定所有其他变量,两个非邻接变量条件独立。形式化的说,令图的节点集和边集分别为 V 和 E,对图中的两个节点 u 和 v,若 ,则
马尔可夫随机场中的势函数 的作用是定量刻画变量集 中变量之间的相关关系,应该是非负函数,且在所偏好的变量取值上有较大的函数值。指数函数常用于定义势函数。
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