吉林大学大四学生 计蒜客OJ MCoffee 2020.11.12

题目

给定一个字符串，输出所有长度至少为 2 的回文子串。
回文子串即从左往右输出和从右往左输出结果是一样的字符串，比如：abba，cccdeedccc都是回文字符串。

输入格式

一个字符串，由字母或数字组成。长度 500 以内。

输出格式

输出所有的回文子串，每个子串一行。
子串长度小的优先输出，若长度相等，则出现位置靠左的优先输出。

样例数据

样例输入：123321125775165561
样例输出：
33
11
77
55
2332
2112
5775
6556
123321
165561

分析过程

这道题是我留给孩子们的一个作业。在此声明，这是我的失误。

原因？

一开始的时候，我看到这道题，认为这应该是一道普及T1难度的题目。因为无论从哪里看来，关键词都显得很Easy

• 字符串
• 回文
• 单行 无空格 有限 可知 输入
• 长度500

看到这些的时候，我下意识忽略了其中包括的一些细节，直接布置了这个作业。

万幸的是，我在课间的时候再次浏览了一下这道题。意识到这道题里面藏了一点好玩的（好van♂的 ）东西。

这些东西，分别是

• 字符串排序
• 递归的解题思路
• 时间代价的上限和下限

emmmm，难了点，留当思考作业叭。

为了制作标准答案，我下课之后，就开始写这道题……

……

越写越不对劲……

---

从头说起。这道题在我当时看来有这样几种方式解决

在我当时看来
在我当时看来

第一种方式：硬写

属于废话。

但是为什么不行，得分析一下。

字符串长度500，其中只包括字母数字，没有空格回车。

对于长度为500的字符串来说，里面最多有多少字串呢？

应该是N+N-1+……+1 一共是n*（n+1）/2 小学二年级的题

代入得12500左右是吧，感觉还行。

但是！！但是！！！ 字符串最朴素的比较方式的话，要一一对应去比较，也就是长度为N的要比较N次

公式变为N*1+（N-1）* 2+……+ 1*N

这个公式结果为N(2N + 1)(N + 1) / 6. 小学三年级学的

代入的话，50000000左右 五千万

这种数，，挺尴尬的，giligili（刚刚）够用

我是不太喜欢这种，防爆性能也一般

第二种方式：递归+排序

那么，从一个回文子串逐渐扩展怎么样呢？

我先找一个长度为2的，然后看两边字符是否相同，相同的话也是一个子串，这样递归下去。

看起来非常合理。时间上非常节省，不用判断那些没用的地方，而且500个点，最多499个长度为2的子串。然后递归执行次数的话，长度每次扩展2，250次。所以这种方式只需要用500*250次，非常优秀。

但是！！但是！！！

找到了，怎么排序？？毕竟题目要求，先排长度，再拍顺序，得用比较吧

好家伙，最多12500个子串，得用快排

所以得用结构体快速排序

还行吧，可以接受。

第三种方式：DP

没错，你没看错，这么简单的题，我用上动态规划了

啪叽啪叽（鼓掌）
具体的心路历程，大概是……

我找到长度为2的子串了，那我直接都找完不就完事了

找完后面长度为4的怎么找？ 之前2的子串我记录下位置，然后对应扩展不就完事了

那我记录下来假如 x,y,z的位置，我第二排怎么用呢？假如直接扩展又变成递归+排序了

所以，我用DP【I】【J】来表示，长度为i的，起始位置为j的串，是否为回文串

s[j-1]==s[j+i]，并且 dp[i][j]为TRUE 则 DP[i+2][j-1]=TRUE

吧唧吧唧，DP递推式出现了

那么，长度为奇数的ok么？当然。因为只和起始位置和长度有关，奇偶性不影响DP递推

至此，SOLVE

我们简单的归纳一下回文串的性质

1. 回文串前半段和后半段镜像对称
2. 回文串左右去掉相同长度，剩余的依旧是回文串
3. s[0]=s[len-1] s[i]=s[len-i-1]
4. 没了

这道题用DP好像是大材小用了，但是因为解题思路非常合适所以代码量，代码难度，都非常优秀。下面是AC代码展示

//吉林大学大四学生 计蒜客OJ MCoffee 2020.11.12 Wechat MythLucky

代码展示

//字符串 回文子串
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
bool dp[600][600];
int main()
{char s[600];int len,i,j,k;cin>>s;len=strlen(s);for(i=0;i<=len;i++){dp[0][i]=true;dp[1][i]=true;}for(i=2;i<=len;i++){for(j=0;j<=len-i;j++){if((s[j]==s[j+i-1]) && (dp[i-2][j+1])){dp[i][j]=true;for(k=0;k<=i-1;k++){cout<<s[j+k];}cout<<endl;}}}return 0;
}